電子工程 92 年工程數學考古題（共 5 題）
資料來源：考選部歷屆試題｜法律人 LawPlayer 整理
https://lawplayer.com/exam/electronic-engineering/92-%E5%B7%A5%E7%A8%8B%E6%95%B8%E5%AD%B8

第 1 題
請解柯西－尤拉(Cauchy-Euler)方程式（10 分）)ln(
xxydxdyxdxdyx=+−二、請以拉氏轉換(Laplace Transform)求解系統方程式（10 分）yxdtdx+−=xdtdy2=1)0(,0)0(==yx三、請求解力kzjyixFˆˆˆ222++=v沿著平面yz−= 2及球面zzyx
=++相交形成的閉曲線C 所作的功，即求積分∫⋅crdFvv。（10 分）
四、請求解下列積分值（10 分）dxxx∫∞+022)1(3cos五、請以傅立葉級數(Fourier Series)展開下列函數（10 分）π20 ,)(2<<=xxxf乙、測驗題部分（50 分）：                    代號：
本科目測驗式試題為單一選擇題，請就各題選項中選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。共20題，每題2.5分，須用2Ｂ鉛筆在試卡1～20題劃記，於本試題上作答者，不予計分。1計算下列圍線積分值zdz1sinzIc4∫=其中積分圍線C 為一逆時針迴轉之單位圓1:=zC30/iπ40/iπ50/iπ60/iπ2計算下列積分值∫∞+=021xdxI4/π2/πππ23已知)(xg為一週期函數，週期 = 2，xxg2)(=,11≤≤−x，)()2(xgxg=+，若將此函數展開成傅立葉級數(FourierSeries)，即)(sin)cos()(10xnbxnaaxgnnnππ∑∞=++=，則試求na 為下列何者？πnn2)1(1+−πn)1(−)1)1((1+−nnπ0（請接第二頁）九十二年公務人員特種考試身心障礙人員考試試題代號：
第二頁4試問下列偏微分方程之型態為何？0=+yyxxxuu,0>x橢圓(Elliptic)型拋物線(Parabolic)型雙曲線(Hyperbolic)型混合(Mixed)型5求下列矩陣之反矩陣A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=
123A=−1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−

571A=−1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−

571A=−1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−

571A=−1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−

試問下列問題之解為何？0=−txxuuα,Lx <<0(,)0∞<< t1),0(utu=,2),(utLu=,)0(∞<< t)()0,(xfxu=,)0(Lx <<tLnnneLxnKLxuuutxu2)/(
cos)(),(παπ−∞=∑+−+=tLnnneLxnKLxuuutxu2)/(
sin)(),(παπ−∞=∑+−+=tLnnneLxnKLxuuutxu2)2/(
cos2)(),(παπ−∞=∑+−+=tLnnneLxnKLxuuutxu2)2/(
sin2)(),(παπ−∞=∑+−+=7試將下列二次式(Quadratic Form)簡化為正則形式(Canonical Form)

42),(xxxxxxxxxxxf+−+++=
~3~~xxxf+−=
~10~2~4xxxf++=
~0~2~8xxxf++=
~0~3~7xxxf++=8有一空間曲面S 的參數表示式如下：υ+= ux,2υ−= uy,423υ+= uz試求曲面S 在0=u,1=υ處的切面(Tangent Plane)方程式544−=++zyx544=−−zyx544−=−−zyx544=++zyx9在4ℜ空間中有一組基底單位向量(Unit Basis)如下：)1,0 ,1 ,1(311−=e,)0 ,1,1,1(312−−=e,)1 ,1 ,0 ,1(313 =e,)1 ,1,1 ,0(314−=e試將向量)6 ,1 ,2,4(−=u以),(21 ee展開(Span)，求其最佳近似(Best Approximation))6 ,1 ,2,4(−=u5),2 ,3,4(−=u)4 ,5,9,1(31−−=u)1,0 ,1 ,1(34−−=u（請接第三頁）九十二年公務人員特種考試身心障礙人員考試試題代號：
第三頁ae42ω−ae42ω−−10已知函數2)(1atetf−=之傅立葉轉換(Fourier Transform)為aea42ωπ−，其中a 為常數，則下列何者為函數2)(2attetf−=之傅立葉轉換？aea
ωω−aeaai422ωπω−−11微分方程式124cos−=+′+′′xyxyy，且ay=)0(，by=′)0(，試求)0(y ′′′：ba65 +ab433+−ba +ba −212下列何者為函數)cos()(ttetft−=−,0≥t之拉氏轉換(Laplace Transform)？2)1(1+s
+−sss1)1(1)1(122+++−+sss
+−+sss13下列何者可作為方程式)2sin()tan(xxyy=+′之積分因子(Integration factor)？sin(x)sec(x)cos(x)tan(x)14已知°=15θ，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=θθθθcossinsincosA，則下列何者為6A ？⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⎥⎦⎤⎢⎣⎡−
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡
15下列何者為0)31()21(223=+++++−dxyxydyxxy之通解，C 為常數？Cyxxyyx=−++2Cyxxyyx=−++23Cyx=−Cxyyx=+
已知函數xexyzzyx+=18),,(ϕ，試求)( ϕ∇×∇為下列何者？jeix rr+180ir2jr317下列何者為方程式xyyxyxln
=+′−′′的特解(particular solution)？163)ln(41+x7)ln(2+x8)ln(3+x2)ln(4+−x18下列何者為xxxyy3cos22=−′之通解，其中C 為常數？Cxy++−=2sin32Cxxy+=
sin3Cxxxy+=xCxysincos22+=
3)(2++−=ssssF經拉氏反轉換(inverse Laplace transform)後，可得tbetaetftt4sin4cos)(22−−+=,0≥t，則ba + 之值為下列何者？
沿著曲線C:ktjtittrrrrr32)(++=，從0=t到1=t且kxjyzizyFrrrr)(2)(222−++−=之線積分∫⋅crdFrr之值為：
51
(1) 1(122+++−+sss
+−+sss13下列何者可作為方程式)2sin()tan(xxyy=+′之積分因子(Integration factor)？sin(x)sec(x)cos(x)tan(x)14已知°=15θ，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=θθθθcossinsincosA，則下列何者為6A ？⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⎥⎦⎤⎢⎣⎡−
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡
15下列何者為0)31()21(223=+++++−dxyxydyxxy之通解，C 為常數？Cyxxyyx=−++2Cyxxyyx=−++23Cyx=−Cxyyx=+
已知函數xexyzzyx+=18),,(ϕ，試求)( ϕ∇×∇為下列何者？jeix rr+180ir2jr317下列何者為方程式xyyxyxln
=+′−′′的特解(particular solution)？163)ln(41+x7)ln(2+x8)ln(3+x2)ln(4+−x18下列何者為xxxyy3cos22=−′之通解，其中C 為常數？Cxy++−=2sin32Cxxy+=
sin3Cxxxy+=xCxysincos22+=
3)(2++−=ssssF經拉氏反轉換(inverse Laplace transform)後，可得tbetaetftt4sin4cos)(22−−+=,0≥t，則ba + 之值為下列何者？
沿著曲線C:ktjtittrrrrr32)(++=，從0=t到1=t且kxjyzizyFrrrr)
(2) (222−++−=之線積分∫⋅crdFrr之值為：
51

第 2 題
一隨時間t呈弦波變化之函數( )
cos(
)
v t
A
t
ω
φ
=
+
，其中A是振幅、ω 為角頻率、φ 是相位，
可以定義對應之相量(phasor)為複變數V ，則( )
Re{ exp(
)}
v t
V
j t
ω
=
。

求V 。(10 分)

設
1( )
v t 與
2( )
v t 之角頻率同為ω ，且其對應之相量為
1V 及
2
V 。求算二函數乘積對時間平
均值以
1V 及
2
V 表示之公式。(10 分)

第 3 題
對一場量
( , , )
f x y z ，試證

( , , )
f x y z = 常數之表面與
( , , )
f x y z 之梯度正交。(10 分)

沿梯度之方向可得該場量之最大方向導數。(10 分)

第 4 題
求底下偏微分方程之二個一般解

2
2
2
2
0
u
u
z
t
∂
∂
−
=
∂
∂
。(20 分)

第 5 題
令
2
( )
1/(3
2
1)
f z
z
z
=
−
−，z 為複變數。計算
( )
C f z dz
∫
，其中C 為

一半徑為ε  (趨近於0)且以1
0
j
+
為中心之圓，直接積分做答。(10 分)

2
jt
z
e
=
，
t
π
π
−
≤≤。(10 分)

題目為考試當年公告版本，實務標準請以現行規範為準。