經建行政 114 年統計學考古題

藉由過去數年的資料蒐集與分析，某段道路發生交通事故的次數，為 每星期平均2 次的卜瓦松分配（Poisson distribution）。試問：（計算 至小數點後4 位）（每小題10 分，共20 分） 在12 月第一個星期的時間內，此段道路上發生2 次及2 次以上交 通事故之機率。 在12 月最後二個星期的時間內，此段道路上發生1 次及1 次以下 交通事故之機率。

某研究者以樣本數 20 n  的資料建立了一個迴歸模型，已知依變數Y 的 樣本變異數為

假設X 與Y 的二元機率密度函數為（每小題4 分，共20 分） f(x, y)= C(x+2y) 0≦x ≦1; 0 ≦y ≦1 =0 其他 計算C 值。 計算X 的期望值。 計算機率P(X>0.5)。 計算Y 的期望值。 計算Y 大於1/3 的機率。

依據調查，臺灣18 歲以下青少年近視比率為87.2%。若對全國18 歲 以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題： 隨機抽取8 人，隨機變數X 代表近視的人數，寫出X 的機率分配 函數。（6 分） 承，計算會抽到超過2 人為近視的機率（亦即P(X > 2)）。（6 分） 隨機抽取1000 人，剛好880 人為近視的機率（請以常態分配機率 近似）。（12 分） 若隨機變數Y 為抽到第十位為近視者的人數，寫出Y 的機率分配 函數。（6 分） 31920 50620

10.53 ys  ，且該模型的殘差平方和（Sum of Squared Errors） 為SSE 30  。 請說明如何利用這些已知的資訊計算出判定係數（Coefficient of Determination） 2 0.85 R  ，並請解釋判定係數所代表的統計意涵。（10 分） 一般而言，若模型能解釋約85%的變異，常被認為是「非常好」的模 型。請就「擬合程度」、「解釋性」與「預測性」三個面向加以討論， 說明高 2 R 並不必然代表模型具有良好的整體表現。（10 分） 二、某疾病在一般族群中的盛行率（發生率）為1%。某快速檢驗的敏感度 （即確實患病者被檢測為陽性的機率）為95%，特異度（即未患病者被檢 測為陰性的機率）為90%。請回答下列問題： 當檢驗結果呈陽性時，個體實際罹患該疾病的條件機率（即「陽性預 測值」，Positive Predictive Value, PPV）為何？請說明完整的計算過程， 並給出具體數值結果。（10 分） 在此例中，若政府大量採用此快速檢驗作為篩檢工具，雖具有快速與 低成本的優點，但也可能導致高誤判率與高社會成本。請具體說明造 成此現象的統計原因，並討論若採用此快速檢驗兩次（兩次都陽性才 認定為陽性），是否能有效降低誤判與社會成本，並說明原因。（10 分） 13450

三家A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取400、600 和800 人， 調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下： 意願\品牌 A B C 願意 100 300 600 不願意 300 300 200 總和 400 600 800 請檢定三家用戶下次購買相同品牌之洗衣機比例是否全部相等。 ⑴列出虛無假設H0 和對立假設H1。（3 分） ⑵寫出檢定統計量及其在H0 為真下的分配。（5 分） ⑶以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為0.05。（3 分） ⑷計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分） 若只有A 和B 兩種品牌，請檢定A 和B 品牌用戶下次購買相同品 牌的比例是否相等。 ⑴列出H0 和H1。（3 分） ⑵請使用和不同的檢定統計量，寫出其在H0 為真下的分配。請 說明何以為此分配。（6 分） ⑶計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分） 23320 23420

下表是全國姓名統計前五大姓氏（及其他）的全國占比，及從臺北市 隨機抽取2694 人，其姓氏之分布情形。 姓氏 全國比例（%） 臺北市（人） 陳 11.21 304 林 8.33 217 黃 6.00 143 張 5.30 147 李 5.13 146 其他 64.03 1737 總計 100.00 2694 試問： 建構臺北市姓氏為陳者的母體比例之99%區間估計。（8 分） 在顯著水準為0.05 下，檢定臺北市姓氏為黃者的母體比例是否小於 全國姓氏為黃者的比例。（10 分） 在顯著水準為0.05 下，檢定臺北市各姓氏的比例是否與全國各姓氏 的比例一致。（12 分）

政府想知道年資超過10 年的計程車司機月收入是否高於4.9 萬。隨機抽 取年資超過10 年的資深司機20 位，月收入（萬元）如下（已由小到大）： 2.16, 2.54, 2.78, 3.62, 3.88, 4.26, 4.70, 4.80, 4.92, 5.00, 5.08, 5.54, 6.02, 6.12, 6.46, 6.66, 6.94, 7.76, 8.06, 11.00 請根據上述數據，以 0.05  的顯著水準，討論並完成下列分析與檢定： 若接受資料為近似常態，現欲採用母體平均數檢定： 0 : 4.9 H  ， : 4.9 a H  直觀而言，我們以樣本平均X 作為母體平均數的估計，因此可設 { } X c  為拒絕域。請給出c 的明確式子（包含樣本變異數 2 S 、樣本數 以及分布分位數），並說明其原理。接著，利用本資料判定此拒絕域是 否成立，即是否拒絕 0 : 4.9 H  。（20 分） 若資料分布明顯偏離常態，可考慮採中位數m 檢定（sign test）： 0 : 4.9 H m  ， : 4.9 a H m  請說明此檢定所使用的統計量、p 值的計算，並就本資料說明是否拒 絕 0 H 。（20 分）

工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於240 小時。隨機 抽取電池36 件（n=36），其樣本平均值為235 小時。 假設電池壽命服從常態分配且母體標準差為12 小時。 請檢定電池平均壽命是否低於240 小時。顯著水準為0.1。（5 分） 續上題，寫出檢定統計量分配的拒絕區之臨界值，並寫出此臨界值 對應之樣本平均值。（4 分） 若真實的電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他 們的型II 誤差機率及檢定力。（8 分） 若只有隨機抽取的電池改為100 件（n=100），其他不變。若真實的 電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他們的型II 誤差機率及檢定力。顯著水準為0.1。（8 分）

某縣政府想評估四種流程（A、B、C、D 表示之）辦理某一業務的效 率，在申請該項業務的民眾中，各隨機抽取6 位民眾至每一種流程， 觀測其完成程序所需的時間，彙整於下表： 辦理流程 程序完成所需時間（分） 平均 標準差 A 132.0 21.10 B 141.5 19.89 C 149.0 6.22 D 151.5 7.14 在顯著水準為0.05 下，檢定各辦理流程完成程序的平均所需時間是 否相等。（15 分） 詳細說明進行之分析所需的假設。（5 分） 31920 50620 卡方分配表 Table of the Chi-square Distribution 31920 50620 標準常態分配表 31920 50620 F 分配機率表

某公司欲了解其品牌產品的平均使用年限，隨機抽取樣本7 件，其使用 年限（單位：年）如：5, 7, 4, 4, 5, 4, 6 請試著以不偏的樣本偏態係數（skewness）來說明該分布是否近似常 態。（10 分） 根據中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT），說明在本例樣本數 7 n  的情況下，若直接以常態近似來建立平均數信賴區間，會產生什 麼問題？產生的問題可以怎麼處理？（10 分） 註： 若隨機變數 1 ~ n T t 分布，則(1 )   分位數 1 , 1 n t   定義為 1 , 1 ( ) 1 n P T t       。常見的數值有 0.95,19 1.729 t  ， 0.975,19 2.093 t  ， 0.95,20 1.725 t  ，0.975,20 2.086 t  若隨機變數 ~ (0,1) Z N 分布，則(1 )   分位數 1z   定義為 1 ( ) 1 P Z z      。常見的數值有 0.95 1.645 z  ， 0.975 1.96 z 

A 和B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自A 和B 公司隨機抽 取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。 公司 膜厚(單位：mm) A

3 5 7

4 B

7 9 9

6 假設兩家生產的端子膜厚變異數相等，請寫出膜厚變異數之估計量 及估計值。（6 分） 請寫出兩家膜厚平均值差之估計量及估計值。（4 分） 續題，欲比較兩家膜厚之平均值是否有差異，請問該用什麼統計 方法？結論為何？顯著水準為0.05。假設兩家膜厚皆服從常態分 配。（10 分） 續題，請估計兩家膜厚平均值差之95%信賴區間。（5 分） 23320 23420 附表一：Z 值表 23320 23420 附表二：t 值表 23320 23420 附表三：X^2 值表