經建行政 101 年統計學考古題

假若參加投擲一個公平骰子一次需付費50 元，但可以獲得的報酬金額為骰子出現 點數之10 倍。 令隨機變數X 表示骰子出現之點數，Y 表示骰子出現點數之10 倍金額。 試寫出X 之機率分配。（5 分） 試寫出Y 和X 之關係式。（5 分） 試計算X 的期望值。（5 分） 試計算Y 的期望值。（5 分） 是否值得玩此遊戲？請說明原因。（5 分）

在農業試驗之某種果樹可能生出既大又酸的水果，也可能生出雖小又甜的水果。 若此種果樹長出既大又酸的水果之機率為 及長出雖小又甜的水果之機率為 。令 為此試驗種出 棵果樹中長出既大又酸水果之棵數。但已知由 估計 的100 1p p X 30 = n X p )% 1(

假設隨機變數X 服從常態分配，期望值為μ 且變異數為 2 σ 。 令X 為樣本平均數，n 為樣本數（n＜25），且 2 S 為樣本變異數。 試問X 的抽樣分配為何？（6 分） 試問 2 S 的抽樣分配為何？（6 分） 試建立μ 的95%信賴區間。（6 分） 試建立 2 σ 的95%信賴區間。（7 分）

1 α − ) 7.0,4.0 信賴區間為( ，試求：  的 2 p )% 1( 100 α − 信賴區間。（15 分） 當顯著水準為 )1,0 ( ∈ α ，但未知時，請檢定 vs. 0.4 2 0 = p H： 0.4 2 1 ≠ p H： 。（10 分） 二、中部地區平均每公畝生產A 水果5 單位（每單位為100 公斤）。近年因氣候異常， 令人質疑每公畝平均產量是否仍為5 單位。 若隨機樣本 具有常態分配 n X X X , , , 2 1 L )1, (μ N ，則請推導顯著水準為α 之概似比 （Likelihood Ratio）檢定。（15 分） 若顯著水準 05 .0 = α 、樣本數 25 = n 且樣本平均 4 = x ，則每公畝平均產量是否仍 為5 單位？（10 分）

教育學者研究三種不同教學方法對學生學習表現之差異，在各教學方法中隨機收集 5 位學生的學習分數，結果如下： No. 方法1 方法2 方法3 總和 1 2 3

若 為抽自 之隨機樣本，且 為獨立並具有相同分配。 盼以 來預測 n X X X , , , 2 1 L ) , ( 2 σ μ N 2 1, + + n n X X n 2 1 X X X , , , L 2 1 + + + = n n X X Y ，則： 請推導Y 的 )% 1( 100 α − 信賴區間。（15 分） 若已知 ， 16 = n 44 .1 ) ( 15 1 2 16 1 2 = − = ∑ = i i x X s 及 ∑ = = = 16 1 2 16 1 i i X x ，試求Y 的95%信賴 區間。（10 分）

陳醫師擔任某家大型醫院的檢驗師。他最近檢驗了25 名女性的膽固醇指數並記錄 得下列值： 164 272 261 248 235 192 203 278 268 230 242 305 286 310 345 289 326 335 297 328 400 228 194 338 252 假設這些資料代表取自N(μ,σ2)的一組隨機樣本觀察值。 計算這些資料的樣本平均數及樣本變異數。（10 分） 求μ 的一個90%信賴區間。（5 分） 求σ2的一個90%信賴區間。（5 分） 註： 自由度為24 的t分配的第90 個百分位數t0.10(24)=1.318 自由度為24 的t分配的第95 個百分位數t0.05(24)=1.711 自由度為24 的卡方分配的第90 個百分位數 (24)=36.415 2 05 .0 χ 自由度為24 的卡方分配的第10 個百分位數 (24)=13.848 2 95 .0 χ

假設 為一組隨機樣本具有如下分配： n X X X , , , 2 1 L , 1 ) , ( 2 θ θ θ x xe x f − = 0 > x 。 請找出θ 的Cramer-Rao 下限。（9 分） 請找出θ 的最大概似估計量（mle）。（8 分） 請由mle 之極限分配導出θ 的 )% 1( 100 α − 信賴區間。（8 分）

60 55 60 65 50 70 75 65 80 70 75 80 85 80 90 總和 290 360 410 1060 （*每個數值平方後總和＝76750） 假設三種教法的成績變異數相等，試檢定三種教法的平均分數是否全部相等？ （顯著水準＝0.05，試寫出變異數分析（ANOVA）表並檢定之）（10 分） 試寫出方法3 和方法2 平均分數差距的95%信賴區間。（10 分） 試寫出變異數分析的假設為何？（5 分） 四、假設迴歸方程式為y＝ + x+ 0 B 1 B ε 試寫出以最小平方法推導的 和 的估計量（ 和 ）。（10 分） 1 B 0 B 1ˆB 0ˆB 誤差項ε 的假設為何？（5 分）  y 的期望值E(y)未知，試問其估計量是什麼？（5 分） 試寫出 和樣本相關係數(r)的關係。（5 分） 1ˆB 101年公務人員特種考試原住民族考試試題 類 科： 經建行政 全一張 （背面） 附表： d.f. .25 .1 .05 .025 .01 .005 tα α