經建行政 109 年統計學概要考古題

已知12個燈泡中有5個瑕疵，任取4個來檢驗。 若取後不放回，請計算至少一個有瑕疵之機率。（5分） 若取後放回，請計算沒有瑕疵之機率。（5分） 請計算並比較取後放回及不放回，瑕疵個數的變異數有何不同。（10分）

下列是關於條件機率、常態分配及隨機變數之期望值的問題： 假定在一跟肺部有關疾病流行期間，共有3種可能型：A型、B型及 C型的肺部疾病。其中染病病人得病機率分別是得A型肺部疾病機率 為0.6、B型肺部疾病機率為0.3，而C型肺部疾病機率為0.1。這三型 肺部相關疾病皆可能有發燒及咳嗽的症狀，其中A型病人中20%有 發燒症狀，B型病人中60%有發燒症狀，而C型病人中80%有發燒症 狀；而且50%的A型病人有咳嗽症狀，35%的B型病人有咳嗽症狀， 25%的C型病人有咳嗽症狀。現有一染病病人有發燒症狀，請分別算 出此病人得這三型肺部疾病的機率並決定這病人最可能得那一型的 肺部疾病。（5分） 某一大型家電公司其某款售出產品之可用時間服從一平均值為μ （年）且變異數為2.25（年2）的常態分配。已知此產品可用超過5年 的機率為0.025，請算出μ的值及此產品可用時間不超過6個月的機 率。（5分） 一家口罩廠商得到一筆從某政局不穩定國家所下總值5千萬元的訂 單，給定有0.7的機率此廠商可收到此5千萬元訂單付款，有0.15的機 率僅可收到3千萬元付款，有0.1的機率僅可收到1千萬元付款，有0.05 的機率收不到任何付款。為保險起見，此廠商投保某一意外險，並 先支付1千萬元保費，承保之保險公司將支付此公司應收款項不足的 任何差額。如果隨機變數X代表此口罩廠商最終在此投保所花費或 賺到的金額。請算出X的期望值E(X)。（5分） 44450

快速檢驗（Rapid Test）經常被用來判斷某人是否有HIV（造成AIDS 的 病毒）。偽陽性與偽陰性發生的機率分別是0.03和0.08。一位醫師剛收到 一份快速檢驗報告，病患檢測的結果呈現陽性。在收到此報告之前，這 位醫師將這位病患歸類在低危險群，其為HIV 帶原的機率只有0.6%。 這位病患實際有HIV 的機率為何？（10分） 假設病患檢查結果是陰性，實際上是陽性的機率為何？（5分）

下列是關於資料集中趨勢、分散趨勢及相對位置之統計量的問題： 某公司欲由其A分公司及B分公司所推薦之兩人擇一來晉升主管職 位。這兩家分公司員工績效成績資訊如下： A分公司 B分公司 績效成績84分在該分公司之z分數 0.5 3.0 績效成績72分在該分公司之z分數 −2.5 −1.0 該推薦員工在其所在分公司之績效成績 90.0 82.5 人事主管決定用z分數（z score）來決定晉升人選，請問是那一家分 公司推薦的員工得以晉升並說明原因。（5分） 一組樣本數為10且以華氏溫標為單位之溫度資料x1,…,x10，其重要資 訊如下： 第30百分位數 (30th percentile) 平均值 四分位距 (interquartile range) 變異數 變異係數 (coefficient of variation) 74.3 81.5 16.2 76.5 0.11 若以攝氏溫標為單位，即資料為   5 32 9 i i y x   , i = 1,…,10，請算出 關於攝氏溫標資料y1,…,y10的5個統計量：第30百分位數、平均值、 四分位距、變異數及變異係數。（10分） 一組資料其頻率分布圖呈現鐘形分布，利用經驗法則（empirical rule） 可得知區間[12,22]包含大約此組資料的95%資料。請利用經驗法則得 到包含大約此組資料的68%資料之區間。（5分）

某保險理賠公司接獲申請理賠電話的間隔時間（單位：分鐘）為指數分 配： /3 1 ( ) , 0 3 x f x e x    請問接獲申請理賠電話的平均間隔時間是多少？（5分） 等待下一通申請理賠電話的時間大於30秒的機率為何？（5分） 請用卜瓦松分配計算5分鐘內都沒有來電申請理賠的機率為何？（10分） 43560

一公司利用簡單線性迴歸模式來建立其銷售額（Y）與所進行的廣告次 數（X）之間的關係。給定下列10組資料(y1, x1),…,(y10, x10)，其中yi為 第i個月之銷售額，而xi為第i個月所進行的廣告次數，根據所得之資訊： 10筆銷售額資料y1,…,y10其平均值為130而變異數為1748，10筆廣告次 數資料x1,…,x10其平均值為14，此外，銷售額資料y1,…,y10與廣告次數資 料x1,…,x10其共變異數為316，利用最小平方法（least squares method） 所得估計迴歸關係式為Y = 60 + 5X。 若第3個月的銷售額為y3 = 88而所進行的廣告次數為x3 = 8，試算出 此月銷售額的配適值（fitted value）及殘差值（residual）。（5分） 算出判定係數（coefficient of determination）R2及銷售額資料y1,…,y10 與廣告次數資料x1,…,x10的相關係數。（5分） 在顯著水準α = 0.05，利用t檢定法檢定是否廣告次數會影響銷售額， 即檢定迴歸之線性關係式的斜率是否為0。（5分） 44450

治療師想了解，聽音樂是否能讓患有憂鬱症的病患降低其憂鬱指數，於 是抽選了7位病患，分別測他們聽音樂前及聽音樂後的憂鬱指數，資料如 下： 病患 1 2 3 4

下列是關於母體比率其估計量之抽樣分配及母體平均之檢定的問題： 欲判斷某生產線每日平均產量μ是否不少於一定數量，對此生產線隨 機取得16筆日產量資料且此16筆日產量資料其標準差為3。利用此組 樣本及t檢定法檢定此生產線每日平均產量μ是否不少於70，即檢定 H0：μ ≥ 70對H1：μ < 70，所得之p值（p value）為0.01。在顯著水準 α = 0.1，請利用此組樣本及t檢定法檢定每日平均產量μ是否不少於 69，即檢定H0：μ ≥ 69對H1：μ < 69。（10分） 針對母體比率p，p ≤ 0.5，利用樣本數為1600之隨機樣本所得之樣本 比率統計量P 來估計p，可得抽樣誤差P p  在0.015內的機率約為 0.8664。請算出p的可能值及當樣本數為2500時，P 大於0.22的機率。 （10分） 欲比較A廠牌儀器的平均壽命μ1與B廠牌儀器的平均壽命μ2之差異。 隨機抽樣7台A廠牌儀器，此7台A廠牌儀器壽命平均值為10，而隨 機抽樣9台B廠牌儀器，此9台B廠牌儀器壽命平均值亦為10。這16台 儀器之壽命變異數為4。在顯著水準α = 0.01，請利用t檢定法檢定 H0：μ1−μ2≥ 2對H1：μ1−μ2 ＜2。（10分）

欲比較三種不同品牌的電池其平均壽命是否一致，每種品牌電池各 隨機抽測5顆電池並記錄其壽命。這三組樣本其壽命的平均值分別為3、 4.5及3.6，而其壽命的標準差分別為1.5、1及1.5。在顯著水準α = 0.05， 請利用單因子變異數分析法（one-way ANOVA）來檢定這三種品牌電 池平均壽命是否一致，即檢定： H0：μ1 = μ2 = μ3對H1：μ1、μ2及μ3並不完全相等。 其中μ1、μ2及μ3分別是這三種品牌電池的平均壽命。（10分）

欲調查某種家電產品市場是否由四家廠商平均瓜分，即使用此四家廠 商之人數比率p1、p2、p3及p4皆為0.25。一組隨機樣本其樣本數為n之問 卷結果其資訊如下： 使用家電廠商A人數比率為27%，使用家電廠商B人數比率為25%，使 用家電廠商C人數比率為26%，使用家電廠商D人數比率為22%。根據 上述問卷結果，利用卡方檢定（chi-squared test）來檢定市場是否由此 四家廠商平均瓜分，即檢定： H0：p1 = p2 = p3 = p4 = 0.25對H1：並非p1 = p2 = p3 = p4 = 0.25。 在顯著水準α = 0.01，結果為拒絕H0。試求出n最小可能值。（已知n為 100的倍數）（10分） 44450 附表一 44450 附表二 44450 附表三 44450 附表四

聽音樂前 52 56 52 41 45 50 49 聽音樂後 47 51 45 38 43 46 42 請問病患聽音樂前後的平均憂鬱指數差異（後-前）約為何？（5分） 在0.05的顯著水準，利用臨界值法檢定是否聽音樂後會降低憂鬱指 數？（15分） 五、2017年某款750 ml 紅酒的拍賣價格及酒齡資料如下表： 酒齡（年） 36 20 29 30 34 價格（$） 245 142 212 209 237 試用最小平方估計法（least squares estimation）建立一估計迴歸方程 式，來描述酒齡對拍賣價格的影響。（10分） 在0.05的顯著水準下檢定此迴歸線是否顯著。（10分） 使用此估計迴歸方程式預測25年酒齡的紅酒其拍賣價格。（5分）