統計 106 年迴歸分析考古題（共 5 題）
資料來源：考選部歷屆試題｜法律人 LawPlayer 整理
https://lawplayer.com/exam/statistics-civil-service/106-%E8%BF%B4%E6%AD%B8%E5%88%86%E6%9E%90

第 1 題
考慮一多元線性迴歸模型，其反應變數為Y，解釋變數為X1 , X2 , … , Xk，有n 個觀測
值，線性迴歸模型為
n
i
X
X
X
Y
i
ik
k
i
i
i
,
...
,1
,
...

第 2 題
2
1
1
0
=
+
+
+
+
+
=
ε
β
β
β
β
，其中誤差項
iε
之期望值為0，變異數為
2
σ ，且兩兩獨立，此模型以向量及矩陣方式表示為
(*)
ε
β +
= X
Y
，其中
,
1
2
1
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
n
Y
Y
Y
Y
#
1
2
1
1
)1
(
1
0
)1
(
2
1
1
21
11
,
,
1
1
1
×
×
+
+
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
n
k
k
k
n
nk
k
k
n
X
X
X
X
X
X
X
ε
ε
ε
ε
β
β
β
β
#
#
#
"
"
"
"
#

請回答下列問題：（每小題5 分，共30 分）
㈠以向量及矩陣方式，試求出參數向量β 之最小平方估計量向量b。
㈡承題㈠，令A 為一個2 × (k+1) 的矩陣，求Ab 之變異數-共變異數矩陣。
㈢配適值向量表為
HY
Y =
ˆ
，寫出矩陣H。
㈣求出殘差向量e =
Y
Y
ˆ
−
之變異數-共變異數矩陣。
㈤令A 為對稱矩陣，則
AY
Y'
稱為Y 之二次式，將此模型之SSE（error sum of square）
=
e
'e
表成二次式，其中'
Y 和'e 分別是Y 和e之轉置矩陣。
㈥求出β 之最大概似估計量，對誤差項向量需要什麼假設。
二、某無人車研發公司欲預測它的行車時間Y，考慮了三個高度相關的解釋變數分別是行
駛里數X1，車種X2，車齡X3，收集過去20 個月資料得到
SSR(X1, X2, X3) = 4000,
SSR(X1) = 1000,
SSR(X1|X2) = 600,
SSE(X1, X2, X3) = 800,
請回答下列問題：（每小題5 分，共15 分）
㈠求偏判定係數2
X
X
.
YX
2
1

第 3 題
r
。
㈡檢定偏相關係數
2
1
3
X
X
.
YX
ρ
是否為0，請求出F 檢定統計量的值。
㈢求偏判定係數2
X
.
X
YX
3
2
1
r
（以最簡分數表示）。

106年特種考試地方政府公務人員考試試題
等
別： 三等考試
類
科： 統計
科
目： 迴歸分析

三、一國內規模最大的律師事務所專門辦理職災案件，總經理想了解他們在捷運上的廣告有
沒有增加他們的業務量，根據過去隨機抽取11 月的資料，利用兩個解釋變數：一為單
月廣告費用X1（單位為百萬元，平均值為1 單位，標準差為2 單位），另一個為主要競
爭對手單月廣告費用X2（單位為百萬元，平均值為1 單位，標準差為2 單位）來預測職
災案件的每月增加件數Y（單位為件，平均值為3 件，標準差為2 件），下表是以不同
解釋變數配適每月增加件數Y 之迴歸模型的參數最小平方估計量和誤差平方和SSE。
迴歸模型代號
迴歸模型中的解釋變數
參數最小平方估計量
SSE
LM1
X1
b1 = 0.3
5
LM2
X2
b2 = －0.1
8
LM3
X1, X2
b1 = 0.2, b2 = －0.2

第 4 題
下面所有小題的計算若除不盡，一律四捨五入到小數第二位，否則不給分。
㈠分別求出三個迴歸模型LM1~LM3 之判定係數。（6 分）
㈡分別求出三個迴歸模型LM1~LM3 之修正判定係數。（6 分）
㈢使用題㈡的結果求出Y 和X1 之相關係數以及Y 和X2 之相關係數。（4 分）
㈣針對迴歸模型LM3 於試卷上依序填入下列ANOVA 表中(1)~(8)之8 個空格內容。（8 分）

Analysis of Variance
Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value

Model

(1)
(3)

(6)
(8)
Error

(2)
(4)

(7)
Corrected Total

10
(5)

㈤針對迴歸模型LM3 欲檢定X2 的係數是否為0，求出偏F 檢定的計算值。（6 分）
㈥針對迴歸模型LM3，當迴歸係數在什麼條件下，MSR 的期望值為
2
σ ？（5 分）
㈦若三個變數之變異數-共變異數矩陣為：
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
16
1
0
1
4
1
0
1
1
V

為了求其相關係數矩陣，需在V 前後乘一個對角矩陣，寫出此對角矩陣。（5 分）
四、某大數據資料分析公司以Y 對三個變數X1, X2, X3 所做的複迴歸分析中，樣本大小
n = 14，得到複判定係數R2 = 90%，又將Y 改對變數X2 做迴歸分析時，得到判定係
數R2
= 70%，請回答下列問題：（每小題5 分，共15 分）
㈠此公司欲檢定X1, X3 的迴歸係數是否為0，請求出F 檢定統計量的值。
㈡設速食店營收為Y（單位為百萬元），廣告費為X1，有得來速（drive-through）服務
時X2 = 1，沒有則X2 = 0，做迴歸分析得到迴歸平面為Y = 1+1.5 X1+2 X2，因有得
來速服務多出來的平均營收為多少元？
㈢承題㈡，令
2
j
R 代表解釋變數Xj 對另一個解釋變數做迴歸分析得到的判定係數，
j = 1,2, 且
2
1
R = 0.65,
2
2
R = 0.95,求出X2 之變異數膨脹因子（VIF），若VIF 大於10 代
表模式有何問題？
(1) ~
(8) 之8 個空格內容。（8 分）

Analysis of Variance
Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value

Model（8 分）
(1) (3)
(6) (8)
Error
(2) (4)
(7) Corrected Total

10
(5) ㈤針對迴歸模型LM3 欲檢定X2 的係數是否為0，求出偏F 檢定的計算值。（6 分）
㈥針對迴歸模型LM3，當迴歸係數在什麼條件下，MSR 的期望值為
2
σ ？（5 分）
㈦若三個變數之變異數-共變異數矩陣為：
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
16
1
0
1
4
1
0
1
1
V

為了求其相關係數矩陣，需在V 前後乘一個對角矩陣，寫出此對角矩陣。（5 分）
四、某大數據資料分析公司以Y 對三個變數X1, X2, X3 所做的複迴歸分析中，樣本大小
n = 14，得到複判定係數R2 = 90%，又將Y 改對變數X2 做迴歸分析時，得到判定係
數R2
= 70%，請回答下列問題：（每小題5 分，共15 分）
㈠此公司欲檢定X1, X3 的迴歸係數是否為0，請求出F 檢定統計量的值。
㈡設速食店營收為Y（單位為百萬元），廣告費為X1，有得來速（drive-through）服務
時X2 = 1，沒有則X2 = 0，做迴歸分析得到迴歸平面為Y = 1+1.5 X1+2 X2，因有得
來速服務多出來的平均營收為多少元？
㈢承題㈡，令
2
j
R 代表解釋變數Xj 對另一個解釋變數做迴歸分析得到的判定係數，
j = 1,2, 且
2
1
R = 0.65,
2
2
R = 0.95,求出X2 之變異數膨脹因子（VIF），若VIF 大於10 代
表模式有何問題？（6 分）

第 5 題
一位分析師擬以
∑
=
−
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
−
=
n
i
i
i
i
i
X
X
Y
Y
n
2
1
1
1
1
1
~β
估計簡單線性迴歸模型
i
i
i
X
Y
ε
β
β
+
+
=
1
0
，
之
斜率
n
i
,...,
1
=
1β 。他可以證明
1
~β 是一個不偏估計式。請寫出
1β 的最小平方估計式
。在無須推導
1ˆβ
1
~β 的變異
數下，試述相較於最小平方估計式
，
1ˆβ
1
~β
ˆβ
和
何者為最佳之估計式？請詳細敘述所依據
的理由或定理。（10 分）
1

題目為考試當年公告版本，實務標準請以現行規範為準。