經建行政 98 年統計學考古題

狗飼料公司想知道A 與B 兩種飼料，那一種飼料狗會比較喜歡。因此他選取20 隻 狗且讓每隻狗從一個放A 飼料和另一個放B 飼料的杯子去選取一種飼料吃。我們用 X 表示吃了A 飼料的狗的隻數。請回答下列兩個問題： 令p 表示狗會選擇A 飼料的機率。當您要檢定p 值，您會給何假設？（10 分） 請問虛無假設為真時的機率分配為何？（15 分）

若（X,Y）之聯合機率密度函數（joint probability density function，簡記為pdf）如 下： ⎩⎨ ≤ ≤ ≤ + ,1 y x 0 ), y x ( k ⎧ = 。 其它 y ,x , 0 ) y ,x ( f 試計算k 值使得f(x,y)為一良好定義之pdf。（10 分） 試分別計算X 與Y 之邊際pdf。（10 分） 給定 ，試計算 之條件pdf。（10 分）

一位投資人打算把手上兩種股票在明天股票市場開市時賣掉其中一種。若X1及X2表 示這兩種股票之每股價格。我們假設X1及X2獨立且分配相同，具有下列機率密度函 數： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ = − − where else x if e x f x x , 0 10 , 2 1 ) ( ) 10 ( 2 1 如果他賣掉開市時股票價格較高的一種。請問他賣出每股之期望值為多少？（25 分）

/ 1 X = 2 / 1 X| Y = 二、設{ } 為一組來自伯努利（Bernoulli）分配之隨機樣本，試計算以 下各近似值： ) 2 / 1 p ( Ber ~ X 32 1 i = i.i.d.  。（10 分） ∑ = ≥ 32 1 i i ) 14 x ( P  之第90%百分位數（percentile）。（10 分） ∑ = 32 1 i ix

某位小學老師想知道小朋友對荔枝、香蕉及龍眼三種水果是否有偏好。我們可以 令P1, P2, P3依序表示小朋友對這三種水果喜好的機率。該老師給60 位同學自由選 擇三種水果其中一種。其結果為選荔枝有23 位、香蕉有20 位、龍眼有17 位。請 用假設檢定方法在顯著水準α= 0.05 時檢定小朋友對這三種水果是否有不同偏好。 （25 分） 註：令 表示 ； 2 α χ α χ χ α = ≥ ) ) ( ( 2 2 r P 2 0.05 χ 2 0.025 χ 2 01 0. χ r =2 5.99 7.37 9.21 r =3 7.81 9.34 11.34 r =4 11.14 13.27 14.86

設{ 為一組來自幾何Geo(p)分配之隨機樣本，其中參數p 未知，其機率質點函 數為 }10 1 i X ⎩⎨ … = − − ,2,1 x , ) p 1( p 1 x = x , 0 ) x ( PX 其它 。 試寫出p 之參數空間。試求p 之動差估計元（method of moment estimate）。 （10 分） 試求p 之最大概似估計元（maxima likelihood estimate）。（10 分）

考慮簡單迴歸模型： i i i x y ε β β + + = 1 0 ，i = 1,…,n。 假設n = 5，我們有統計量的值： ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = n i i n i i i n i i n i i x y x y x 1 2 1 1 1 10 , 7 ,

欲探討廣告支出與銷售量的關係，隨機抽查7 個商家的廣告支出X（萬元）與銷售 量Y（件）商品的成對資料如下表： Xi 1 2 3 4

, 0 ，請算 出 0 β 及 1 β 的最小平方估計值。（15 分） 另外，若1 ε ,⋯, n ε 為i.i.d.隨機變數，期望值μ= 0 及變異數 9 2 = σ ，當 為 0ˆβ 0 β 的最 小平方估計量，請計算 的變異數。（10 分） 0ˆβ

Yi 3 5

10 10 12 15 設此資料來自一簡單線性迴歸模型： i i 1 0 i X Y ε + β + β = ， 7 i 1 ≤ ≤ 。 試以最小平方法（LSE）求此資料之樣本迴歸線。（10 分） 欲對 作推論時：需對誤差項 1 β iε 作何種分配假設？並以 05 .0 = α 作 1 β 是否顯 著之檢定，若以報表計算而得之小 005 .0 p = ，則 是否顯著？試說明 1 β 1 β 之含意。 （10 分） 計算此模型之判定係數R2。及X與Y之樣本相關係數r。並分別解釋其含意 。（10 分）