經建行政 109 年統計學考古題

研究人員發現患有心臟病的人中有86%的人有牙周病，而健康的人中只有 30%有牙周病。假設某社區患有心臟病的機率僅有9%，試問： 隨機抽取一人，此人有牙周病的機率為何？（10 分） 已知此人有牙周病，她/他患有心臟病的機率為何？（10 分） 第題所得機率值與此社區患有心臟病的機率值9%是否有差異？請說 明。（5 分）

美國職棒大聯盟的世界大賽系列賽是採7戰4勝制，即兩對戰球隊先 取得4勝者為世界冠軍。因此，此系列賽最少要打4場而最多要打到 7場才能決定世界冠軍。如果某年世界大賽系列賽是由球隊A對上球 隊B，且給定每場比賽球隊A贏球機率及球隊B贏球機率皆為0.5，即 5–5波，且每場比賽結果皆彼此獨立。如果隨機變數X代表此系列 賽總售票數，且總售票數與此系列賽的總比賽場數關係為：總售票 數=6400×(總比賽場數)2，例如，如果此系列賽總比賽場數為4場， 則總售票數為640042=102400。請問本系列賽總比賽場數最可能為 幾場以及算出X的期望值E(X)，即本系列賽預計的總售票數。（10分）

現在大部分圖書館皆有設置自助借書系統，欲借書的民眾可利用此系統自 行掃描書本完成借書。安安圖書館員想了解民眾對於自助借書系統的接受度 及使用的頻率。下列為安安圖書館15 日每日使用自助借書系統的民眾數： 118 108 92 104 120 108 91 104 120 114 118 108 112 97 117 顯著水準為0.05 的情況下，使用信賴區間法檢定安安圖書館每日使用 自助借書系統的民眾平均人數是否大於100 人（假設母體為常態）？ （15 分） 若每日使用自助借書系統的民眾平均人數實際上為102 人，請計算出 未拒絕虛無假說的機率（儘量將過程列示詳細）？此機率之名稱為 何？（10 分）

若一新生產機台其故障時間服從一平均值為λ （天）的指數分配 （exponential distribution）。假定 1p 為此機台連續運轉不故障超過3天 的機率， 2p 為給定此機台已連續運轉2天不故障情形下再連續運轉超 過1天不故障的條件機率，且     2 1 log -log =4 p p ，其中log(a)為數字a的 自然對數值。試算出此生產機台在12小時內故障的機率。（指數 2.718 e  ）（10分） 33880、37580

下列為兩個不同化工廠每個月各10 筆二氧化碳的排放量（單位：噸）。 在顯著水準為10%情況下，請使用適當的統計方法檢定此兩化工廠每月二 氧化碳排放量中位數是否有差異？（25 分） 化工廠A 32 30 22 15 7 26 23 22 20 18 化工廠B 20 10 8 16 21 17 25 27 17 18 30670

下列是關於最大概似估計量（maximum likelihood estimator）以及最小 變異不偏估計量（minimum variance unbiased estimator）的問題。 考慮下列隨機變數X其機率密度函數（probability density function）：        2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 8 2 1 , 1 , 1 2 , 1 1 , 1 2 2 x x e x f x x f x f x x e x                         其中  1f x 為一平均值為1及標準差為的常態機率密度函數 （normal probability density function），而  2f x 為一平均值亦為1及 標準差為2的常態機率密度函數。 下列為一組服從上述機率分配所得的隨機樣本： 2 5 3 0 −2 −3 7 請算出 2 之最大概似估計量的值。（10分） 若某一次國家考試其某考試科目共有25題單選題，隨機變數X代表 考生答對題數，且X之分配是每題答對機率為p 的二項式分配 （binomial distribution），下列是隨機取得6個考生答對題數資料： 12 15 20 10 5 13 根據上述資料，請算出X的標準差之最大概似估計量的值及p的最小 變異不偏估計量的值。（10分）

某投資分析師想了解企業銷售額（Sales）是否可以用來預測該企業每股盈 餘（EPS）。她/他蒐集下列7 家公司的年資料（α = 0.05）： 每股盈餘 3.6 0.2 3.4 1.5 3.7 1.8 3.5 銷售額（單位：百萬元） 89 64 86 74 80 81 83 試作： 最小平方迴歸直線的方程式。（5 分） 檢定此兩變數是否有線性相關。（5 分） 此最小平方迴歸直線的配適度如何檢定？請說明。（10 分） 對應於某公司銷售額為78（百萬元）之期望每股盈餘的95%信賴區間。 （5 分） 附表 t 分配之臨界值 30670 附表 常態曲線下之面積 面積 0 z 30670 F 分配的臨界值 對給定的自由度，表內數值表示 右尾面積為α 時的F 臨界值 分母的自由度 分子的自由度 附表

一保險公司精算人員利用下列簡單線性迴歸模型來建立某美食外送平 台，其外送員車險理賠金額（Y）與理賠請求機車騎行里程數（X）之 間的關係： 0 1 1 20 i i i y x i       ， , , ε 其中 iy （單位為千元）為第i件理賠請求的理賠金額，而 ix （單位為千 公里）為第i件理賠請求機車之騎行里程數，共計20件理賠請求；隨機 誤差1 20  , , ε ε 為彼此獨立，期望值為0變異數皆為 2 的常態分配。根據 上述20件理賠請求，且利用最小平方法（least squares method）來估計 0 及 1 ，得到下列資訊： 1 20 x x  , , 與 1 20 y y  , , 的相關係數為0.693， 1 20 y y  , , 之變異數為 1 20 x x  , , 之變異數的0.52倍，估計迴歸關係式為：  0.5 0.5 Y X   請算出判定係數（coefficient of determination） 2 R 。（2分） 在顯著水準 0.05  ，利用F檢定法檢定 0 1 : 0 H  對 1 1 : 0 H 。（4分） 在顯著水準 0.05  ，利用t檢定法檢定 0 1 : 1 H 對 1 1 : 1 H 。（4分） 33880、37580

下列是關於母體平均以及母體比率之估計與檢定的問題： 假定某地區的每日最高溫服從一平均值為及標準差為4的常態分配。 針對下列假設， 0 : 28 H  對 1 : 30 H  ，隨機取得16筆此地區當日 最高溫資料。估計量X 為樣本平均值。給定下列3種檢定法： 檢定法A：若X c 則拒絕 0 H ，反之則不拒絕 0 H ； 檢定法B：若 30.17 X  則拒絕 0 H ，反之則不拒絕 0 H ； 檢定法C：若 30.5 X  則拒絕 0 H ，反之則不拒絕 0 H 。 已知檢定法A之檢定力（power）為0.1587，且設定顯著水準為 0.015  ，請計算ܿ的值並決定上述3個檢定法那一個或那一些符合 設定並有最大檢定力。（10分） 一軟體公司欲比較一新版軟體是否較舊版軟體更能有效率執行程 式；假定 1 為舊版軟體執行測試程式的平均執行時間，而 2 為新版 軟體執行測試程式的平均執行時間，且x1,…,x6為舊版軟體執行測試 程式之執行時間的隨機資料，而y1,…,y6為新版軟體執行測試程式之 執行時間的隨機資料。給定下列資訊：x1,…,x6之平均值為7且變異數 為5.6，而y1,…,y6之平均值為6且變異數為2.4，x1,…,x6與y1,…, y6之相 關係數為0。請分別用獨立樣本（independent samples）t檢定法，即將 x1,…,x6與y1,…,y6視為獨立樣本，及成對樣本（paired samples or matched samples）t檢定法，即將（x1,y1），…，（x6,y6）視為成對樣本， 在顯著水準 0.01  ，檢定 0 1 2 : 2.5 H     對 1 1 2 : 2.5 H     。 （10分） 某民調機構欲比較候選人A的支持率 1p 與候選人B的支持率 2p 的差 異。下列是此民調機構關於兩候選人支持度的兩份問卷： 問卷 調查人數 支持此候選人人數 關於候選人A的問卷 4900 2450 關於候選人B的問卷 4900 n 已知根據上述問卷所得 1 2 p p  之95%信賴區間其長度為0.0392，以及 候選人A的支持人數大於候選人B的支持人數，即n < 2450。請算出 n的值，並利用上述問卷得到 2p 的95%信賴區間。（10分） 33880、37580

欲比較3種品牌汽車其耗油程度，給定A品牌汽車其每公升行駛平均里 程數為 1 ，B品牌汽車其每公升行駛平均里程數為 2 ，而C品牌汽車其 每公升行駛平均里程數為 3 。每種品牌各隨機抽測8台汽車並得到其 每公升行駛里程數。下列是關於此3組樣本其相關資訊以及利用這3組 樣本所做的統計分析： 此3組樣本其平均值為A品牌之平均里程數最大，而B品牌之平均里程 數最小，此3組樣本其標準差皆相同，檢定 0 1 2 : H    對 1 1 2 : H    的 獨立樣本t檢定其t統計量絕對值為2，檢定 0 2 3 : H    對 1 2 3 : H    的 獨立樣本t檢定其t統計量絕對值為1。在顯著水準 0.05  ，請利用單因 子變異數分析法（one-way ANOVA）來檢定此3種品牌汽車其耗油程度 是否一致，即檢定 0 1 2 3 : H      對 1 1 : H 、 2 以及 3 並不完全相等。 （10分）

根據一份國人讀報偏好之報告指出，最常看A報的比率為 1 0.25 p  ， B報的比率為 2 0.2 p  ，C報的比率為 3 0.15 p  ，D報的比率為 4 0.15 p  ， 而其他報的比率為 5 0.25 p  。下列是一份關於民眾看報的問卷資料： 最常看報紙 A報 B報 C報 D報 其他報 人數 225 215 160 125 275 在顯著水準 0.1  ，利用上述問卷資料以及卡方檢定（chi-squared test） 來驗證上述報告是否可靠，即檢定： 0 1 2 3 4 5 : 0.25 0.2 0.15 0.15 0.25 H p p p p p      、 、 、 、 對 1 : H 並非 1 2 3 4 5 0.25 0.2 0.15 0.15 0.25 p p p p p      、 、 、 、 。（10分） 33880、37580 附表一 33880、37580 附表二 33880、37580 附表三 33880、37580 附表四