電力工程 109 年工程數學考古題（共 20 題）
資料來源：考選部歷屆試題｜法律人 LawPlayer 整理
https://lawplayer.com/exam/electrical-engineering/109-%E5%B7%A5%E7%A8%8B%E6%95%B8%E5%AD%B8

第 1 題
( , )exp,

第 2 題
2XYxyfx yx y，。定義兩個新的隨機變數R及如下：假設22RXY及1tan ()Y X，使得cosXR，且sinYR。請證明隨機變數R的機率密度函數為222( )exp02Rrrfrr，。（6分）二、假設z 為一複數，求所有的z 使得cos2z 。（4分）假設z 為一複數，計算

第 3 題
2

第 4 題
2244Czzdzzz，其中積分路徑C 為圓24z 之順時針（clockwise）方向圓周（circle）。（4分）三、已知一RC 電路系統可由微分方程式（differential equation ）( )5 ( )=5 ( )d y ty tx tdt表示，其中x(t)為輸入，且y(t)為輸出。假設2( )(3/ 5)( )tx teu t，且初始條件（initial condition）(0 )2y，求y(t)。（8分）已知一訊號x(t)的單邊拉普拉斯轉換（unilateral Laplace transform）為：22221( )(2)ssX ses s請求該訊號x(t)的初值（initial value）及終值（final value）。（8分）34470四、求k 使得Axb，其中12313214261031111A，1234xxxxx，366kb；（7分）如小題，求矩陣A 的行列式值（determinant）。（3分）請求以下線性系統的解1123212331232233dxxxxdtdxxxxdtdxxxxdt，其中x1(0)=1，x2(0)=0及x3(0)=1/2。（10分）本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。1對稱矩陣ۯ = ൭102000204൱，其對角化矩陣（diagonal matrix）۲ = ۾ۯ۾ିଵ，其中۾ 是正交矩陣，求۲ =？
(A) ൭00000000
正解：B

第 5 題
൱
(B)൭100000005൱
(C)൭000020005൱
(D)൭100020005൱2矩陣ۯ和۰，令det ۯ = 6和det ۰ = 2，求det ۯ۰ି૚=？12
(B) ൭100000005൱
(C) ൭000020005൱
(D) ൭100020005൱2矩陣ۯ和۰，令det ۯ = 6和det ۰ = 2，求det ۯ۰ି૚=？12
正解：C

第 6 題
(B)3
(C)0
(D)3設܉為常數向量（constant vector），ܚ= ݔ࢏+ ݕ࢐+ ݖ࢑，∇=డడ௫࢏+డడ௬࢐+డడ௭࢑，下列何者錯誤？
(B) 3
(C) 0
(D) 3設܉為常數向量（constant vector），ܚ= ݔ࢏+ ݕ࢐+ ݖ࢑，∇=డడ௫࢏+డడ௬࢐+డడ௭࢑，下列何者錯誤？
(A) ∇∙ܚ= 3
(B) ∇∙(܉× ܚ) = 0
(C) ∇× ܚ= 0
(D) ∇× (܉× ܚ) = ܉4求∫2ݔݕ݀ݔ+ ݔଶ݀ݕ=(ଶ,ସ)(ଵ,ଵ)？10
(A) 15
(B) 20
(C) 25
(D) 5矩陣ۯ = ቀ100−1ቁ，求݁ۯ௧=？
(A) ቀ2݁௧00݁ି௧ቁ
(B) ቀ݁௧002݁ି௧ቁ
(C) ቀ݁௧00݁ି௧ቁ
(D) ቀ2݁௧002݁ି௧ቁ344706下列矩陣何者的秩（rank）等於2。
(A) ቀ2−200 ቁ
(B) ቌ1−23−6
正解：B

第 7 題
−145ቍ
(C)ቀ31206240ቁ
(D)ቌ213639−1−ଵଶ−ଷଶቍ7下列那一個是適合的積分因子（integrating factor ），乘上它以後，將使微分方程式(x+y)dx+xln(x)dy=0變成正合（exact）？
(C) ቀ31206240ቁ
(D) ቌ213639−1−ଵଶ−ଷଶቍ7下列那一個是適合的積分因子（integrating factor ），乘上它以後，將使微分方程式(x+y)dx+xln(x)dy=0變成正合（exact）？
(A) x3
(C) 1x
(D) 21x
正解：C

第 8 題
微分方程式236

第 9 題
tyyyt e，其中(0)2,(0)6yy。以拉普拉斯轉換（Laplace transform）求解後得到2()2( )()dbscY ssa，則下列何者錯誤？
(A) a+b+c+d=15
(B) a+b+c−d=7
(C) a−b−c+d=−1
(D) −a+b−c+d=−39設݂(ݔ) = ܽ଴+ ∑(ܽ௡cos ݊ݔ+ ܾ௡sin ݊ݔ)ஶ௡ୀଵ為函數݂(ݔ) = ݔଷ，−ߨ< ݔ< ߨ之傅立葉級數（Fourierseries），其中ܽ଴, ܽ௡, ܾ௡為常數，下列何者正確？
(A) ܽ଴+ ܾ௡≠0
(B) ܽ଴+ ܽ௡≠0
(C) ܽ଴∙ܾ௡≠0
(D) ܽ଴≠0
正解：A

第 10 題
設ݕ= ܿଵ݁௫+ܿଶ݁ିଶ௫+ܿଷݔ݁ିଶ௫為微分方程ݕᇱᇱᇱ+ ܽݕᇱᇱ+ ܾݕᇱ+ ܿݕ= 0的通解（general solution），其中ܽ, ܾ, ܿ, ܿଵ, ܿଶ, ܿଷ為常數，下列何者正確？
(A) ܽ= −1
(B) ܾ= −1
(C) ܿ= −1
(D) ܽ+ ܾ+ ܿ= −1
正解：D

第 11 題
求積分方程݂(ݐ) = cos ݐ+ ∫݁ିఛ݂(ݐ−߬)݀߬௧଴的解。
(A) 1 −sin ݐ
(B) 1 + sin ݐ
(C) cos ݐ−sin ݐ
(D) cos ݐ+ sin ݐ
正解：D

第 12 題
令連續隨機函數X 具有機率密度函數݂(ݔ) = ൜݇ݔଶ,   0 ≤ݔ≤10 , otherwise ，求其變異數（variance）ߪଶ。（其中k 為常數）
(A) 140
(B) 340
(C) 180
(D) 38034470
正解：D

第 13 題
令連續二維隨機變數X 和Y 具有機率密度函數݂(ݔ, ݕ) = ൜݇ݔݕ,   0 ≤ݔ≤1 and 0 ≤ݕ≤10 ,otherwise，求其機率ܲ(ܺ> 0.25, ܻ> 0.5)。（其中k 為常數）
(A) 58
(B) 916
(C) 
(D) 
正解：C

第 14 題
求複變函數積分∮ቀୡ୭ୱ୦௭(௭ିగ)య−ୱ୧୬మ௭(ଶ௭ିగ)యቁ݀ݖ஼，其中積分路徑ܥ為逆時鐘方向繞圓周|z| = 3。
(A) 4 i
(B) 4 i
(C) 2 i
(D) 2 i
正解：A

第 15 題
求複變函數積分∮௓(௭ାଵ)(௭మାଵ) ݀ݖ஼，其中積分路徑ܥ為逆時鐘方向繞橢圓周16ݔଶ+ ݕଶ= 4。
(A) 2ߨ݅
(B) −2ߨ݅
(C) ߨ݅
(D) −ߨ݅
正解：C

第 16 題
複變函數݂(ݖ) = ݖଶସ−3ݖଶ଴+ 4ݖଵଶ−5ݖ଺，求݂ቀଵା௜√ଶቁ=？
(A) 5݅
(B) 4݅
(C) 3݅
(D) 2݅
正解：A

第 17 題
z 為一複數，若Γ 是平面中一個包含原點z=0之封閉路徑，∮ୡ୭ୱ(௭)௭݀ݖ୻=？0
(B) −݅2ߨ
(C) 2ߨ
(D) ݅2ߨ
正解：D

第 18 題
曲線C 為平面上一個正向簡單封閉路徑，則2cos(2 )sin(2 )C xy dxxy dy=？4
(A) xsin(2y)2
(B) xsin(2y)0
(D) 221cos(2 )cos(2 )2 xyxy
正解：C

第 19 題
令一曲線C 為22,,, 01xtyt ztt，則2zC x dxyzdye dz=？
(A) 112e 
(B) 112e 
(C) 1112e 
(D) 1112e 
正解：C

第 20 題
下表所示為x 及y 機率質量函數（probability mass function, PMF），則X 與Y 之共變異數COV(X,Y )=？x1=1x1=0x1=−1y1=101/41/4y2=−11/41/40
(A) 14
(B) 12
(C) −11
正解：B

題目與答案為考試當年公告版本，實務標準請以現行規範為準。