經建行政 110 年統計學考古題

在建構單一母體比例（population proportion）的95%信賴區間時，如樣 本數 100 n  的結果為(0.451, 0.549)，試問： 此單一母體比例的不偏估計值（unbiased estimate）為何？（6 分） 如根據相同資料要建構單一母體平均值的90%信賴區間，則此信賴區 間為何？（6 分） 如要檢定此母體比例是否為0.45，則計算出之檢定統計量的值為何？ 此檢定統計量對應之P 值（P-value）為何？（10 分） 如在無法使用上述資訊的前提下，重新進行抽樣，並希望有95%的信心能 控制估計母體比例的誤差在正負0.03 之內，則抽樣樣本數應為何？（6 分）

110年公務、關務人員升官等考試、110年交通 事業公路、港務人員升資考試試題 等 級：薦任 類科（別）：經建行政 科 目：統計學 考試時間：2 小時 座號： 不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。 本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。 註：題目一至三請以下表資料作答。 110年第2季房價負擔能力指標 縣市 房貸負擔率（%） 房價所得比（倍） 新北市 48.48 12.13 臺北市 63.11 15.79 桃園市 30.29 7.58 臺中市 39.46 9.87 臺南市 31.64 7.92 高雄市 30.36 7.60 宜蘭縣 34.83 8.71 新竹縣 33.00 8.26 苗栗縣 31.73 7.94 彰化縣 34.20 8.56 南投縣 34.57 8.65 雲林縣 27.76 6.95 嘉義縣 22.30 5.58 屏東縣 23.07 5.77 臺東縣 31.76 7.95 花蓮縣 33.96 8.50 澎湖縣 33.30 8.33 基隆市 22.80 5.70 新竹市 29.66 7.42 嘉義市 22.71 5.68 房貸負擔率=中位數住宅價格貸款月攤還額/中位數月家戶可支配所得。 房價所得比=中位數住宅價格/中位數家戶可支配所得。 繪製房貸負擔率的盒鬚圖（box and whisker plot），並判斷可能的離群值。 必須清楚說明、計算圖形所需之統計量與統計值，及定義離群值判斷之 準則。（20 分） 假設房價所得比為常態分配，回答以下問題： 計算房價所得比之母體平均數的95%信賴區間。再以此信賴區間之估 計結果，判斷房價所得比之母體平均數是否等於8.5。（10 分） 假設六都與非六都縣市之房價所得比的母體變異數相等。在0.05 的顯 著水準下，檢定六都與非六都的縣市之房價所得比的母體平均數是否 相等。（10 分） 若房貸負擔率<30%表示可合理負擔，30%≤房貸負擔率<40%表示房價負 擔能力略低，40%≤房貸負擔率<50%表示房價負擔能力偏低，房貸負擔 率≥50%表示房價負擔能力過低。 以上述房貸負擔率作為分組依據，計算房價負擔能力程度之次數分配 表。（5 分） 若隨機變數Y 表示房價負擔能力程度，定義Y=1 為可合理負擔，Y=2 為房價負擔能力略低，Y=3 為房價負擔能力偏低，Y=4 為房價負擔能 力過低。依小題之結果，計算隨機變數Y 機率分配函數。（5 分） 計算隨機變數Y 的期望值與變異數。（10 分） 某大公司隨機抽取100 位員工進行一項技能檢定測驗，其人事部門經理 為瞭解員工之年資（Seniority，分3 個年資層）、所屬廠房（Factory，共 4 個廠房）及此兩變數之交互作用（Seniority×Factory）是否會影響測驗 分數。將測驗分數為反應變數，以二因子變異數分析（Analysis of variance，ANOVA）方法分析測驗結果，得到以下ANOVA 表： Source of variation Degrees of freedom Sum of squares Mean square F Seniority (1) 161.45 (7) (11) Factory (2) 1600.33 (8) (12) Seniority×Factory (3) (6) (9) (13) Error (4) 9622.28 (10) Total (5) 15628.32 計算ANOVA 表中(1)至(13)的值。（13 分） 若欲檢定年資層與所屬廠房兩變數間是否存在交互作用，請寫出此檢 定之虛無假設、對立假設、檢定統計量及對應之拒絕域。（7 分） 假設某一疾病的感染機率為0.21，現有一新檢驗試劑Z 可檢測該疾病。 若檢驗試劑Z 檢測的假陽性（當受測者沒有該疾病時，檢測結果卻為陽 性，代表有病）的機率為0.68，假陰性（受測者實際已得該疾病，但檢 驗顯示陰性，即沒有該疾病之跡象）的機率為0.17。 如果某一受測者經由Z 檢測結果為陰性，則該受測者確實感染此疾病 的機率是多少？（10 分） 如果某一受測者經由Z 檢測結果呈現陽性，該受測者確實感染該疾病 的機率是多少？（10 分） t分配表 tα હ

Janice 是一位成功的大學教科書業務代表。依照過去的經驗，經由每通 電話的拜訪與說明，Janice 取得訂單的機率是25%。現在抽出她某個月 的業務電話通數當做樣本，並假設該資料所產生的比例的標準誤為 0.0625。 依據以上訊息，在那個月中Janice 共打了多少通業務電話？（3 分） 令p為推銷成功率的估計式，藉由p的抽樣分配，計算Janice 在那個 月內有30%（含）以上成功率的機率為何？（7 分）

已知 , X Y 是分別具參數為 1 1 1 10, 2 n p   及 2 2 1 15, 2 n p   的兩互相獨立 之二項（binomial）隨機變數，試問：（每小題6 分，共24 分） 變異數, Y ( ) Var Y 為何？ ( 2 ) X Y  之變異數為何？ (2 ) X Y  之期望值為何？ Z X Y   為具何種分配之隨機變數？（請分別寫出分配名稱及其相應 之平均值與變異數或參數值）

2010 年1 月汽車產業在A 國共售出657,000 輛車。自2009 年1 月的經 濟衰退以來，銷售額已減少37%。美國三大車廠－通用汽車（General Motors）、福特（Ford）及克萊斯勒（Chrysler）共售出280,500 輛車， 較2009 年1 月減少48%。 汽車製造商及銷售車輛類型的資料如下表，資料以千輛為單位。非美國 製造商由豐田（Toyota）、本田（Honda）及日產（Nissan）領軍共售出 376,500 輛車。下表的輕型卡車包括小貨卡、多功能休旅車、運動型休旅 車及跨界休旅車。 車型 製造商 小客車 輕型卡車 美國車廠 87.4 193.1 非美國車廠 228.5 148.0 如果某輛車是美國車廠製造，這輛車是輕型卡車的機率是多少？（5 分） 某輛車是由美國車廠製造或是小客車的機率是多少？（5 分） 33480 37080

隨機獨立從下列~ 各母體資料分別抽出 100 n  個樣本 （ 1 2 100 , , X X X  ），試問樣本平均值 100 1 / i i X X n   的抽樣分配（sampling distribution）於~小題中分別近似於何種分配？（請分別寫出分配名 稱及其相應之平均值與變異數）（每小題6 分，共24 分） 母體資料為介於0 到12 的連續型均勻分配（uniform distribution）。 母體資料為自由度是10 的卡方分配（chi-square distribution）。 母體資料為平均值60、標準差是10 的常態分配。 如母體資料為平均值60、標準差是30 的常態分配，另X 大於54 的機 率約為何？

食用燕麥糠是否為一種有效降低膽固醇的方法？早期的研究指出，每日 食用燕麥糠可降低5% 到10% 的膽固醇標準。這項研究報告導致許多 新式早餐的穀類食品皆推行含有不同百分比的燕麥糠。然而，在德州休 士頓某研究單位的醫學研究員懷疑燕麥糠的效果，並進行一項實驗。在 那項實驗中，120 位自願者食用燕麥糠為早餐（稱為實驗組），而其他120 位自願者食用另一種穀類食品為早餐（稱為對照組）。在6 週之後，計算 並蒐集兩個群組自願者膽固醇降低的百分比。 實驗組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（10.01, 4.43, 120）。 對照組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（9.12, 4.45, 120）。 平均數與標準差的單位皆是百分比。 對降低膽固醇而言，在5% 的顯著水準下，我們是否能夠藉由假設檢定 推論燕麥糠不同於其他早餐穀類食品？寫下假設檢定的過程，包括虛無 與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。採用相同變異數的檢定 統計量。（15 分）

假設任意從直線 6 2 y x   取12 個點( , ) x y （例如：(1, 4), (2, 2),），並利 用這12 個點建構簡單線性迴歸模型，試問：（每小題6 分，共24 分） 此預測迴歸直線其估計之截距項為何？ 在建構此簡單線性迴歸模型時所計算出之誤差平方和（error sum of squares）為何？ 利用這12 個點計算出之樣本相關係數（correlation coefficient）為何？ 依據這12 個點建構簡單線性迴歸模型時所計算出之判定係數 （coefficient of determination），模型解釋變異的比例為何？ 附表標準常態累加機率值

學術能力測試（SAT）包含三個領域：關鍵性閱讀、數學和寫作，每個領 域的滿分為800 分。想了解學生在SAT 的三個領域表現是否有不同， 本題考慮完整的隨機區塊設計（complete randomized block design），進行 學生在SAT 的三個領域之資料蒐集。以下是六名學生的SAT 分數樣本： 學生 關鍵性閱讀 數學 寫作 1 526 534 530 2 594 590 586 3 465 464 445 4 561 566 553

全東機械公司想要評估3 種不同的製程方式對產量的影響，於是由 旗下的5 個工廠分別使用3 種製程方式進行為期一週的生產，產量 資料如下： 製程方式 A B C 平均 變異數 工廠 甲 15 16 17 16 1 乙 14 13 15 14 1 丙 11 11 14 12 3 丁 15 13 17 15 4 戊 11 13 15 13 4 平均 13.2 13.2 15.6 變異數 4.2 3.2 1.8 所有15 筆資料之整體平均產量為14，變異數為4。 試問此為何種實驗設計？並說明該設計在此一評估下的優點。 （5 分） 請列出正確的變異數分析（ANOVA）表以檢定製程方法對產量是 否有顯著影響。在顯著水準0.05 之下，請完整寫出虛無假設、對 立假設、檢定統計量及結論。（15 分） 31980

436 478 430

禮樂餐飲集團想研究南屏縣各大學學生人數與校園周邊餐廳數量的 關係，資料如下： 大學 自強 樂群 真平 美樂 靜平 平均 變異數標準差 學生數 （千） 5 12 6 10

430 458 420 請說明為何考慮隨機區塊設計？何者為區塊以及何者為感興趣的因 子。（5 分） 給定SSTR=1348, SSBL=63250 and SST=65798，建構對應的ANOVA 表 （SSTR：Sum of squares for Treatment；SSBL：Sum of squares for Block； SST：Total sumof squares）。在5%的顯著水準下，是否有足夠證據說明 學生在SAT 的三個領域表現不同？寫下假設檢定的過程，包括虛無與 對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。（15 分） 33480 37080 五、《華爾街日報》企業觀念研究2011 年讀者之調查，詢問其對全球250 家 公司管理品質與公司聲譽之關係的評比。此調查以甚佳、良好、尚可等 三種類別尺度來衡量公司的管理品質與公司聲譽。本研究200 位受訪者 之樣本資料如下： 公司聲譽 管理品質 甚佳 良好 尚可 甚佳 40 25 5 良好 35 35 10 尚可 25 10 15 在5%顯著水準下，檢定公司的管理品質與公司聲譽是否獨立。寫下假 設檢定的過程，包括虛無與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結 果。（15 分） 請根據樣本資料並用條件機率來說明的檢定結果。（5 分） 六、最近，可用性專業人士協會（UPA）針對會員進行薪水調查，採用一階 多元回歸模型（first-order multiple regression model），以經驗年數（x1）、 博士學位（x2 = 1 如果是博士，0 如果不是博士）和經理狀態（x3 = 1 如 果是經理，x3 =0 如果不是經理）來預測薪水（y，以美元為單位）。得到 如下預測方程式： ˆ 52484 2941( 1) 16880( 2) 11108( 3) y x x x     預測擁有10 年經驗且沒有博士學位卻是經理的UPA 成員的薪水及 擁有10 年經驗且有博士學位卻不是經理的UPA 成員的薪水。比較 這兩份薪水，說明差別的可能原因。（6 分） 說明調整後的多重決定係數，Rୟୢ୨ ଶ=0.32 的實際解釋。（2 分） 已知x1 係數的95%信賴區間為（2700, 3200），說明此結果的實際解 釋。（2 分）

令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 若隨機變數X 的pdf 為f(x)，令t 為任意實數，試求P(X<t)。（10 分） 試求P(|X|<t)。（5 分）

8.5 2.92 餐廳數 10 25 12 15 18 16 34.5 5.87 學生數（千）與餐廳數的相關係數約為0.847。 今若以學生數（千）為解釋變數、餐廳數為反應變數配適一簡單線性 迴歸模型，請完成以下之迴歸分析及變異數分析（ANOVA）表格中 空格部分（A）至（Q），並請列出必要之計算過程或理由。（15 分） 迴歸分析表： 估計值 標準誤 t-值 P 值 截距 （A） 5.21 （B） 0.6820 學生數 （千） （C） （D） （E） 0.0702 決定係數（Coefficient of determination，Rଶ）=（F） 調整後R 平方（Adjusted Rଶ） =（G） 變異數分析（ANOVA）表： 自由度 平方和 （SS） 均方和 （MS） F 值 P 值 學生數 （千） （H） （I） （J） （K） （L） 殘差 （M） （N） （O） 總體 （P） （Q） 31980 表1 31980 表2 31980 表3 31980 表4-1 31980 表4-2