經建行政 111 年統計學考古題

某公車在中午12 點到下午1 點到達車站的時間X，服從一致分布U(0,1)。 若12 點15 分抵達車站，則趕上這班車的機率為何？（25 分）

假設隨機變數X 的動差生成函數為ܯ(ݐ) = ଵ ଼+ ଵ ଶ݁௧+ ଵ ସ݁ଶ௧+ ଵ ଼݁ସ௧。令 ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ଴為服從此機率分配之獨立樣本，而ܺ為其樣本平均。 試求X 之機率分配。（5 分） 試估計ܲ൫ܺ≥2൯。（10 分）

已知入境旅客中有感染新冠肺炎的機率是104。某日甲入境接受快篩 時，呈現陽性反應。已知「把沒感染驗成陽性」這種錯誤的機率是1/10。 另外，「把有感染驗成陰性」的錯誤的機率是106。請問甲實際上真的是 感染新冠肺炎的機率是多少？（近似值即可，四捨五入至小數點第三位） （25 分）

假設父親與兒子的身高服從二元常態分配，其中父親的身高（公分）服 從期望值為170、標準差為10 的常態分配，兒子的身高（公分）服從期 望值為170、變異數為10 的常態分配，而二者之相關係數為0.6。考慮 父親身高為175 公分的這群人，試問他們兒子的平均身高為何？其中超 過175 公分之比例為何？（15 分）

以隨機電話訪問方式，訪問1080 位20 歲以上的民眾對某政策之支持度。 在95%的信心水準下，計算其抽樣誤差為± 多少百分點？（25 分）

假設W 鎮每個月竊盜案件數是互相獨立的。令ߤ代表平均每個月的竊 盜案件數、ܺ代表過去36 個月的竊盜案件數的樣本平均。W 鎮警官打 算以{ܺ> 20.64} 做為檢定ܪ଴：ߤ= 20 ݒݏ. ܪଵ：ߤ> 20的拒絕域。假設 這36 個月的竊盜案件數之樣本平均數為21、樣本標準差為3。 試求該檢定之型一錯誤（Type I error probability）為多少？（10 分） 試求在ߤ= 21.28 時之型二錯誤（Type II error probability）為多少？ （10 分） 承子題，若樣本數提高為50，而拒絕域不變，試問型二錯誤將增加 或降低？（5 分） 33180

在一項民調中隨機選100 位選民，訪談其對司法的信心與對廢除死刑的 態度，結果如下表： 對司法 廢除死刑 有信心 沒信心 小計 贊成 62 18 80 反對 8 12 20 小計 70 30 100 在顯著水準0.05 下以雙尾方式檢定：「對司法信心與對廢除死刑的態 度」Ho：無關vs H1：有關。（15 分） 同上，以單尾方式檢定： Ho：對司法信心與對廢除死刑的態度無關vs H1：對司法信心越高，越 傾向廢除死刑。（10 分）

甲公司提出節能方案以減少其辦公大樓之冷氣耗電量，該節能方案實施 一年後，記錄實施前後每月冷氣耗電量（1000 瓩）如下表： 1 2 3 4

9 10 11 12 實施前5.8 6.1 5.4 6.8 8.5 9.6 7.4 6.2 5.6 4.8 4.5 3.6 實施後5.2 4.8 5.6 6.5 7.8 8.5 6.5 5.5 5.0 3.5 4.0 3.2 在0.05 顯著水準下，試檢定該節能方案是否減少冷氣耗電量。（10 分） 假設1-3 月為春季、4-6 月為夏季、7-9 月為秋季、10-12 月為冬季，將 資料依季節整理如下表。令顯著水準為0.05，在考量實施前後可能有 差異的情況下，試檢定春夏秋冬的冷氣耗電量是否相同。（15 分） 春 夏 秋 冬 實施前17.3 24.9 19.2 12.9 實施後15.6 22.8 17.0 10.7 五、甲市鎮過去6 年之人口數（千人）如下：（每小題10 分，共20 分） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 520 580 560 650 780 800 試用三期移動平均法預測2019 至2022 年之人口數，並計算平均絕對 誤差（Mean Absolute Deviation）。 試以平滑係數為0.8 之簡單指數平滑法，預測2017 至2022 年之人口 數，並計算平均絕對誤差。