經建行政 111 年數量方法考古題

假設S 為一隨機實驗對應的樣本空間（sample space），A 與B 為相對應 的事件（events），且發生的機率皆不為零。 若A 與B 為互斥（mutually exclusive）事件，則兩者是否為獨立 （independent）？（10 分） 若A 與B 為獨立事件，則A 的補集合（complement）與B 的補集合是 否為獨立？（15 分）

假設Y 為一連續型隨機變數（continuous random variable），其機率密度 函數（probability density function, pdf）與累積分配函數（cumulative distribution function, cdf）分別為 ( ) Yf y 與 ( ) Y F y 。令 1 2 , , , n Y Y Y  為對應於隨 機變數Y 的一隨機樣本（random sample），則： 若另一連續型隨機變數Z aY b   ，其中a 和b 為常數，且 0 a  。試 求隨機變數Z 的機率密度函數 ( ) Zf z ？（10 分） 何謂此隨機樣本 1 2 , , , n Y Y Y  對應的最大次序統計量（largest order statistic）？（5 分） 承上，求此最大次序統計量對應的機率密度函數與累積分配函數。 （10 分）

令 1 2 , , , n Y Y Y  為相互獨立的反應變數（response variables），其對應的資料 觀察值為 1 2 , , , n y y y  。假設每一 iY 皆服從參數為 i的伯努利（Bernoulli） 分配，即 ) ~ Bernoulli( i i Y  ，且 i的值與 ix 變數間滿足以下關係： log( ) 1 i i i x        式中的與為兩待估計的模型參數。 請問與的意涵為何？（8 分） 此模型對應的概似函數（likelihood function）為何？（7 分） 請詳細推導如何求得與的最大概似估計值（maximum likelihood estimates）。（10 分）

假設一實證研究轉職（或跳槽）有關的線性模型： 2 1 2 2 3 4 5( ) f f k k y exper wage wage age D D age x e                   式中，y 為是否轉職的二元（binary）變數，若轉職或跳槽，則其值為1， 反之則為0。解釋變數exper 為工作經驗，age為年紀，wage為現職的薪 水， f D 為虛擬變數（若女性則其值為1，男性則為0）， 6 k x x  為其餘解 釋變數，e 則為模型所無法捕捉的外生干擾隨機變數。 為何一般稱此模型為線性機率模型（linear probability model，LPM）？ 若直接以最小平方法估計此模型，會遇到什麼樣的缺點？（10 分） 請問迴歸係數 1 所代表的意思為何？wage 或age 怎麼影響轉職或跳 槽的結果y？（9 分） 我們可以如何修正模型設定，以避免LPM 模型的缺點？新的模型設 定該如何估計？（6 分）