經建行政 107 年數量方法考古題

已知指數分配 β x e β 1 β) f(x; − = , x > 0。令X1, X2,..., Xn 表示從該分配中隨機 抽出大小為n 的樣本。 請回答下列問題： 利用動差母函數（moment generating function）求出此指數分配的平均 數β 與變異數σ2。（10 分） 求導出β 的最大概似估計式（maximum likelihood estimator）βˆ。（5 分） 求出β 不偏估計式的變異數下界（CRLB），請證明並詳述此最大概似 估計式βˆ 是否為β 的最有效估計？（10 分）

何謂高斯-馬可夫定理（Gauss-Markov theorem）？（5 分）其基本假設 為何？（5 分）在此一線性迴歸模型（ + = Xβ y ϵ）中，請證明此一定理。 （15 分）

何謂邏輯式（Logit）迴歸模型？（10 分）與傳統的迴歸模型有何差異？ （5 分）如何估計其參數？（5 分）如何應用此一模型於經濟學上，試 舉一例說明之。（5 分）

假設有一個凱因斯模型（結構式）如下所示： 消費函數： 0 α 1, β 0 ε βY α C > < < + + = （方程式1） 均衡方程式：Y= C + I （方程式2） 其中C=消費支出，Y=所得，I=投資（假定為外生變數），ε=隨機干擾項。 試證明普通最小平方法（OLS）估計會產生聯立方程式上的偏誤 （Bias）？（5 分） 請使用階（order）與秩（rank）條件，來判斷結構係數（α, β）認定 （identification）的問題。（10 分） 試利用間接最小平方法（ILS）來估計此一模型的參數，並說明此一 方法為何能夠避免此一偏誤。（10 分）