經建行政 108 年統計學考古題

請試述下列有關對應不同分配的統計性質為何？請分小題標記並寫下 正確答案：（每小題5 分，共25 分） ㈠假設隨機變數X 服從獨立試驗次數為n且每次試驗成功機率為p的二項 分配 ) , ( p n B ，當p 愈接近0.5 時，X 的分配愈傾向左偏或右偏或對稱？ ㈡假設隨機變數Y 服從自由度m 的卡方分配 ) ( 2 m χ ，Y 的分配是屬於左 偏或右偏或對稱？ ㈢假設隨機變數T 服從自由度݇的t 分配，當自由度݇愈大或愈小時， t 分配會愈接近標準常態分配？ ㈣隨機變數Y 的變異數為何？ ㈤隨機變數T 的變異數為何？

已知A、B、C 為樣本空間S 中之事件，若 35 .0 ) ( = A P 、 43 .0 ) ( = B P 、 26 .0 ) ( = C P 、 56 .0 ) ( = B A P ∪ 、 091 .0 ) ( = C A P ∩ 。 （每小題5 分，共15 分） ㈠請問 ) ( C A P ∪ 為何？ ㈡A、C 兩事件是否獨立（independent）？請寫出完整理由。 ㈢A、B 兩事件是否互斥（mutually exclusive）？請寫出完整理由。

根據下列之機率分配： X -2 0 1

1 請計算c 的可能值以及根據此組樣本所得之參數θ 的最大概似估計 量的值。 ㈡某電競遊戲設計為共4 道關卡的闖關遊戲，假定X 為通過關卡數的 隨機變數且其分配是一個成功機率為p 的二項式分配（binomial distribution），其中X 的可能值為0, 1, 2, 3, 4。針對以下假設 2 1 0 = p H： 對 4 1 1 = p H： ，給定以下4 種檢定法： 檢定法A：如果X=4，則拒絕 0 H ，反之則不拒絕 0 H ，即拒絕域 （rejection region）為集合{ } 4 ； 檢定法B：如果X=0，則拒絕 0 H ，反之則不拒絕 0 H ，即拒絕域為 集合{ } 0 ； 檢定法C：如果 1 ≤ X ，則拒絕 0 H ，反之則不拒絕 0 H ，即拒絕域為 集合{ } 1 ,0 ； 檢定法D：如果X=0 或X=4，則拒絕 0 H ，反之則不拒絕 0 H ，即拒 絕域為集合{ } 4 ,0 。 設定顯著水準為 16 1 = α ，請決定上述4 種檢定法，那一個或那些檢 定法是符合α 之設定且有最大檢定力（power）的檢定法？ 三、以下是關於朴松分配（Poisson distribution）以及二項式分配（binomial distribution）的參數估計問題。 ㈠若某一速食店一日來客人數服從於平均值為λ （人）的朴松分配 （Poisson distribution），以下是隨機收集該速食店5 日的每日來客人數 資料：433 人，375 人，450 人，375 人，367 人。根據上述資料，請算 出λ 的最大概似估計量（maximum likelihood estimator）的值。（5 分） ㈡若隨機變數 10 2 1 , , , X X X … 是彼此獨立且其分配為做一次試驗 且成功機率為0.2 的二項式分配（binomial distribution）。 請算出 9 ) ( 2 10 1 2 ∑= − = i i X X S 的期望值E(S2) 以及∑ = 10 1 2 i i X 的變異數 ) Var( 10 1 2 ∑= i i X ，其中 10 10 1 ∑= = i i X X 。（10 分） 四、以下是關於卡方檢定（chi-squared test）以及單因子變異數分析法 （one-way ANOVA）的問題。（每小題10 分，共20 分） ㈠在一次有3 位總統候選人的總統大選，某電視名嘴宣稱候選人甲的 支持率為p1=0.425，候選人乙的支持率為p2=0.235，候選人丙的支 持率為p3=0.115，而不表態或都不支持這3 位候選人的比率為 p4=0.225。某一民調單位得到以下樣本數為1000 的問卷結果：支持 候選人甲的人數為450 人，支持候選人乙的人數為225 人，支持候 選人丙的人數為125 人，不表態或者都不支持這3 位候選人的人數 為200 人。根據這份問卷，在顯著水準α=0.05 下，請利用卡方檢定 （chi-squared test）來驗證此名嘴的說法是否與該民調單位調查結果 一致，即檢定 H0：p1=0.425，p2=0.235，p3=0.115，p4=0.225 對 H1：p1，p2，p3以及p4並非 p1=0.425，p2=0.235，p3=0.115，p4=0.225。 ㈡一機械零件生產公司欲比較其3 條生產線所生產之零件的平均規 格（分別為 1 µ ， 2 µ 以及 3 µ ）是否一致。此公司在每一條生產線各 取得5 件隨機樣本，這3 組樣本其規格之平均值分別為3.6，3.4 以及4.1。另外，這總共15 件零件其規格之變異數為0.14。在顯著 水準α=0.05 下，請利用單因子變異數分析法（one-way ANOVA） 來檢定這三條生產線所生產零件的平均規格是否一致，即檢定 H0：μ1=μ2=μ3 對H1：μ1，μ2以及μ3並不完全相等。

) (x f X 0.32 0.2 0.15 0.16 0.17 試求：（每小題5 分，共20 分） ㈠E(X) ㈡Var(X) ㈢ ) 2 7.0 ( + X E ㈣ ) 2 7.0 ( − X Var 四、假設Y 代表某行銷公司在小巨蛋過去代理演唱會的門票銷售量，X 代表 該公司事前所投注的網路行銷費用（萬元），若行銷公司想用網路行銷 費用來預測門票銷售量，即以Y 為反應變數，X 為解釋變數來進行簡單 線性迴歸分析。以過去舉辦10 個場次所收集的資料如下： 7. 203 = x 5. = y 9. ) )( ( = − − = ∑ y y x x Sxy 21 . ) ( 2 = − = ∑ x x S xx 4443432 ) ( 2 ∑ = − = y y S yy （每小題10 分，共20 分） ㈠以Y 為反應變數，X 為解釋變數來進行簡單線性迴歸分析，請寫出截 距項 0ˆβ 、斜率 1ˆβ 及簡單線性迴歸方程式。 ㈡請問該簡單線性迴歸預測模型的解釋能力判定係數R2 為何？ 五、某軟體公司想要了解某些特定機器學習分類演算法和計算速度有無關 聯，因此各模擬了100 次運算，彙整之後得到下面的列聯表： 計算速度 演算法 慢 中 快 隨機森林 78 21 1 支持向量機 40 57 3 類神經網路 51 44 5 梯度提升 1 3 96 請在顯著水準 05 .0 = α 下，進行檢定計算速度和該特定機器學習分類演 算法是否有關聯？（每小題10 分，共20 分） ㈠請採用傳統臨界值檢定法進行檢定。 ㈡請採用p 值檢定法進行檢定。 2 χ 分配右尾切點（cut-off points） α χ χ α = ≥ ) ( 2 , 2 v v P 0 2 , α χ v α 附表