經建行政 107 年統計學考古題

某超商商品的平均折扣率為24%，折扣率的標準差為2%，商品折扣率 的中位數為25.5%。 使用柴比氏定理，多少比例的商品其折扣率介於21%至27%？（10 分） 變異係數為何？並解釋所計算出之數値代表何意？（5 分） 偏度係數為何？並解釋所計算出之數値代表何意？（5 分）

某國營事業單位今年準備以招聘考試招收202 人，其中177 人為正取人員，25 人為 備取人員，今年報考人數共計2500 人，考試滿分為400 分，考試後得知應考人成績 X 服從平均數為μ ，標準差為σ 的常態分配，即X～N(μ ,σ )，且μ =256 分，成績在 360 分以上者共有47 人，請依據上面之訊息，試求：（每小題8 分，共24 分） 這2500 位應考人成績分配之標準差為σ =？ 此項考試正取人員的最低錄取分數為何？ 若某甲參加了這個國營事業單位的考試，而他考試的分數為327 分，則他是否被 錄取為正取？還是備取，抑或是落榜了？

某公司有兩個工廠A 及B，主要製造某種特殊型電風扇，且只製作紅色 及灰色兩種顏色。已知此公司所製造的特殊型電風扇有1/4 來自於A 工 廠，有3/4 來自於B 工廠。除此之外，A 工廠所製造的特殊型電風扇中 有1/3 為紅色，由B 工廠所製造的特殊型電風扇中則有7/9 為紅色。 某客人自電器商店隨機選購一台此公司製造的特殊型電風扇，打開箱 子後此電風扇為紅色的機率為何？（5 分） 有兩家電器商店S1 及S2 分別庫存4 台及3 台此特殊型電風扇，請問 此2 家電器商店皆無此紅色特殊型電風扇的機率為何？（10 分） 承，若此2 家電器商店有相同數量之紅色特殊型電風扇之機率為 何？（5 分）

設二維隨機變量（X ,Y）的聯合機率密度函數為 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > + + = ，其他 0 0 ,0 , )1 ( 6 ) , ( 4 y x y x y x f 試求：（每小題6 分，共12 分） 當Y=y 時，X 的條件機率密度函數 ) ( y x f Y X 為何？  ) 1 1 0 ( = ≤ ≤ Y X P =？

電腦工廠組裝員組裝電腦時間為左偏分布，平均數為25 分鐘，標準差 為8 分鐘。自工廠隨機抽取45 位組裝員為樣本並計算樣本平均電腦組 裝時間（Xഥ）。試問： 樣本平均組裝時間分布之形狀、平均數及標準差為何？（5 分） 樣本平均組裝時間落在其抽樣分配平均數左右K 分鐘內的機率為 95%，K 為多少？（10 分） 自母體中隨機抽取樣本數為45 位組裝員，若重複前述抽樣，每次抽 樣結果皆計算區間Xഥ±K，請問所計算的區間，有多少比例會包含數值 25 分鐘？請解釋。（5 分）

設由兩個常態母體 )1 , ( 1 1 = σ μ N 及 )2 , ( 2 2 = σ μ N 中分別抽出大小為 及 的兩組獨立隨機 樣本，且令 1 n 2 n 1 X 及 2 X 分別為此兩組隨機樣本的樣本平均數，則：（每小題8 分，共16 分） 估計 2 1 μ μ − 的95%的信賴區間。 試以 1 X ， 2 X 若為使中所求的95%信賴區間長度為最短，且 時，試問 與 應 為多少？ 100 2 1 = + n n 1 n 2 n

晶晶百貨公司老闆想瞭解來百貨公司購物的消費者行為是否有改變。根 據過去歷史資料，消費者來晶晶百貨公司平均花0.75 小時，所花時間的 標準差為0.10 小時。最近百貨公司開闢特別小吃休憩區，希望能讓消費 者留在百貨公司久一些。開始營運後，企劃部需要評估此特別小吃休憩 區的成效，因此隨機自逛百貨公司的消費者中抽出45 位為樣本，發現 平均逛百貨公司的時間為0.80 小時。 在顯著水準為0.10 的情況下，請檢定消費者平均逛百貨公司的時間是 否有改變？（10 分） 假設消費者實際逛百貨公司的平均時間自0.75 小時增加到0.79 小 時，請問型II 過誤為何？（5 分） 當企劃部將小題的結果報告給老闆，老闆認為所犯的型II 過誤太 高，要如何降低此錯誤機率？請進一步說明之。（5 分）

設隨機變數X 服從在[ 1 θ , 2 θ ]上之均等分配（uniform distribution），其中 1 θ , 2 θ 為未知參 數，即隨機變數X 的機率密度函數為 ⎪⎩ ⎪⎨ ∈ ∀ − = ，其他 0 ] , [ , ) ( 2 1 1 2 θ θ θ θ x x f ⎧ 1 又令 為抽自X 之一組大小為n 之隨機樣本，則：（每小題8 分，共24 分） n X X X ,..., , 2 1 隨機變數X 之期望值E(X)=？變異數V(X)=？ 試以動差估計法（the method of moments estimation）求 1 θ , 2 θ 之點估計量。 試以最大概似估計法（the method of maximum likelihood estimation）求1 θ , 2 θ 之點估 計量。 （請接第二頁） 107年公務人員高等考試三級考試試題 32880、37580 全三頁 第二頁 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學

某二手汽車雜誌提供中古汽車價格與車齡資料供有興趣購買中古車的 消費者參考。下列為這個月10 台中古汽車資料： 1 2 3 4 5

某汽車電瓶公司宣稱其所製造的小汽車電瓶之平均壽命為3年，標準差為1年。中華 民國消費者文教基金會為了檢驗該公司的宣稱是否屬實，在市場上隨機抽取五個該 公司所生產的小汽車電瓶做測試，結果得到電瓶壽命資料（單位：年）為1.9, 2.4, 4.2, 3.5, 3.0。假設該公司所生產的小汽車電瓶壽命具常態分配N(μ,σ )，試根據上述資料， 建立該公司所生產的小汽車電瓶壽命標準差σ 之95%信賴區間，並請根據此信賴區間 的結果，判定是否有足夠的證據在顯著水準 0.05 = α 下，判定是否相信該公司對電瓶 壽命標準差的宣稱。（10分）

1 0.05 199.5000 215.7073 224.5832 230.1619 233.9860 1 0.025 799.5000 864.1630 899.5833 921.8479 937.1111 2 0.05 19.0000 19.1643 19.2468 19.2964 19.3295 2 0.025 39.0000 39.1655 39.2484 39.2982 39.3315 3 0.05 9.5521 9.2766 9.1172 9.0135 8.9406 3 0.025 16.0441 15.4392 15.1010 14.8848 14.7347 4 0.05 6.9443 6.5914 6.3882 6.2561 6.1631 4 0.025 10.6491 9.9792 9.6045 9.3645 9.1973 5 0.05 5.7861 5.4095 5.1922 5.0503 4.9503 5 0.025 8.4336 7.7636 7.3879 7.1464 6.9777 6 0.05 5.1433 4.7571 4.5337 4.3874 4.2839 6 0.025 7.2599 6.5988 6.2272 5.9876 5.8198 分子自由度 例如: 在分子自由度為2，分母自由度為2， α=0.05，P(F > 19)=0.05

為瞭解台灣彩券公司4 星彩中獎號碼是否為隨機產生，記錄最近30 期中獎號碼，得 到下列資料： 數字 0 1 2 3 4 5 6

9 10 價格（單位：萬元） 25 64 45 33 50 78 12 14 35 44 車齡（單位：年） 8 3 6 5 5 2 8 10 9 8 請畫出此10 台中古汽車車齡（X 座標軸）與其價格的散布圖。（5 分） 此10台中古汽車車齡與其價格之樣本平均數及標準差各為何？（5分） 此10 台中古汽車車齡與其價格之樣本相關係數（Correlation Coefficient）為何？（5 分） 當顯著水準為0.10，請檢定此中古汽車車齡與其價格間是否有顯著線 性關係？並請說明之。（5 分） 附表 常態曲線下之面積 面積 z 0 t 分配之臨界值 tα 0

9 出現次數 11 12 10 9 9 10 15 14 17 13 試以 0.05 = α 之顯著水準，檢定最近30 期台灣彩券公司4 星彩中獎號碼之數字出現的 次數分配可否合於均等分配（Uniform distribution）（即檢定0,1,…,9 等10 個數字被 搖出之機率是否相等）？ 可使用那一統計方法？（2 分） 如何利用之方法進行檢定（請寫出完整的檢定步驟）？又檢定的結論為何？（12 分） （請接第三頁） 107年公務人員高等考試三級考試試題 32880、37580 全三頁 第三頁 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 附統計表：標準常態機率分配表，Z～N(0,1) 2 χ 分配右尾百分點 表 (v) 2 α χ