經建行政 113 年數量方法考古題

令Y1, Y2,… ,YN 為從平均值為、變異數為2 之常態分布中隨機抽樣而 得之N 個樣本。則樣本平均值ܻത= ଵ ே∑ ܻ௜ ே ௜ୀଵ 。 請以詳細的推導過程及清楚標示的符號，計算出上述樣本平均值ܻത 所依循分布的平均值。（12 分） 請以詳細的推導過程及清楚標示的符號，計算出上述樣本平均值ܻത 所依循分布的變異數。（13 分）

考慮下列線性迴歸模型：Yi = a + b Xi + ei, i = 1, 2,…, N。其中Yi 為被解 釋變數、Xi 為解釋變數、a 為常數項、b 為斜率項、e 為誤差項，共有N 個橫斷面觀察值。 若以普通最小平方法進行參數估計，請列出利用該方法的最佳化問 題，應詳細說明符號意義。（8 分） 請以詳細的算式及標示清晰的符號，推導出上述最佳化問題的所有一 階必要條件。（10 分） 請以前一子題所得到的一階必要條件，求解出所有待估計係數的估計 式，應詳列算式及求解過程。（7 分）

給定複迴歸式Yi = a + b1 X1i + b2 X2i + b3 X3i + b4 X4i + b5 X5i + ei, i = 1,…, N，其中Y 為被解釋變數，X1, X2, X3, X4, X5 為解釋變數，ei 為誤差項。 請詳細說明應以何種統計檢定來判定是否應將解釋變數X4 及X5 納入 上述迴歸式中。（12 分） 請以文字及標示清晰的數學式，詳細說明上述統計檢定的執行步驟。 （13 分）

考慮自我迴歸（Auto-regression）模型Yt = 0 + 1Yt-1 + et, t =1,…, T，其 中t 為時間，Yt 為時間序列變數，et 為誤差項。 請詳細說明何謂單根（unit root）？（8 分） 單根的存在會產生那些迴歸估計上的問題？（7 分） 請舉出一種單根檢定（unit root test），並詳細說明利用它進行單根檢定 的執行步驟。（10 分）