經建行政 111 年統計學概要考古題

一家食品公司的領班承認，在10%的班次中，他忘記關閉生產線上的旋 轉機。這會導致機器過熱，使得在清晨運行期間產生缺陷產品的機率從 2%增加到20%。（每小題10 分，共20 分） 計算領班忘記關閉生產線上的旋轉機且產生缺陷產品的機率。 計算清晨運行期間產生缺陷產品的機率。

以下是甲、乙二地區之人口分布，以及C 流行病在各年齡層之確診率與 致死率。 人口分布（％）： 0-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 >=70 甲 15.5 10.5 12.5 15.0 17.5 14.5 14.5 乙 21.0 13.5 17.5 15.0 16.5 12.5 4.0 各年齡層之確診率（％）： 0-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 >=70 甲 2.5 3.5 6.5 10.5 15.0 25.5 36.5 乙 3.0 6.5 15.5 24.0 22.5 16.5 12.0 各年齡層之致死率（％）： 0-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 >=70 甲 0.0 0.0 0.0 0.2 0.3 6.5 12.5 乙 0.0 0.2 0.3 0.4 1.5 8.0 13.5 其中，各年齡層之致死率=（該年齡層因C 流行病而死亡之人數）／（該 年齡層之確診人數），各年齡層之確診率=（該年齡層之確診人數）／（所 有年齡層之總確診人數），並依地區分別計算。 試問甲地區人口年齡之中位數落在那個年齡層？（5 分） 不分年齡層之下，試分別計算甲、乙二地區之整體致死率。（10 分） 試說明為何一個地區即使在各年齡層之致死率皆高於另一地區，其整 體致死率仍可能低於另一地區。（5 分）

A 先生和B 先生是房地產經紀人。若X 表示A 先生在每個月內出售的 房屋數量，且Y 表示B 先生在每個月內出售的房屋數量。對他們過去每 個月表現的分析以下列聯合機率表（雙變量機率分布）來說明。 X 0 1 2 Y 0 0.12 0.42 0.06 1 0.21 0.06 0.03 2 0.07 0.02 0.01 計算3X+3Y 的期望值。（10 分）

假設ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ଴଴為從標準常態機率分配隨機抽取之樣本，今從剛畢業之 社會新鮮人隨機抽取100 人，記錄其首份工作之月薪（萬元），得 ܻଵ, ܻଶ, . . . , ܻଵ଴଴。現將此二組數據分別由小至大排序，得ܺ(ଵ) < ܺ(ଶ) <. . . < ܺ(ଵ଴଴)與ܻ(ଵ) < ܻ(ଶ) <. . . < ܻ(ଵ଴଴)。若（ܺ(௜), ܻ(௜)）之分散圖，約為一條截距 為4、斜率為0.5 之直線。試問社會新鮮人首份工作之月薪服從何種機率分 配？又，月薪超過5 萬元之比例為何？（10 分）

假設一位大學生每月食用的比薩餅數量具有常態分配，平均值為10 個， 標準差為3 個。 一位大學生每月食用超過12 個比薩餅的機率是多少？（5 分） 在25 個學生的隨機樣本中，每月總共食用超過275 個比薩餅的機率 是多少？（10 分）

甲部門負責檢查A 產品之品質，給予優、良、可、差四種評等。根據過去 幾年之經驗，A 產品屬於此四個類別之比例分別為10%、30%、40%、20%。 今年隨機抽取A 產品400 件予以檢查，其中屬於此四種評等之比例分別為 12.5%、24%、37.5%、26%。在0.01 顯著水準下，試檢定今年A 產品之品 質評等分布與過去幾年是否相同？（15 分）

商品生產行業員工的平均小時工資目前為24.57 美元。假設我們從製造 業中抽取員工樣本，看平均小時工資是否與商品生產行業報告的24.57 美元的平均值不同。假設來自製造業的30 名員工的樣本顯示了每小時 23.89 美元的樣本平均值，已知其母體標準差為每小時2.40 美元。在5% 的顯著水準下，你是否可以推論製造業的人口平均小時工資是否不同於 商品生產行業的人口平均小時工資？寫下假設檢定的過程，包括虛無與 對立假設，檢定統計量，並以p-value 決定檢定結果。（25 分）

甲地區設置「樂齡學習中心」，提供A、B 與C 三種課程，這三種課程過去 四期的評鑑分數如下。假設評鑑分數分別為來自三個常態母體之隨機變數， 其母體平均數分別為 B A C    、、 ，而變異數相同。 A 79 78 83 80 B 90 84 91 95 C 80 78 82 76 試寫出ANOVA 表，並在顯著水準0.05 下，檢定三種課程之評鑑分數 是否相同。（15 分） 試估計母體變異數，並求出 B A    的95%信賴區間。（10 分）

2007 年《紐約時報》報導，美國家庭年收入中位數為55,500 美元。 2013 年14 個家庭收入（1,000 美元）的樣本數據按升序排列如下： 46.5, 48.7, 49.4, 51.2, 51.3, 51.6, 52.1, 52.1,52.2, 52.4, 52.5, 52.9, 53.4, 64.5 （平均數52.2，變異數16） 根據以上數據回答下列問題：（每小題15 分，共30 分） 計算五個數字的摘要（five-number summary），包括最小值，第一四分 位數（Q1），第二四分位數（Q2），第三四分位數（Q3），最大值。 使用z 分數方法，2013 年14 個家庭收入的樣本數據是否包含異 常值？若使用第一和第三四分位數的值以及四分位數範圍（即 (Q1-1.5(IQR),Q3+1.5(IQR))）來檢測異常值的方法，請比較其與使用z 分數方法的結果之差異。

「身高體重指數」（BodyMassIndex）是以身高、體重比例計算之指標，計算 公式為：體重（公斤）／身高平方（公尺平方）。「體脂肪率」（Body Fat Percentage）是全身脂肪重量占體重的比例。王主任隨機抽取20 位60 歲以 上男性，資料顯示兩變數之樣本相關係數為 0.56，以「身高體重指數」（y）對「體脂肪率」 （x）作線性迴歸，得到估計的標準誤（standard error of estimate）為5，以及右方殘差圖： 試寫出ANOVA 表。（10 分） 試求判定係數（coefficientofdetermination） 並解釋其意義。（5 分） 在顯著水準0.05 下，試檢定斜率係數是 否為正值。（10 分） 根據殘差圖試說明迴歸模型之假設是否 合理。（5 分）