經建行政 113 年統計學考古題

假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值（µ）為140 milliequivalents per liter（mEq/L），標準差（σ）為3.5，請回答下列問題： （每小題10 分，共20 分） 假設今隨機抽樣25 位民眾測其血液中鈉離子，請問這25 位民眾血液 中鈉離子的平均濃度高於140.5 mEq/L 的機率約為何？ 在母體的標準差（σ）未知情形下，假設今隨機抽樣25 名民眾，其樣 本的標準差（s）為5。請問這25 位民眾血液中鈉離子的平均濃度介 於138~142 mEq/L 之間的機率為何？

5.0239 3.8415 5 2.571 2.015

令隨機變數 1,..., n X X 彼此獨立且具有相同分配： 1 ( ) f x x    , 0 1 x  , 0    請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分） 試求的最大概似估計子（MLE）。 試求題估計子的一階動差。

7.3778 5.9915 6 2.447 1.943

陳老師為了解創新教學方法是否能提升學生學習成效，於是他針對課堂 7 位學生，分別記錄使用創新教學方法前及使用創新教學方法後的測驗 成績，成績越高代表學習成效越好，資料如下： 學生 1 2 3

9.3484 7.8147 10 2.228 1.812

11.1433 9.4877 11 2.201 1.796

12.8325 11.0705 12 2.179 1.782

14.4494 12.5916 一、有一位理財規劃專員為客戶規劃了一個投資組合，其設計為0.7 的比例 投資A 公司股票，0.3 的比例投資B 公司股票。由歷年資料計算得知投 資A 報酬率的平均數為12%，標準差為15%；投資B 報酬率的平均數 為5%，標準差為8%。回答問題至，寫出計算過程且四捨五入至小 數點後第4 位。 這個投資組合報酬率的平均數為多少？（4 分） 若投資A 和投資B 報酬率之間的相關係數為−0.3，則這個投資組合的 報酬率離平均數的1 個正、負標準差的上、下限數值各是多少？（10 分） 若問題得到的下限數值為不低於−0.05，理專就會建議客戶可以考 慮採納此投資組合，理專是根據什麼理由採取這種建議？（5 分） 32920 為評估資金「全部投資A」，或「全部投資B」，或「採取0.7 的比例投 資A 以及0.3 的比例投資B 的投資組合」三種策略的風險，請計算此 三種策略的變異係數。（6 分） 二、若已知簡單線性迴歸模型為 ݕ௜= ߙ+ ߚݔ௜+ ߝ௜, ݅= 1,2, ⋯, ݊，假設ߝ௜為相互獨立且具有共同分配 N（0, ߪଶ）。令ݕ௜的最小平方估計值為ݕො௜= ܽ+ ܾݔ௜，回答以下問題： 令ݑ௜= ݕ௜−ݕത，ݒ௜= ݔ௜−ݔ̅，及此變數變換後之ݑ௜的最小平方估計值為 ݑො௜= ܿ+ ݀ݒ௜，其中ݔ̅和ݕത分別表示݊個ݔ௜和݊個ݕ௜的樣本平均數。請推導 出c 和d。（5 分） 令ݖ௜= ௬೔ି௬ത ௦೤，ݓ௜= ௫೔ି௫̅ ௦ೣ，及此變數變換後之ݖ௜的最小平方估計值為 ݖ̂௜= ݃+ ℎݓ௜，其中ݏ௫和ݏ௬分別表示݊個ݔ௜和ݕ௜的樣本標準差。請推導出 ݃和ℎ。（5 分） 已知ݔ௜的資料結構可以分成二部分，其中第一個部分的݊ଵ個資料點的 數值皆為1，即ݔ௜= 1, ݅= 1,2, ⋯, ݊ଵ；第二個部分的݊ଶ個資料點的數值 皆為0，即ݔ௜= 0, ݅= ݊ଵ+ 1, ݊ଵ+ 2, ⋯, ݊，݊= ݊ଵ+ ݊ଶ。請推導出ܽ 和ܾ。（10 分） 三、有一個手機廠商準備推出一款新式樣的手機A，為了解市場接受程度， 進行以下所述的顧客偏好度調查：隨機選取100 位女性及100 位男性， 對二組內的每一個人給予他們一款A 式樣手機和一款競爭廠商的B 式 樣手機，詢問他們偏好那一款手機；結果顯示女性有85 位偏好A 式樣， 男性有75 位偏好A 式樣。以݌ଵ表示女性群體對A 手機的偏好度，݌ଶ表 示男性群體對A 手機的偏好度，在顯著水準為0.05 下，回答以下問題： 由二項分配觀點出發，在可以引用中央極限定理之下，以檢定統計量 Z 檢定女性和男性對A 式樣手機的偏好度有無差異。（8 分） 由列聯表分析觀點出發，以卡方檢定統計量檢定「女性組內之A 與非 A 的比例」與「男性組內之A 與非A 的比例」有無差異。（8 分） 題之卡方檢定屬於「適合度檢定」、「齊一性檢定」、或「獨立性 檢定」中之何種檢定，說明你的看法。（4 分） 32920 四、為瞭解大學畢業生投入A 產業與B 產業的起始月薪是否有顯著差異， 有一家市場調查公司自二個產業的新進人員母體中隨機抽取了以下樣 本數為6 的A、B 二組起始月薪樣本資料（單位：千元）： A產業 29 31 32 32 33 35 B產業 32 33 34 35 41 41 假設二母體資料分配都是常態分配且二分配的變異數相等，根據這個假 設，回答以下四個子問題： 計算出虛無假設：「二母體資料的平均數沒有差異」下的t 檢定統計量 的估計值，計算過程必須列出。（10 分） 利用單因子變異數分析方法再次檢定「二母體資料的平均數是否有差 異」，計算出變異數分析（ANOVA）表中的每一個數值即可，計算過 程必須列出。（10 分） 令Z 表示標準常態分配，U 表示自由度n 的卡方分配，W 表示自由度 m 的卡方分配，且Z、U、W 三者彼此相互獨立。寫出檢定統計量t 與 F 的定義，並根據這二個定義寫出這二個檢定統計量的關係表達式。 （10 分） 利用題的結果及所附三個統計分配的右尾機率表，在顯著水準5% 之下，寫出題中利用單因子變異數分析方法檢定「二母體資料的平 均數是否有差異」的拒絕域及結論。（5 分）

使用前 84 72 61 78 83 86 71 使用後 90 86 72 80 85 88 80 在0.05 的顯著水準下，請利用p 值法檢定是否創新教學方法會提高學生 學習成效？（15 分） 31920 50520 四、使用了三種肥料後農作物的生長高度（cm），如下表所示： A B C 20 27 21 27 24 17 26 21 20 24 25 22 請建立ANOVA 表，並在顯著水準0.1 下檢定三種肥料對農作物的平均 生長高度是否不同？（15 分） 五、醫藥人員想了解服藥的藥量（X）與藥效維持時間（Y）的關係，於是記 錄8 位病人服藥的結果如下： X 2 3 4 2 5 1 3 4 Y 20 20 60 25 75 10 40 60 試用最小平方估計法（LSE）建立一迴歸方程式，來描述藥量對藥效 維持時間的影響。（10 分） 在0.05 的顯著水準下，檢定藥量對藥效維持時間是否有顯著的影響。 （15 分） 此迴歸模型的解釋能力如何？（5 分） 31920 50520 附表1 表中的數值代表對應的z 值 以左，標準常態曲線下方的 面積。例如，z=1.25，累積機 率下0.8944。 累積機率 31920 50520 附表2