經建行政 95 年統計學考古題

若隨機向量(X,Y)之聯合機率密度函數如下： ⎩ ⎨ ⎧ = − 0 0 , e ) (

若某一種大樂透（lottery）係顧客從號碼1 至49 中挑選6 個號碼，但不考慮6 個號碼之 前後次序，且每次開獎係由號碼球形質大小重量相同之二部開獎機中抽選一部開獎機執 行開獎，先開6 個中獎號碼（winning numbers），再開特別號（special number）。若開 獎後，與6 個中獎號碼完全相同者，則中獎者皆可獲$2,500,000；若與特別號及5 個中獎 號碼完全相同者，則中獎者皆可獲$1,200,000；若與5 個中獎號碼完全相同者，則中獎者 皆可獲$100,000；若與4 個中獎號碼完全相同者，則中獎者皆可獲$1,000；若與3 個中獎 號碼完全相同者，則中獎者皆可獲$200。則： 請定義隨機變數（random variable）以表示樂透玩家各種中獎事件，並列出相對應之衍 生樣本空間（induced sample space）。（5 分） 請推導（Derive）該隨機變數之機率函數（probability function），並試求其機率各為何？ （15 分） 試問樂透玩家中獎金額之期望數（expected number）與變異數（variance）？（10 分）

, x y y ,x f x Y X λ λ 分別求出X 與Y 之邊際機率密度函數fX(x)、fY(y)，並註明各X 與Y 的分配名稱 及參數。（10 分） 試求在給定X＝x 下，Y 的條件機率密度函數fY|X=x(y|x)，並註明此分配名稱及參 數。（10 分） 計算 E(Y|X＝x)及Var(Y|X＝x)。（10 分） 以此題為例驗證此二等式： E(Y)＝E(E(Y|X)); Var(Y)＝Var(E(Y|X))+E(Var(Y|X)) 成立。（10 分） 二、設隨機變數X 為分佈於[0,θ ] , θ ＞0 的均勻分配，自此母體隨機抽取X1,X2...Xn 之隨 機樣本。 試以動差法（method of moment）估計θ ，記為 ^θ ，並驗證 ^θ 具有不偏性。（10 分） 試以最大概似法（Maximum likelihood estimator）估計θ ，記為 ~θ 。（10 分）

茲為研究某地區夫妻就業所得之關係，乃於該區隨機抽出100 對夫妻之月薪（單位：千元） 作為樣本之次數分配表如下；惟研究者若以妻之就業所得x 為自變數（independent variable）， 而夫之就業所得y 為因變數（dependent variable）之線性迴歸模式（linear regression model） 為y＝α＋βx＋ε，以研究夫妻就業所得之關係。 y x 195-200 200-205 205-210 210-215 215-220 220-225 225-230 230-235 235-240 190-195 1 2 185-190 1 2

令X 表自母體分配 ⎩ ⎨ ⎧ < < = − 0 1 0, ) ( 1 x x θ x f θ x 抽出之單一觀測值，以α= 0.05 為顯著水準，求檢定 H0: θ = 1; H1: θ = 2 之最強力 檢定（most powerful test）及求其檢定力（power）。（10 分）

1 180-185 2 3 5 3 2 175-180 1 2 6 5 2 170-175 1 6 8

隨機抽取12 對資料(xi , yi), i=1~12，得下列各值 14060 y x 12 1 i i i = ∑ = ，∑ = = 12 1 i i 55 x ， 2631 y 12 1 i i = ∑ = ，設(xi , yi)之間呈現簡單線性迴歸模型yi= i i 1 0 x ε β β + + 。 若欲作推論，則需對誤差項εi 作何種分配假設？（5 分） 估計樣本迴歸線。（10 分） 令^ iy 為 iy 之配適值（fitted values），若給 = − ∑ = 2 12 1 i _ i ^ ) y y ( 9547.37， = − ∑ = 2 12 1 i _ i ) y y ( 92884.25， 計算判斷係數R2，並說明其含意。（5 分） 以α= 0.05 顯著水準，檢定 1 β 之顯著性。（10 分） ≦ ≦ , otherwise. , otherwise. 95 年公務人員特種考試原住民族考試試題 類 科： 經建行政 全一張 （背面） t 分配臨界值表 Degrees of Freedom t.100 t.050 t.025 t.010 t.005 1 2 3 4

1 2 165-170 1 3 4

設隨機變數X 服從標準常態分配，即X ~ N (0,1)，試求下列各分布密度： Y = 2x2 + 1 （10 分）  X Y = （10 分）

1 1 160-165 2 4 4 2 1 155-160 1 2 3 1 150-155 1 1 簡要說明線性迴歸模式之必要假設為何？（5 分） 以下各小題滿足線性迴歸模式之必要假設。 試求α與β之估計值，並列出線性迴歸方程式（linear regression equation）。（10 分） 試列出α之99%信賴區間估計式（estimator），並求α之99%信賴區間估計值（estimate）。 （5 分） 試列出β之99%信賴區間估計式，並求β之99%信賴區間估計值。（5 分） 若妻之就業所得為180，試求夫就業所得平均數之95%信賴區間估計值。（5 分） 若妻之就業所得為180，試求夫就業所得之95%信賴區間估計值。（5 分） （請接第二頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第二頁 31380、31780、 31980、32180、 36080 三、茲為瞭解臺灣地區五星級觀光大飯店營業所得之實情，乃於該區隨機抽出4 家五星級觀光大 飯店同時調查6 週營業所得（單位：千元新台幣）為樣本如下表。惟若本題滿足單因子變異 數分析設計之必要假設。 週別 觀光大飯店 1 2 3 4 5

1 1430 2200 1140 880 1670 990 2 980 1400 1200 1300 1300 550 3 1780 2890 1500 1470 2400 1600 4 2300 2680 2000 1900 2540 1900 請建構單因子變異數分析（one-way ANOVA）之數學模式與單因子變異數分析表（one-way ANOVA Table）。（10 分） 若顯著水準為5%，試以危險域法（critical region approach）與p 值法（p-value approach） 檢定4 家五星級觀光大飯店之平均營業所得是否不同？（7 分） 若顯著水準為5%，試以Tukey-Kramer procedure 查明4 家五星級觀光大飯店之平均營 業所得不同者為何？（10 分） 請簡要說明單因子變異數分析設計之必要假設為何？試討論本題是否滿足單因子變異數 分析設計之必要假設？請簡要說明理由為何？但若本題不滿足單因子變異數分析設計之 必要假設，請簡要說明合適之設計與理由為何？（8 分） （請接第三頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第三頁 31380、31780、 31980、32180、 36080 Table I The Normal Distribution （請接第四頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第四頁 31380、31780、 31980、32180、 36080 （請接第五頁） Table II The t Distribution （請接第五頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第五頁 31380、31780、 31980、32180、 36080 Table III The Chi-Square Distribution （請接第六頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第六頁 31380、31780、 31980、32180、 36080 Table IV The F Distribution （請接第七頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第七頁 31380、31780、 31980、32180、 36080 Table IV The F Distribution (cont.) （請接第八頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第八頁 31380、31780、 31980、32180、 36080 Table V Distribution of the Studentized Range (q-values)

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 ∞ 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.282 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.645 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 1.960 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.326 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.576 tα α