統計 91 年線性模式考古題（共 4 題）
資料來源：考選部歷屆試題｜法律人 LawPlayer 整理
https://lawplayer.com/exam/statistics-civil-service/91-%E7%B7%9A%E6%80%A7%E6%A8%A1%E5%BC%8F

第 1 題
考慮一個簡單線性迴歸模式：（每小題10 分，共40 分）
Yi=β0+xi β1+εi，i=1, 2, …, n，
其中E(εi)=0，Var(εi)=σ2，Cov(εi，εj)=0，i≠j。
試求β0 和β1 的最小平方估計量b0 和b1。
試證
中求出的b0 和b1分別為β0 和β1的最佳線性不偏估計量(best linear unbiased
estimator (BLUE))。
假如Var(εi)=σ2 更改為Var(εi)=σ2ωi，試求β0 和β1 的加權最小平方估計量bw0 和
bw1。
試問
中求出的bw0和bw1 是否分別為β0 和β1 的最佳線性不偏估計量？（請回答並
證明之）

第 2 題
假設
Y1=α1+α2+ε1，
Y2=2α2+ε2，
和
Y3= -α1+α2+ε３，
其中εi(i=1, 2, 3)是互相獨立且來自於N(0, σ2)分配。試導出對於檢定H：α1=2α2 的檢
定統計量及其在H 之下具有何種分配。（20 分）

第 3 題
假設Yi=βxi+ui，xi > 0(i=1, 2, …, n)，其中ui=ρui-1+εi 和εi是互相獨立且來自於
N(0, σ2)分配。假如βˆ 是β 的最小平方估計量，則試證當ρ>0 時，Var(βˆ ) > (
∑
=
n
i
ix
1
2
2 /
σ
)。
（20 分）

第 4 題
當真正的模式是E(Y)=β0+β1x+β2x2+β3x3 時，卻假設被要求的線性模式是
E(Y)= β0+β1x。現在假如我們利用在x= -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 中Y 的觀測值去估計
被要求的線性模式中β0和β1，則試求β0和β1的估計量之偏差(bias)。（20 分）

題目為考試當年公告版本，實務標準請以現行規範為準。