經建行政 95 年統計學考古題

若隨機向量(X,Y)之聯合機率密度函數如下： ⎩ ⎨ ⎧ = − 0 0 , e ) (

, x y y ,x f x Y X λ λ ㈠分別求出X 與Y 之邊際機率密度函數fX(x)、fY(y)，並註明各X 與Y 的分配名稱 及參數。（10 分） ㈡試求在給定X＝x 下，Y 的條件機率密度函數fY|X=x(y|x)，並註明此分配名稱及參 數。（10 分） ㈢計算 E(Y|X＝x)及Var(Y|X＝x)。（10 分） ㈣以此題為例驗證此二等式： E(Y)＝E(E(Y|X)); Var(Y)＝Var(E(Y|X))+E(Var(Y|X)) 成立。（10 分） 二、設隨機變數X 為分佈於[0,θ ] , θ ＞0 的均勻分配，自此母體隨機抽取X1,X2...Xn 之隨 機樣本。 ㈠試以動差法（method of moment）估計θ ，記為 ^θ ，並驗證 ^θ 具有不偏性。（10 分） ㈡試以最大概似法（Maximum likelihood estimator）估計θ ，記為 ~θ 。（10 分）

令X 表自母體分配 ⎩ ⎨ ⎧ < < = − 0 1 0, ) ( 1 x x θ x f θ x 抽出之單一觀測值，以α= 0.05 為顯著水準，求檢定 H0: θ = 1; H1: θ = 2 之最強力 檢定（most powerful test）及求其檢定力（power）。（10 分）

隨機抽取12 對資料(xi , yi), i=1~12，得下列各值 y x 12 1 i i i = ∑ = ，∑ = = 12 1 i i 55 x ， y 12 1 i i = ∑ = ，設(xi , yi)之間呈現簡單線性迴歸模型yi= i i 1 0 x ε β β + + 。 ㈠若欲作推論，則需對誤差項εi 作何種分配假設？（5 分） ㈡估計樣本迴歸線。（10 分） ㈢令^ iy 為 iy 之配適值（fitted values），若給 = − ∑ = 2 12 1 i _ i ^ ) y y ( 9547.37， = − ∑ = 2 12 1 i _ i ) y y ( 92884.25， 計算判斷係數R2，並說明其含意。（5 分） ㈣以α= 0.05 顯著水準，檢定 1 β 之顯著性。（10 分） ≦ ≦ , otherwise. , otherwise. 95 年公務人員特種考試原住民族考試試題 類 科： 經建行政 t 分配臨界值表 Degrees of Freedom t.100 t.050 t.025 t.010 t.005 1 2 3 4

設隨機變數X 服從標準常態分配，即X ~ N (0,1)，試求下列各分布密度： ㈠Y = 2x2 + 1 （10 分） ㈡ X Y = （10 分）

1 880 990 2 980 550 3 4 ㈠請建構單因子變異數分析（one-way ANOVA）之數學模式與單因子變異數分析表（one-way ANOVA Table）。（10 分） ㈡若顯著水準為5%，試以危險域法（critical region approach）與p 值法（p-value approach） 檢定4 家五星級觀光大飯店之平均營業所得是否不同？（7 分） ㈢若顯著水準為5%，試以Tukey-Kramer procedure 查明4 家五星級觀光大飯店之平均營 業所得不同者為何？（10 分） ㈣請簡要說明單因子變異數分析設計之必要假設為何？試討論本題是否滿足單因子變異數 分析設計之必要假設？請簡要說明理由為何？但若本題不滿足單因子變異數分析設計之 必要假設，請簡要說明合適之設計與理由為何？（8 分） （請接第三頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第三頁 31380、31780、 31980、32180、 Table I The Normal Distribution （請接第四頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第四頁 31380、31780、 31980、32180、 （請接第五頁） Table II The t Distribution （請接第五頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第五頁 31380、31780、 31980、32180、 Table III The Chi-Square Distribution （請接第六頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第六頁 31380、31780、 31980、32180、 Table IV The F Distribution （請接第七頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第七頁 31380、31780、 31980、32180、 Table IV The F Distribution (cont.) （請接第八頁） 95 年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 （請接第八頁） 全八頁 第八頁 31380、31780、 31980、32180、 Table V Distribution of the Studentized Range (q-values)

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 ∞ 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.282 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.645 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 1.960 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.326 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.576 tα α