電子工程 92 年數位信號處理考古題（共 5 題）
資料來源：考選部歷屆試題｜法律人 LawPlayer 整理
https://lawplayer.com/exam/electronic-engineering/92-%E6%95%B8%E4%BD%8D%E4%BF%A1%E8%99%9F%E8%99%95%E7%90%86

第 1 題
請推導出6 點之decimation-in-time 快速傅立葉轉換 (fast Fourier transform；簡稱
FFT) 演算法，並畫出對應的信號流程圖 (signal flow graph)；請以矩陣型式 (matrix
form) 表示此演算法。（25 分）

第 2 題
假設x[n]為一很長之資料序列 (data sequence)，且令x[n]通過一有限脈衝響應濾波
器 (finite impulse response filter)，其中濾波器之脈衝響應長度為50。 （25 分）
請說明如何利用128 點之FFT 及overlap-add 技巧計算此濾波器之輸出結果。
請說明如何利用128 點之FFT 及overlap-save 技巧計算此濾波器之輸出結果。

第 3 題
假設一個穩定、線性非時變離散系統具有下列轉換函數 (transfer function)：（25 分）
2
1
1
75
.0
1
5.0
1
)
(
−
−
−
−
−
−
=
z
z
z
z
H

當此系統的輸入信號為x[n]=(0.5)nu[n]時，對應的輸出信號y[n]為何？
(※ u[n]為unit step sequence)
當此系統的輸入信號為
n
n
x
)
5.0
(
]
[
=
時，對應的輸出信號y[n]為何？
當此系統的輸入信號為x[n]=(0.5)n 時，對應的輸出信號y[n]為何？

第 4 題
已知一類比Butterworth 低通濾波器的轉換函數為
2
2
2
2
)
(
b
b
b
a
s
s
s
H
ω
ω
ω
+
+
=

請利用impulse invariance 方法求出對應的數位濾波器轉換函數，其中取樣週期為T。
（10 分）

第 5 題
已知一系統的轉換函數為
1
1
1
1
*
)
(
−
−
−
−
=
az
a
z
z
H
，其中a* 是a 之共軛複數且
1
<
a
；
請證明此系統為一all-pass 系統。
已知一causal、線性非時變離散系統具有下列轉換函數：
)
64
.0
1(
)
4
1
)(
5.0
1(
)
(
2
2
1
2
−
−
−
−
+
−
=
z
z
z
z
H

請將H2(z) 表示成一minimum-phase 系統Hmin (z) 及all-pass 系統 Hap(z) 的乘積，
亦即H2(z)=Hmin(z)Hap(z)；請分別求出Hmin(z) 及Hap(z)。（15 分）

題目為考試當年公告版本，實務標準請以現行規範為準。