經建行政 105 年統計學考古題

某施工單位的管線來自兩個供應商A 與B，兩者各提供相同數量的管線給該單位使 用。若已知供應商A 的管線不良率為2%，供應商B 的管線不良率為10%。 該施工單位的管線為不良品的機率為何？（7 分） 若發現一管線為不良品，此管線是來自供應商A 的機率為何？（8 分）

設一批12 部裝之電視中有3 部有瑕疵，今隨機抽出3 部檢驗，若令隨機變數X 為檢 驗出之良品數，並且當「3 部均為良品時，整批接受；否則退貨」。 若採抽驗後不放回方式，試寫出X 之機率分配式、平均數及變異數；並求整批電 視機被接受之機率為何？（8 分） 若採抽驗後放回方式，試寫出X 之機率分配式、平均數及變異數；並求整批電視 機被接受之機率為何？（8 分） 若採抽驗後不放回方式，試求在第3 次檢驗中始驗出第1 部有瑕疵電視機之機率 為何？（4 分）

某電腦經銷商提供四種電腦周邊配件的選購方案，顧客可由此四種選擇中任意挑選0 到4 種，下表為400 個顧客對此四種配件的選配個數的次數分配表： 選配個數 0 1 2

自母數為λ 之卜瓦松分配（Poisson Distribution）抽出一大小為n 的隨機樣本 , , 2 1 X X … n X , ，以估計此一未知母數λ 。 試據動差法（Method of Moments）求λ 之估計量。（6 分） 試據最概法（Method of Maximum Likelihood）求λ 之最概估計量（Maximum Likelihood Estimator） MLE λˆ 。（6 分） 驗證 MLE λˆ 是否符合優良點估計量之一致性（Consistency）及充分性（Sufficiency）。 （8 分）

若Y 之機率密度函數如下： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < < Φ − Φ = 其他 0 ) ( ) ( ) ( ) ( b y a a b y y f φ 其中 ) (y φ 與 ) (y Φ 分別為標準常態分配的機率密度函數與分配函數。請推導求得Y 的 期望值 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a b b a Y E Φ − Φ − = φ φ 。（13 分）

設隨機變數X 表一商品上升之價格（元），Y 表該商品銷售量降低之百分比（%）， 其聯合機率分配如下表： y x 10 20 30 5 10 15 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 求X 之邊際機率分配。（4 分） 求 x μ 及 2 x σ 。（8 分） 若已知 20 = y μ , 60 2 = y σ ，求相關係數ρ 。（5 分） 求( ) 20 5 = = y x f 。（3 分） （請接第二頁） 105年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 全四頁 第二頁 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 22780 22980 23180 27780

人數 20 90 140 120 30 經銷商想了解顧客在挑選各種選購方案是否具機率性質，因此藉由此資料，在顯著 水準為0.05 下，檢定虛無假設為選配個數服從一個n = 4 的二項分配。 計算此二項分配的成功機率。（5 分） 計算某一顧客僅挑選一種配件的機率。（5 分） 以卡方檢定檢驗該次數分配資料符合虛無假設之所述。（15 分） 三、某政府工務單位想測試人員對器材操作之熟練程度，隨機抽取該單位15 名員工（人 員代號為A 至O），每位都做兩次相同的測驗，兩次間隔時間為一個月，下表為兩次 測驗成績之結果。 A B C D E F G H I J K L M N O 第一次 50 32 39 64 53 42 40 38 40 67 46 64 51 74 45 第二次 58 46 40 76 62 39 57 41 31 75 62 64 54 65 51 若利用經驗法則（empirical rule），則第一次測驗成績之最高的前2.5%的分數為幾 分。（8 分） 計算兩次測驗的變異係數（coefficient of variation），並說明其意義。（8 分） 若假設兩次測驗為獨立樣本，且成績服從常態分配，及兩次測驗成績的母體變異數 相等。在顯著水準為0.05，檢定第一次與第二次測驗之平均成績是否相等。（10 分） 若改以兩次測驗為配對樣本，在顯著水準為0.05，檢定第一次與第二次測驗之平 均成績是否相等。（10 分） 說明比較小題與小題方法之差異，那一種方法較適用？並說明理由。（4 分） 計算第一次與第二次測驗成績之相關係數。（10 分） 若以第一次測驗成績為解釋變數，第二次成績為反應變數，以此建構一簡單線性 迴歸模型，請以最小平方估計法，計算此迴歸模型之截距與斜率。（10 分） （請接第二頁） 105年公務人員特種考試外交領事人員及外交行政人員、 民航人員、國際經濟商務人員及原住民族考試試題 全四頁 第二頁 考試別： 原住民族特考 等 別： 三等考試 類科組： 經建行政 科 目： 統計學 （請接第三頁） The table gives the cumulative probability up to the standardized normal value z i.e. dz ) Z exp( ] z Z P[ z 2 2 1 2 1 ∫∞ − = < - 105年公務人員特種考試外交領事人員及外交行政人員、 民航人員、國際經濟商務人員及原住民族考試試題 全四頁 第三頁 考試別： 原住民族特考 等 別： 三等考試 類科組： 經建行政 科 目： 統計學 （請接背面） （請接第四頁） 105年公務人員特種考試外交領事人員及外交行政人員、 民航人員、國際經濟商務人員及原住民族考試試題 全四頁 第四頁 考試別： 原住民族特考 等 別： 三等考試 類科組： 經建行政 科 目： 統計學

兩變數x 及y 之5 個觀察值如下： x 1 2 3 4

若有兩組獨立隨機樣本，分別以 } ,..., , { 1 1 12 11 n Y Y Y 與 } ,..., , { 2 2 22 21 n Y Y Y 表示之，此兩組樣本 各抽自具不同母體平均數的常態分配，但有相同的母體變異數σ²。令1Y 與 2 Y 為第一、 二組資料的樣本平均數， 2 1s 與 2 2s 分別為其樣本變異數，定義如下： 2,1 1 ) ( 1 2 2 = − − = ∑ = i n Y Y s i n j i ij i i 請回答以下問題： 若 2 )1 ( )1 ( 2 1 2 2 2 2 1 1 2 − + − + − = n n s n s n s p ，則 2 p s 是否為σ²的不偏估計？請詳述理由。（10 分） 計算求得 2 p s 的變異數。（10 分） （請接第三頁） 105年特種考試地方政府公務人員考試試題 31980、34480 全五頁 第三頁 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 （請接背面） （請接第四頁） 105年特種考試地方政府公務人員考試試題 31980、34480 全五頁 第四頁 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 2 χ 分配表 （請接第五頁） 105年特種考試地方政府公務人員考試試題 31980、34480 全五頁 第五頁 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 （請接背面）

y 3 7 5 11 14 今已求得： 3 = x , 8 = y , ∑ = − − 26 ) )( ( y y x x , 10 ) ( 2 = − ∑ x x , 80 ) ( 2 = − ∑ y y , 40 . 12 )ˆ ( 2 = − ∑ y y 試用最小平方法配合迴歸直線 bx a y + = ˆ 。（5 分） 試求相關係數。（5 分） 驗證估計標準誤（Standard error of the estimate） 033 .2 = es 。（5 分） 試求母體迴歸係數β 之95%信賴區間。（5 分） 五、設某電子廠兩生產線之產品重量服從常態分配，今分別自該兩生產線隨機各抽取大 小為5 之樣本，得其產品重量﹙單位：公克﹚如下所示： 生產線A 42 34 40 46 38 生產線B 46 40 44 44 36 試驗證生產線B 之 42 = B x ， ( ) 16 1 2 2 2 2 = − − = ∑ B B n x x s 。（6 分） 今若另求得生產線A 之 40 = A x , 20 2 = A s 。試以 10 .0 = α 之顯著水準，檢定 2 2 0 : B A H σ σ = 是否成立？（6 分） 以 10 .0 = α 之顯著水準，檢定兩生產線所有產品之平均重量是否有差異？（8 分） （請接第三頁） 105年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 全四頁 第三頁 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 22780 22980 23180 27780 參考數值表摘錄 標準常態分配數值表 （請接第四頁） 0 z Area = P(0 z z0) ≤ ≤ z0 105年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 全四頁 第四頁 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 22780 22980 23180 27780 2 995 .χ 2 99 .χ 2 975 .χ 2 95 .χ 2 05 .χ 2 025 .χ 2 01 .χ 2 005 .χ 2 α χ t 分配數值表 χ2 分配數值表 F 分配數值表 tα d.f. Fα 0 Values of F0.05 Degrees of freedom for numerator α α α Degrees of Freedom d.f. 0 Degrees of freedom for denominator