材料力學考古題｜歷屆國考試題彙整

如圖一所示，4 kN 的負載由四根304 不銹鋼線支撐（楊氏模數E=193 GPa）， 鋼線連接在剛性的構件AB 及CD 上。試求負載作用後各構件（構件AB 及 構件CD）的傾斜角度。構件起始是水平且各鋼線的截面積為

如圖1 由兩圓桿AC 與BC 構成之對稱桁架系統，兩桿件長度皆為1 m， 圓形斷面半徑皆為2 cm 。桿件由彈性模數（modulus of elasticity）為 200 GPa 之鋼材構成。今於C 點施加一向下100 kN之集中載重P，假設 兩桿件仍維持彈性及小變形狀態，且自重可忽略。請問兩桿件各自內力 及變形量為何？兩桿件交會之C 點於集中載重施加後位移至何處（請指 明方位及量值）？（25 分） 圖1

30 mm 。 （25 分） 圖一 二、考慮一薄壁圓筒壓力容器槽，其內徑r = 1 m，槽壁厚度t = 0.1 m，壓力 容器槽內氣體壓力為p = 10 MPa，據此請求出該容器槽內壁所承受的最 大剪應力的絕對值為何？（25 分） 0.3 m 1.2 m F 1.2 m 1.5 m 4 kN B 0.3 m A 0.6 m 1.5 m D E H C

如圖2(a)之結構，有一繩固定於B 點，經過E 點之滑輪，另一端受500 N 之水平集中拉力作用。水平梁桿件ABCD 由5 cm乘12 cm之矩形斷面構 成，斷面強軸平行於地面。忽略繩與滑輪間之摩擦力，以及結構中之應 力集中。梁桿件ABCD 內之正剪力與正彎矩定義如圖2(b)所示。請繪出 梁桿件ABCD 內之剪力圖及彎矩圖，並求出梁ABCD 內，因彎矩而產 生之最大正向應力。（25 分） 圖2 A B C P 30∘ 30∘ A B C D E 3 m 3 m 3 m 4 m P = 500 N

如圖二所示，當梁上之最大正彎矩值與最大負彎矩值相同時，試問a值為 何？已知梁之彈性模數E 與斷面對中性面之慣性矩I 均為常數。已知彎矩 M(x)與撓度（或稱側向位移）ݒ(ݔ)、斜度ߠ(x)存在M(x)=EI v"(x)、ߠ(x)= ௗ௩(௫) ௗ௫。 並且以下表格中懸臂梁在距離自由端x = a處受到集中荷重P 的彈性位移 曲線為已知，使用線性疊加原理求解。（√2 = 1.41421）（25 分） 參考表格 梁 撓度 ݒ(ݔ) = ௉ ଺ாூ[3(ܮ−ܽ)ଶݔ−3ܽ(ܮ−ܽ)ଶ− 2(ܮ−ܽ)ଷ] 0 ≤ݔ≤ܽ ݒ(ݔ) = ܲ 6ܧܫ[(ܮ−ݔ)ଷ−3(ܮ−ܽ)(ܮ−ݔ)ଶ] ܽ≤ݔ≤ܮ 圖二

如圖3 之簡支梁ABC，全長2 m ，於C 點受集中彎矩M 100 N  作用。 此梁材料彈性模數E 與斷面慣性矩I 之乘積為 2 EI 500 kN-m  。請依據 圖3 所提供之卡式座標系統方位及座標原點，寫出整根梁之變形方程式。 （25 分） 圖3

如圖三所示，有一桁架系統由桿件透過鉸接組合而成。已知所有桿件均為 A46 合金鋼所製作的圓桿，其降伏強度250 MPa、彈性模數為200 GPa， 桿件的截面積均為0.03 m2，且該圓桿截面上的慣性矩Ix= Iy= ଵ ସݎସ，r 為截 面圓的半徑。又AB、BC、AE、CD 桿件長度為1 m，DE 桿件長度為2 m。 已知兩端鉸接之桿件其挫屈（buckling）的臨界載重可以表達為ܲ௖௥= ாூగమ ௅మ， 若同時考量挫屈及降伏均為失敗，請問此時桁架系統所受的水平力P 最大 可為多少？（=3.14159、√2 = 1.41421）（25 分） 圖三 P x a L 鉸接點 鉸支承 滾支承 P A B C D E 1 1 1 x y 圓截面示意圖 P

圖4 梁之A 端為固定端，B 端支撐於一勁度為k 之垂直向彈簧。梁長 L 2 m  ，梁斷面為10 cm 乘10 cm 之正方形斷面。梁材料之彈性模數 （modulus of elasticity ）為200 Gpa 。今已知該梁桿件每公尺受 q 1000 N/m  （已含自重）之均布載重作用後，B 端之垂直向彈簧產生 250 N軸力，請求出該彈簧之勁度k，以及該梁內部因彎矩而產生之最大 正向應力。（25 分） 圖4 y A B C x M L/2 L/2 B k A q L

有一ABCD 水平桿件如下圖所示，AB 段橫斷面面積 4

參考（圖1）之方向定義，試寫出梁的撓曲變形函數u(x)與分布載重q(x) 之間的關係式，並列舉有關此式至少三個基本假設。試以此關係式出發， 推導圖1 左端固定之懸臂梁撓曲變形函數，以及梁右端點b 之順時針旋 轉傾斜角θ 與垂直向下位移∆。令EI 為此梁之撓曲剛度，qo 為載重係數， 兩者皆為常數。（25 分） （圖1）

1 A 10 10 m    ， BCD 段橫斷面面積 4 2 2 A 8 10 m   。ABCD 桿件之A 點為固定端，D 點 與牆面有一間隙 4 δ 2 10 m    存在。設L 2 m  ，桿件之彈性係數 E 200 GPa  。當B 點受一集中力P 5 kN  ，且C 點受一集中力Q 20 kN  時，D 點是否會碰觸到牆？試求P 及Q 作用下，此桿件在A 點與D 點 所受之水平力，並註明反力之方向。（25 分） 二、有一矩形梁受兩個集中載重如下圖所示，A 點為鉸支承，B 點為滾支承， C 點為自由端。如此梁之最大容許彎曲應力為10 MPa，且最大容許剪應 力為0.5 MPa ，試求P 之最大值為何？（25 分）

一根三夾板梁由兩種彈性材料組成，夾心層材料之彈性係數為 Es=200000 MPa，上下兩外層由材料Ea=50000 MPa 所製成。各層具有矩 形斷面，且各層之斷面積相同，皆為A=20 mm2，長度L=1200 mm。心 層與外層之熱膨脹係數分別為s=1.0×10-5(1/℃)與a=2.0×10-5(1/℃)。此 梁將被安裝於兩剛性牆面之間，事先預留=0.2 mm 之微小間隙使其暫不 受力，如（圖2）所示，此時若將溫度均勻提高T=20℃，試問升溫後組 合梁內部所受之總軸力F 為何？如果心層與外層之材料容許應力分別為 s=10.0 MPa 和a=5.0 MPa，則升溫上限為何？（25 分） （圖2） x L q(x)=qo(x/L)2 u a b s

有一60應變計組合，安裝在圓柱形壓縮空氣儲槽表面如下圖所示。應變計 A 的紀錄為 a 6 100 10   ，應變計B 與C 的紀錄相等，且 b c 6 280 10   。 如果儲槽的半徑r 與厚度t 之比值r/t 20  ，且儲槽內部空氣壓力為 p 4 MPa  ，計算儲槽材料的彈性係數E 和柏松比。（25 分） 提示： x y x y xy x' cos2 sin2 2 2 2       

圓弧形彎梁左端固定於剛性牆面，座標與尺寸標示如（圖3），梁斷面為 均勻實心方形20 mm×20 mm 斷面，材料彈性係數E=200000 MPa，柏松 比v=0.25，剪力係數G=80000 MPa，現於梁之自由端施加一垂直於梁身 之水平力P=20 N（x-方向），試計算點a 處梁內最大法向應力σxx 與點b 處最大剪應力τxy，以及絕對最大法向應變εmax 與絕對最大剪應變γmax。 （25 分） （圖3）

有一連續梁ABCDE 如下圖所示，A 點為固定端，B 點為鉸支承，C 點 為鉸接，D 點為滾支承。此梁於C 點受到一集中載重P，如梁斷面彎矩 勁度為EI，求A、B 及D 點之反力（可包括彎矩）。並計算C 點之位移、 D 點之轉角及E 點之位移。請註明反力、位移及轉角之方向。（25 分） 提示：a b L   2 Px v(x) (3a x), 0 x a, 6EI     2 Pa v(x) (3x a), a x L. 6EI    

一水平梁承受若干垂直力與平面內力矩，梁斷面內正值之剪力與彎矩定 義如（圖4a），其剪力圖（單位kN）與彎矩圖（單位kN．m）示意如（圖 4b），試完成剪力圖並推估此梁之所有受力與力矩。（25 分） 1 m x y P 1 m a b r  梁內正剪力 梁內正彎矩 （圖4a） 剪力圖 彎矩圖 2 m 2 m 4 m 0 0 （圖4b） -16 22 -18 0