電子工程 111 年工程數學考古題（共 20 題）
資料來源：考選部歷屆試題｜法律人 LawPlayer 整理
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第 1 題
求解y''+y' −2y = ൜3 sin t −cos t,
0< t < 2π
3 sin 2t −cos 2t ,
t > 2π
; y(0)=1，y'(0)=0。
其中y'
dy
dt ; y''
d2y
dt2 。（30 分）
(0) =1，y'
(0) =0。
其中y'
dy
dt ; y''
d2y
dt2 。（30 分）（30 分）

第 2 題
110

第 3 題
൩已知此矩陣的特徵值（eigen-value）為2、2（重根）、1。請寫出A矩陣的所有特徵向量（eigen-vector）的一般形式。（5 分）令B=A8。請寫出B矩陣的所有特徵向量的一般形式。（5 分）34770四、有一個半徑為1 的圓形標靶，對著它亂射飛鏢，完全不瞄準，所以彈著點（亦即飛鏢在標靶上的落點）會是在某一個區域的機率大小，與標靶上的位置無關，只與該區域的面積大小成正比。若只考慮有射中標靶的飛鏢，直接忽略沒有射中標靶的飛鏢。令X 代表彈著點到靶心（亦即標靶的正中心）的距離，是一個隨機變數（random variable），並定義另外一個隨機變數：Y≜X2，試問：令fX(x)代表X 的機率密度函數（probability density function），則fX(x)=？（5 分）令fY(x)代表Y 的機率密度函數，則fY(x)=？（5 分）五、有一個複變函數f(z)=1z2+4，欲對其作曲線積分（contour integration），請回答下列問題：考慮如下所示的曲線：C1：|z|=3（即以複數平面原點為中心、半徑為3 的圓），從z=3+0⋅i（i=√−1）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問∮f(z)dzC1=？（5 分）考慮如下所示的曲線：C2：|z −i|=2（即以0+1⋅i為中心、半徑為2 的圓），從z=0+( 1) i（i=√−1）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問∮f(z)dzC2=？（5 分）本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。1我們準備對1, 1,3（）以及2,0, 4（）這兩個向量做外積（cross product ）。如果將答案寫成1, 1,32,0, 4a,b,c（）（）（），那麼ab c=？
(A) 30
(B) 80
(C) 100
(D) 1502考慮一線性方程組Axb，A 為m n矩陣，mn。下列敘述何者錯誤？
(A) 該方程組可能無解
(B) 該方程組可能只有一解
(C) 該方程組不可能有無窮多解
(D) 矩陣A 的列階梯形矩陣（row echelon form）一定有「零」列（row of all zeros）3如果用來代表1,3,2（）與0, 1,4（）這兩個向量之夾角，那麼2sin ？請選出最接近的數值：
(A) 0.9
(B) 0.7
(C) 0.5
(D) 0.3
正解：A

第 4 題
假設我們已知1,2,3（）、1,0, 1（）以及3,1,（）這三個向量無法構成3 ( , , ) | , ,x y zx y z的基底（basis）。那麼，α= ？
(A) 12
(B) 13
(C) 1
(D) 1234770
正解：C

第 5 題
考慮如下所示之矩陣：13A21。下列敘述何者正確？
(A) A 為可逆（invertible）的矩陣
(B) A 為既約列梯形（reduced row echelon form）的矩陣
(C) A 為單位矩陣（identity matrix）
(D) A 為對稱（symmetric）的矩陣
正解：A

第 6 題
如下所示之選項中，何者為矩陣231121132的特徵向量（characteristic vector，亦稱eigenvector）？（選項中的符號T…代表矩陣轉置（transpose）的動作。提示：建議你直接套用特徵向量的定義下去做檢測）
(A) 011T
(B) 101T
(C) 0 01T
(D) 101T
正解：D

第 7 題
考慮一馬可夫過程（Markov process ）：0.80.3(1)( )0.20.7x kx k，其狀態向量x 之初值(0)1000Tx。請問lim ( )xx k為何？
(A) 8020T
(B) 3070T
(C) 6040T
(D) 5050T
正解：C

第 8 題
在下列四個選項所顯示的複變函數（complex function），其中有三個是可解析的（analytic，亦稱differentiable（可微分的）），有一個是不可解析的（not analytic）。請指出那一個是不可解析的？
(A) ez
(B) z3
(C) z
(D) z （z 的共軛複數）
正解：D

第 9 題
考慮如下所示之複變函數：23326i752if(z)1 2z(5i) zzzzz（i =1）。如果我們將該函數在z = 0 （亦即複數平面上的原點）的留數（residue）寫成a + b i的形式，那麼a + b ？
(A) 2
(B) 0
(C) 3
(D) 2π
正解：C

第 10 題
在本題中我們考慮複變函數的線積分（line integral）。首先我們知道複數平面上的點可以寫成z = x + i y（i =1）的形式，接著我們用代表2y = x 這條曲線，而且其起點為(x, y) = (0,0) 、終點為(x, y) = (1,1) 。請計算2z dz並且將結果寫成a + b i的形式，此時a b的數值與下列選項何者最為接近？
(A) 5
(B) 1
(C) 1
(D) 5
正解：B

第 11 題
令222( )()Csszdsszg，其中路徑積分之路徑C 為以2, 2i為頂點之正方形的邊界，行經方向為正。請問(1)g之值為何？
(A) 2 i
(B) 1
(C) 0
(D) 4 i
正解：A

第 12 題
有一個雙變數函數2f(x, y)xsin(x y)。請問f(x, y) 在1,（）的梯度（gradient）為何？
(A) 1,（）
(B) ,1（）
(C) , 1（）
(D) 1,（）
正解：C

第 13 題
考慮微分方程式：( )( )( )sin,0y ty ty tt t，其中y與y分別代表y 對變數t 做一次與二次微分。請問下列敘述何者正確？
(A) 對於某些(0), (0)yy（）初值，方程式的解會收斂到零
(B) 對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解是一個頻率為之週期函數
(C) 對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解之震幅不會隨輸入函數之頻率產生變化
(D) 對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解會隨時間之增大而收斂到一個週期函數34770
正解：D

第 14 題
考慮一個初始值問題（initial-value problem）__微分方程：x2y (x) + x y (x) +y(x) = x +1e，初始條件：y(0) = 2 、y (0) =1。如果我們將本問題的解答y(x) 寫成幂級數（power series）的形式：n0y(x) =axnn，那麼，2a ？（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式去做思考，直接將2a 與y (0)做連結）
(A) 1
(B) 12
(C) 0
(D) 13
正解：B

第 15 題
下列關於拉普拉斯轉換（Laplace transformation）0( ):( )steL ff tdt之敘述，何者錯誤？
(A) ()( )( )L fgL fL g
(B) 111()( )( )LfgLfLg，其中1L為L 之逆轉換
(C) ()( ) ( )L fgL f L g
(D) ()( )L fs L f，其中f 為f 之導函數，且(0) = 0f
正解：C

第 16 題
考慮以下函數：( ) = 1f t，當02t；( ) = 0f t，當0t 或2t 。下列敘述何者正確？
(A) 函數( )f t 之傅立葉轉換（Fourier transform）為( ) = 2sin( ) /jFe
(B) 函數( ):(1)g tf t之傅立葉轉換（Fourier transform）為( ) = cos( ) /G 
(C) 函數0( ):= cos() ( )h tt f t之傅立葉轉換（Fourier transform）為00( ) = 2sin() / ()H 
(D) 函數( ) :=()m tft之傅立葉轉換（Fourier transform）為( ) =sin( ) /M 
正解：A

第 17 題
考慮一隨機變數x，其機率密度分布函數具有下列形式：( ) =1,1f xxx，且( ) = 0,1f xx 。請問x 之變異數（variance）為何？
(A) 1/6
(B) 2/ 3
(C) 1/ 6
(D) 2 / 3
正解：C

第 18 題
有兩個連續的隨機變數X 與Y，它們的合併機率密度函數（joint probability density function）為：2,if 0 <<1and 0 <<1f( , )0,otherwiseXYA x yxyx y其中A 為常數。請問隨機變數X 的期望值（expectation）為下列何者？
(A) 12
(B) 23
(C) 34
(D) 45
正解：B

第 19 題
假設我們有一個不公平（unfair）的銅板，在每次投擲中出現正面的機率為0.4，出現反面的機率為0.6。如果我們丟擲這個銅板5 次，結果出現正面比出現反面還更多次的機率為何？（請在下列選項中選出最接近答案的數值。）
(A) 0.1
(B) 0.2
(C) 0.3
(D) 0.4
正解：C

第 20 題
請問i2i 的主值（principal value）為何？
(A) 0
(B) i
(C) ie 
(D) e 
正解：D

題目與答案為考試當年公告版本，實務標準請以現行規範為準。