經建行政 110 年數量方法考古題

考慮一個簡單線性迴歸方程式，其應變數已取自然對數，即log( ) ty ，自 變數是應變數的落後期 1 (log( )) ty  ： 0 1 1 log( ) log( ) , 1, ..., t t t y y u t T        （樣本數） 其中 0 與 1 代表未知參數， tu 代表隨機干擾項，其平均數等於零，變異 數為常數，具有相同且獨立的分配（identically and independently distributed）。（每小題10 分，共20 分） 請證明 1 的最小平方估計式（least squares estimator）， 1ˆ，是否具有 不偏性（unbiasedness）？ 假設 ty 與 1 ty 擁有相同分配，請證明 1 1 。

令一個簡單迴歸方程式如下： 0 1 , 1,... , , i i i i y x v u i n        其中 0 與 1 代表迴歸係數，下標i代表樣本點，共有n 筆資料，以下敘述 為簡潔起見，有時會省略下標i。v u  稱為組合誤差項（composed errors）， 2 ~ (0, ) v v N  代表隨機干擾項， 2 ~ (0, ) u u N  文獻上稱為半常態分配，是 將常態分配隨機變數從0 以下截斷，假設隨機變數v與u 統計獨立。已 知u 的機率密度函數（probability density function, pdf）為 2 2 0 . 2 1 ( ) , 2 2 u u u f u exp u             令 i i i v u   ，已知的pdf，即 2 2 2 1 ( ) 2 f exp                       ， 其中( ) 代表標準常態分配的累積分配函數， / u v     ， 2 2 2 u v      。 請推導u 的條件pdf，即 ( ) f u 。（15 分）

一個探討家戶休閒娛樂支出與所得關係的實證研究，取得樣本數計256 個家戶，依所得高低分成低、中與高三群。使用簡單迴歸模型，應變數 與自變數都取自然對數轉換。利用每一群樣本以及全部樣本分別估計， 得到以下結果： 所得類別 斜率項係數估計值 殘差變異數 （residual variance） 樣本數 低所得群 0.03 0.26 102 中所得群 0.09 0.42 102 高所得群 0.16 0.30 52 全部樣本戶 0.075 0.38 256 請檢定這三個所得群家戶，他們的支出函數是否相同？（10 分） （本題F 分配的5%臨界值為2.37） 進行前小題的檢定，必須有什麼前提假設？（5 分） 已知使用全體樣本計算自變數（取自然對數的所得）的變異數，等於 25，若虛無假設為：全體樣本戶的支出彈性等於0.10，請檢定是否接 受此虛無假設？（5 分）（本題t 分配的雙尾5%臨界值為±1.96）

假設使用兩種生產要素的生產函數設定如下： 1 2 2 3 3 , 1,..., i i i i y x x i n          （樣本數） 其中 iy 是第i家公司取自然對數的生產量， 2 ix 與 3 ix 分別代表取自然對數 的勞動與資本財投入量， i為隨機干擾項。已知 2 2 2 2 3 3 1 1 ( ) 12, ( ) 12, n n i i i i x x x x         2 2 2 3 3 1 1 ( )( ) 8, ( ) 10, n n i i i i i x x x x y y          2 2 3 3 1 1 ( )( ) 10, ( )( ) 8, n n i i i i i i y y x x y y x x           各變數有上橫線者，代表樣本算術平均數。在樣本數等於23 以及迴歸基 本假設都成立的情況下：（每小題10 分，共20 分） 請計算 2 與 3 的最小平方估計值。 請檢定此產業的生產技術是否為固定規模報酬（constant returns to scale）？即檢定 0 2 3 : 1 H    的虛無假設。（本題t 分配的雙尾5% 臨界值為±2.086）

複迴歸模型設定： 1 2 2 3 3 t t t t y x x         ， 應變數為 ty ， 2 tx 與 3 tx 為自變數，三個迴歸係數以符號代表，誤差項 t 表為： 1 , 2,3, ..., . t t tu t T      自我迴歸係數 1 ，隨機變數 tu 可稱為白噪音（white noise）。在其他 迴歸基本假設或稱高斯馬可夫假設（Guass-Markov assumptions）都成立 的情況下： 若採用最小平方法直接估計本題複迴歸方程式，估計式是否具備最佳 線性不偏（best linear unbiased）性質？應如何轉換迴歸模型，可讓最 小平方估計式具備此性質？（10 分） 請證明估計式 1 2 2 1 2 ˆ T t t t T t t e e e        是自我迴歸係數的一致性估計式，te 與 1 te 分別是本題複迴歸模型的當期與落後一期的最小平方殘差。（5 分） 請說明如何計算Durbin-Watson 統計量。在大樣本之下，此統計量會 趨近於什麼數值？（5 分） 如果研究者估計一條迴歸方程式並得到以下結果： 2 1 3.7 0.38 0.93 , 0.98, 1.9 t t t t y x y e R DW        S.E. （0.39）（0.06） 其中 te 是殘差項，S.E.為估計標準誤（standard error）， 2 R 代表判定係 數（coefficient of determination），DW 代表Durbin-Watson 統計量。 以上數據顯示模型配適度極佳，而且DW 統計量很接近2，顯示不存 在自我相關（autocorrelation）。 前段說法是否正確？（5 分）