數量方法考古題｜歷屆國考試題彙整

令Y1, Y2,… ,YN 為從平均值為、變異數為2 之常態分布中隨機抽樣而 得之N 個樣本。則樣本平均值ܻത= ଵ ே∑ ܻ௜ ே ௜ୀଵ 。 請以詳細的推導過程及清楚標示的符號，計算出上述樣本平均值ܻത 所依循分布的平均值。（12 分） 請以詳細的推導過程及清楚標示的符號，計算出上述樣本平均值ܻത 所依循分布的變異數。（13 分）

考慮下列線性迴歸模型：Yi = a + b Xi + ei, i = 1, 2,…, N。其中Yi 為被解 釋變數、Xi 為解釋變數、a 為常數項、b 為斜率項、e 為誤差項，共有N 個橫斷面觀察值。 若以普通最小平方法進行參數估計，請列出利用該方法的最佳化問 題，應詳細說明符號意義。（8 分） 請以詳細的算式及標示清晰的符號，推導出上述最佳化問題的所有一 階必要條件。（10 分） 請以前一子題所得到的一階必要條件，求解出所有待估計係數的估計 式，應詳列算式及求解過程。（7 分）

給定複迴歸式Yi = a + b1 X1i + b2 X2i + b3 X3i + b4 X4i + b5 X5i + ei, i = 1,…, N，其中Y 為被解釋變數，X1, X2, X3, X4, X5 為解釋變數，ei 為誤差項。 請詳細說明應以何種統計檢定來判定是否應將解釋變數X4 及X5 納入 上述迴歸式中。（12 分） 請以文字及標示清晰的數學式，詳細說明上述統計檢定的執行步驟。 （13 分）

考慮自我迴歸（Auto-regression）模型Yt = 0 + 1Yt-1 + et, t =1,…, T，其 中t 為時間，Yt 為時間序列變數，et 為誤差項。 請詳細說明何謂單根（unit root）？（8 分） 單根的存在會產生那些迴歸估計上的問題？（7 分） 請舉出一種單根檢定（unit root test），並詳細說明利用它進行單根檢定 的執行步驟。（10 分）

假設S 為一隨機實驗對應的樣本空間（sample space），A 與B 為相對應 的事件（events），且發生的機率皆不為零。 若A 與B 為互斥（mutually exclusive）事件，則兩者是否為獨立 （independent）？（10 分） 若A 與B 為獨立事件，則A 的補集合（complement）與B 的補集合是 否為獨立？（15 分）

假設Y 為一連續型隨機變數（continuous random variable），其機率密度 函數（probability density function, pdf）與累積分配函數（cumulative distribution function, cdf）分別為 ( ) Yf y 與 ( ) Y F y 。令 1 2 , , , n Y Y Y  為對應於隨 機變數Y 的一隨機樣本（random sample），則： 若另一連續型隨機變數Z aY b   ，其中a 和b 為常數，且 0 a  。試 求隨機變數Z 的機率密度函數 ( ) Zf z ？（10 分） 何謂此隨機樣本 1 2 , , , n Y Y Y  對應的最大次序統計量（largest order statistic）？（5 分） 承上，求此最大次序統計量對應的機率密度函數與累積分配函數。 （10 分）

令 1 2 , , , n Y Y Y  為相互獨立的反應變數（response variables），其對應的資料 觀察值為 1 2 , , , n y y y  。假設每一 iY 皆服從參數為 i的伯努利（Bernoulli） 分配，即 ) ~ Bernoulli( i i Y  ，且 i的值與 ix 變數間滿足以下關係： log( ) 1 i i i x        式中的與為兩待估計的模型參數。 請問與的意涵為何？（8 分） 此模型對應的概似函數（likelihood function）為何？（7 分） 請詳細推導如何求得與的最大概似估計值（maximum likelihood estimates）。（10 分）

假設一實證研究轉職（或跳槽）有關的線性模型： 2 1 2 2 3 4 5( ) f f k k y exper wage wage age D D age x e                   式中，y 為是否轉職的二元（binary）變數，若轉職或跳槽，則其值為1， 反之則為0。解釋變數exper 為工作經驗，age為年紀，wage為現職的薪 水， f D 為虛擬變數（若女性則其值為1，男性則為0）， 6 k x x  為其餘解 釋變數，e 則為模型所無法捕捉的外生干擾隨機變數。 為何一般稱此模型為線性機率模型（linear probability model，LPM）？ 若直接以最小平方法估計此模型，會遇到什麼樣的缺點？（10 分） 請問迴歸係數 1 所代表的意思為何？wage 或age 怎麼影響轉職或跳 槽的結果y？（9 分） 我們可以如何修正模型設定，以避免LPM 模型的缺點？新的模型設 定該如何估計？（6 分）

考慮一個簡單線性迴歸方程式，其應變數已取自然對數，即log( ) ty ，自 變數是應變數的落後期 1 (log( )) ty  ： 0 1 1 log( ) log( ) , 1, ..., t t t y y u t T        （樣本數） 其中 0 與 1 代表未知參數， tu 代表隨機干擾項，其平均數等於零，變異 數為常數，具有相同且獨立的分配（identically and independently distributed）。（每小題10 分，共20 分） 請證明 1 的最小平方估計式（least squares estimator）， 1ˆ，是否具有 不偏性（unbiasedness）？ 假設 ty 與 1 ty 擁有相同分配，請證明 1 1 。

令一個簡單迴歸方程式如下： 0 1 , 1,... , , i i i i y x v u i n        其中 0 與 1 代表迴歸係數，下標i代表樣本點，共有n 筆資料，以下敘述 為簡潔起見，有時會省略下標i。v u  稱為組合誤差項（composed errors）， 2 ~ (0, ) v v N  代表隨機干擾項， 2 ~ (0, ) u u N  文獻上稱為半常態分配，是 將常態分配隨機變數從0 以下截斷，假設隨機變數v與u 統計獨立。已 知u 的機率密度函數（probability density function, pdf）為 2 2 0 . 2 1 ( ) , 2 2 u u u f u exp u             令 i i i v u   ，已知的pdf，即 2 2 2 1 ( ) 2 f exp                       ， 其中( ) 代表標準常態分配的累積分配函數， / u v     ， 2 2 2 u v      。 請推導u 的條件pdf，即 ( ) f u 。（15 分）

一個探討家戶休閒娛樂支出與所得關係的實證研究，取得樣本數計256 個家戶，依所得高低分成低、中與高三群。使用簡單迴歸模型，應變數 與自變數都取自然對數轉換。利用每一群樣本以及全部樣本分別估計， 得到以下結果： 所得類別 斜率項係數估計值 殘差變異數 （residual variance） 樣本數 低所得群 0.03 0.26 102 中所得群 0.09 0.42 102 高所得群 0.16 0.30 52 全部樣本戶 0.075 0.38 256 請檢定這三個所得群家戶，他們的支出函數是否相同？（10 分） （本題F 分配的5%臨界值為2.37） 進行前小題的檢定，必須有什麼前提假設？（5 分） 已知使用全體樣本計算自變數（取自然對數的所得）的變異數，等於 25，若虛無假設為：全體樣本戶的支出彈性等於0.10，請檢定是否接 受此虛無假設？（5 分）（本題t 分配的雙尾5%臨界值為±1.96）

假設使用兩種生產要素的生產函數設定如下： 1 2 2 3 3 , 1,..., i i i i y x x i n          （樣本數） 其中 iy 是第i家公司取自然對數的生產量， 2 ix 與 3 ix 分別代表取自然對數 的勞動與資本財投入量， i為隨機干擾項。已知 2 2 2 2 3 3 1 1 ( ) 12, ( ) 12, n n i i i i x x x x         2 2 2 3 3 1 1 ( )( ) 8, ( ) 10, n n i i i i i x x x x y y          2 2 3 3 1 1 ( )( ) 10, ( )( ) 8, n n i i i i i i y y x x y y x x           各變數有上橫線者，代表樣本算術平均數。在樣本數等於23 以及迴歸基 本假設都成立的情況下：（每小題10 分，共20 分） 請計算 2 與 3 的最小平方估計值。 請檢定此產業的生產技術是否為固定規模報酬（constant returns to scale）？即檢定 0 2 3 : 1 H    的虛無假設。（本題t 分配的雙尾5% 臨界值為±2.086）

複迴歸模型設定： 1 2 2 3 3 t t t t y x x         ， 應變數為 ty ， 2 tx 與 3 tx 為自變數，三個迴歸係數以符號代表，誤差項 t 表為： 1 , 2,3, ..., . t t tu t T      自我迴歸係數 1 ，隨機變數 tu 可稱為白噪音（white noise）。在其他 迴歸基本假設或稱高斯馬可夫假設（Guass-Markov assumptions）都成立 的情況下： 若採用最小平方法直接估計本題複迴歸方程式，估計式是否具備最佳 線性不偏（best linear unbiased）性質？應如何轉換迴歸模型，可讓最 小平方估計式具備此性質？（10 分） 請證明估計式 1 2 2 1 2 ˆ T t t t T t t e e e        是自我迴歸係數的一致性估計式，te 與 1 te 分別是本題複迴歸模型的當期與落後一期的最小平方殘差。（5 分） 請說明如何計算Durbin-Watson 統計量。在大樣本之下，此統計量會 趨近於什麼數值？（5 分） 如果研究者估計一條迴歸方程式並得到以下結果： 2 1 3.7 0.38 0.93 , 0.98, 1.9 t t t t y x y e R DW        S.E. （0.39）（0.06） 其中 te 是殘差項，S.E.為估計標準誤（standard error）， 2 R 代表判定係 數（coefficient of determination），DW 代表Durbin-Watson 統計量。 以上數據顯示模型配適度極佳，而且DW 統計量很接近2，顯示不存 在自我相關（autocorrelation）。 前段說法是否正確？（5 分）

已知指數分配 β x e β 1 β) f(x; − = , x > 0。令X1, X2,..., Xn 表示從該分配中隨機 抽出大小為n 的樣本。 請回答下列問題： 利用動差母函數（moment generating function）求出此指數分配的平均 數β 與變異數σ2。（10 分） 求導出β 的最大概似估計式（maximum likelihood estimator）βˆ。（5 分） 求出β 不偏估計式的變異數下界（CRLB），請證明並詳述此最大概似 估計式βˆ 是否為β 的最有效估計？（10 分）

何謂高斯-馬可夫定理（Gauss-Markov theorem）？（5 分）其基本假設 為何？（5 分）在此一線性迴歸模型（ + = Xβ y ϵ）中，請證明此一定理。 （15 分）

何謂邏輯式（Logit）迴歸模型？（10 分）與傳統的迴歸模型有何差異？ （5 分）如何估計其參數？（5 分）如何應用此一模型於經濟學上，試 舉一例說明之。（5 分）

假設有一個凱因斯模型（結構式）如下所示： 消費函數： 0 α 1, β 0 ε βY α C > < < + + = （方程式1） 均衡方程式：Y= C + I （方程式2） 其中C=消費支出，Y=所得，I=投資（假定為外生變數），ε=隨機干擾項。 試證明普通最小平方法（OLS）估計會產生聯立方程式上的偏誤 （Bias）？（5 分） 請使用階（order）與秩（rank）條件，來判斷結構係數（α, β）認定 （identification）的問題。（10 分） 試利用間接最小平方法（ILS）來估計此一模型的參數，並說明此一 方法為何能夠避免此一偏誤。（10 分）

假定銷售收入（Y）和銷售量（X）的簡單迴歸模型為 Y＝β0＋β1X＋u 式中，Y 是以千元來衡量，而X 則以盎斯來衡量。（每小題5 分，共25 分） 其他情況不變，若銷售量改用磅為衡量單位（1 磅＝16 盎斯），對β0 和β1 估計 值的影響為何？說明之。 其他情況不變，若銷售收入改用元為衡量單位，對β0 和β1 估計值的影響為何？ 說明之。 其他情況不變，將Y 和X 的迴歸模型改變為 Y＝β0＋β1lnX＋u ln 代表自然對數，試說明斜率係數之涵意。 其他情況不變，將Y 和X 的迴歸模型改變為 lnY＝β0＋β1X＋u ln 代表自然對數，試說明斜率係數之涵意。 其他情況不變，若Y 和X 的迴歸模型為 Y＝β0＋β1lnX＋u 且取對數前，X 的衡量單位由盎斯改為磅，則對β0 和β1 估計值的影響為何？說 明之。

某製造業薪資之迴歸式為： Salary＝β0＋β1X＋β2Y＋β3Z＋u 假定依樣本資料所估計的結果為： Salary ෣＝450.82 ＋ 6.083 X ＋ 11.13 Y ＋ 2.20Z (39.3) (0.728) (5.88) (1.45) n＝706， R2＝0.113 式中，X 為學歷，Y 為現職年數，Z 為工作態度。而括弧內呈現的是估計係數的標 準誤，n 為樣本數，R2 為配適度。試問： 在5%顯著水準下對應於雙邊對立假設，現職年數和工作態度是否個別顯著？ （5 分）（本題，t 分配的雙尾5%臨界值為1.96） 現擬檢定，在控制學歷變數下，現職年數和工作態度對薪資不具影響效果。列示 並說明檢定的虛無假設和對立假設為何。（5 分） 假定排除現職年數和工作態度兩自變數後，薪資之迴歸估計方程式為： Salary ෣＝365.08 ＋ 7.853 X (38.73) (0.884) n＝706， R2＝0.103 則在5%顯著水準下之原方程式中，現職年數和工作態度是否聯合顯著？（5 分） （本題，F 分配之5%臨界值為3.00） 若擬檢定現職年數和工作態度對薪資的影響效果之總和是否為1。列示其虛無假 設和檢定之t 統計量。（10 分） 103年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 全一張 （背面）

假定大學學測綜合成績（Test）的估計式為 Test ෢＝1100＋14.04 Scale－2.16Scale2－12.25 female＋23.19 Extra＋8.75 female×Extra (6.29) (3.20) (0.53) (3.19) (5.13) (2.33) n＝4421, R2＝0.357 式中，Scale 為該校的高中畢業生人數，以百人衡量，故可代表該校的規模。female 為性別的虛擬變數，female＝1 表示此人為女生，female＝0 則為男生。Extra 為課外 輔導的虛擬變數，若有參加課外輔導則其值為1，若無則為0。括弧則呈現該係數 的標準誤。試問：（每小題5 分，共25 分） 從成績表現的估計式來看，最佳的高中學校規模為何？ 若男、女學生都沒有參加課外輔導，男學生和女學生的成績差異為何？此一差異 是否顯著？（本題，t 分配的雙尾5%臨界值為1.96） 若男、女學生都參加課外輔導，男學生和女學生的成績差異為何？此一差異是 否顯著？ 影響和之結果的主要因素為何？該因素是否顯著？（本題，t 分配的雙尾5% 臨界值為1.96） 就男學生而言，有參加課外輔導和沒有參加課外輔導的成績差異為何？此一差異是 否顯著？（本題，t 分配的雙尾5%臨界值為1.96）

假定一簡單迴歸模型除了有異質變異外，皆符合高斯馬可夫的假設（Guass-Markov assumptions），表為： Y＝β0＋β1X＋u Var (u)＝u2＝σ2h(X) 存在異質變異時，對顯著性檢定有何影響？說明之。（5 分） 若h(X)＝X －2, 說明應如何轉換迴歸模型，以消除異質變異。（5 分） 若h(X)＝e2X , 說明應如何轉換迴歸模型，以消除異質變異。（5 分） 若h(X)＝(β0＋β1X)2，且β0 和β1 為未知。說明應如何轉換迴歸模型，以消除異質 變異。（10 分）