經建行政 110 年統計學考古題

在建構單一母體比例（population proportion）的95%信賴區間時，如樣 本數 100 n 的結果為(0.451, 0.549)，試問： ㈠此單一母體比例的不偏估計值（unbiased estimate）為何？（6 分） ㈡如根據相同資料要建構單一母體平均值的90%信賴區間，則此信賴區 間為何？（6 分） ㈢如要檢定此母體比例是否為0.45，則計算出之檢定統計量的值為何？ 此檢定統計量對應之P 值（P-value）為何？（10 分） ㈣如在無法使用上述資訊的前提下，重新進行抽樣，並希望有95%的信心能 控制估計母體比例的誤差在正負0.03 之內，則抽樣樣本數應為何？（6 分）

已知 , X Y 是分別具參數為 1 1 1 10, 2 n p 及 2 2 1 15, 2 n p 的兩互相獨立 之二項（binomial）隨機變數，試問：（每小題6 分，共24 分） ㈠變異數, Y ( ) Var Y 為何？ ㈡( 2 ) X Y 之變異數為何？ ㈢(2 ) X Y 之期望值為何？ ㈣Z X Y 為具何種分配之隨機變數？（請分別寫出分配名稱及其相應 之平均值與變異數或參數值）

隨機獨立從下列㈠~ ㈣各母體資料分別抽出 100 n 個樣本 （ 1 2 100 , , X X X ），試問樣本平均值 100 1 / i i X X n 的抽樣分配（sampling distribution）於㈠~㈣小題中分別近似於何種分配？（請分別寫出分配名 稱及其相應之平均值與變異數）（每小題6 分，共24 分） ㈠母體資料為介於0 到12 的連續型均勻分配（uniform distribution）。 ㈡母體資料為自由度是10 的卡方分配（chi-square distribution）。 ㈢母體資料為平均值60、標準差是10 的常態分配。 ㈣如母體資料為平均值60、標準差是30 的常態分配，另X 大於54 的機 率約為何？

假設任意從直線 6 2 y x 取12 個點( , ) x y （例如：(1, 4), (2, 2),），並利 用這12 個點建構簡單線性迴歸模型，試問：（每小題6 分，共24 分） ㈠此預測迴歸直線其估計之截距項為何？ ㈡在建構此簡單線性迴歸模型時所計算出之誤差平方和（error sum of squares）為何？ ㈢利用這12 個點計算出之樣本相關係數（correlation coefficient）為何？ ㈣依據這12 個點建構簡單線性迴歸模型時所計算出之判定係數 （coefficient of determination），模型解釋變異的比例為何？ 附表標準常態累加機率值

全東機械公司想要評估3 種不同的製程方式對產量的影響，於是由 旗下的5 個工廠分別使用3 種製程方式進行為期一週的生產，產量 資料如下： 製程方式 A B C 平均 變異數 工廠 甲 15 16 17 16 1 乙 14 13 15 14 1 丙 11 11 14 12 3 丁 15 13 17 15 4 戊 11 13 15 13 4 平均 13.2 13.2 15.6 變異數 4.2 3.2 1.8 所有15 筆資料之整體平均產量為14，變異數為4。 ㈠試問此為何種實驗設計？並說明該設計在此一評估下的優點。 （5 分） ㈡請列出正確的變異數分析（ANOVA）表以檢定製程方法對產量是 否有顯著影響。在顯著水準0.05 之下，請完整寫出虛無假設、對 立假設、檢定統計量及結論。（15 分）

禮樂餐飲集團想研究南屏縣各大學學生人數與校園周邊餐廳數量的 關係，資料如下： 大學 自強 樂群 真平 美樂 靜平 平均 變異數標準差 學生數 （千） 5 12 6 10

令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 ㈠若隨機變數X 的pdf 為f(x)，令t 為任意實數，試求P(X<t)。（10 分） ㈡試求P(|X|<t)。（5 分）

8.5 2.92 餐廳數 10 25 12 15 18 16 34.5 5.87 學生數（千）與餐廳數的相關係數約為0.847。 今若以學生數（千）為解釋變數、餐廳數為反應變數配適一簡單線性 迴歸模型，請完成以下之迴歸分析及變異數分析（ANOVA）表格中 空格部分（A）至（Q），並請列出必要之計算過程或理由。（15 分） 迴歸分析表： 估計值 標準誤 t-值 P 值 截距 （A） 5.21 （B） 0.6820 學生數 （千） （C） （D） （E） 0.0702 決定係數（Coefficient of determination，Rଶ）=（F） 調整後R 平方（Adjusted Rଶ） =（G） 變異數分析（ANOVA）表： 自由度 平方和 （SS） 均方和 （MS） F 值 P 值 學生數 （千） （H） （I） （J） （K） （L） 殘差 （M） （N） （O） 總體 （P） （Q） 表1 表2 表3 表4-1 表4-2