經建行政 110 年統計學概要考古題

某自助餐販賣的便當以重量計價，消費者平均消費金額為77 元，標準差 5 元。假設便當價格為常態分配。 隨機選取一位客人，其消費金額介於77 元和82 元的機率是多少？ （6 分） 若以4 位客人為簡單隨機樣本，其平均消費金額介於77 元和82 元的 機率是多少？（6 分） 購買的便當消費金額至少要幾元才算是前2.5%高價的消費金額？（6 分） 要選取多少位客人，才能使平均消費金額的95%信賴區間的邊際誤差 （margin of error）控制在2 元以內？（7 分）

110年公務人員普通考試試題 類 科：經建行政、交通技術 科 目：統計學概要 考試時間：1 小時30 分 座號： 不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。 本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。 44350 P(Z > ݖఈ) = ߙ; ݖ଴.଴ହ= 1.645; ݖ଴.଴ଶହ= 1.96; ݖ଴.ଶଵଵଽ= 0.8; ݖ଴.଴ହହଽ= 1.59; ݖ଴.଴ଶଷଷ= 1.99 P൫t > ݐఈ,௡൯= ߙ; ݐ଴.଴ଶହ,ଶଶ଴= 1.96 P(߯ଶ> ߯ఈ ଶ(݊)) = ߙ; ߯଴.଴ହ ଶ (10) = 18.307; ߯଴.଴ହ ଶ (4) = 9.488; ߯଴.଴ହ ଶ (6) = 12.592 P൫F > ܨఈ(݊ଵ, ݊ଶ)൯= ߙ; ܨ଴.଴ହ(2,27) = 3.35; ܨ଴.଴ଶହ(2,10) =5.46; ܨ଴.଴ହ(5,10) =3.33; ܨ଴.଴ହ(6,12) =3 已知隨機變數X 與Y 的二元機率分配如下： f (x, y) x y 0.2 50 80 0.5 30 50 0.3 40 60 計算X 與Y 的期望值與變異數。（8 分） 計算E(X+Y)與Var(X+Y)。（8 分） 計算X 與Y 的共變異數與相關係數，並判斷X 與Y 是正相關、負相 關或不相關。（9 分） 一間百貨公司分析它們最近的銷售情況，並且決定顧客購買商品的付款 方式與商品價格類別之間的關係，得到下表中的聯合機率： 現金 信用卡 簽帳金融卡 $20以下 .09 .03 .04 $20-$100 .05 .21 .18 $100以上 .03 .23 .14 以簽帳金融卡付消費款的比例為何？（5 分） 以信用卡支付之下，消費款超過$100 的機率為何？（5 分） 以信用卡或簽帳金融卡支付消費款的比例為何？（5 分） 44350 某週刊曾報導廣告主與網際網路服務供應商及搜尋引擎簽訂合約，在網 站上刊登廣告，付費方式是根據點擊該項廣告的潛在顧客的數目而定。 不幸的是，點擊詐欺（為了增加廣告收入而點擊該項廣告）已然成為問 題。40%的廣告主宣稱，他們成為點擊詐欺的受害者。假定隨機抽選380 位廣告主，以了解點擊詐欺的狀況： 樣本比例與母體比例的差距在± 0.04 以內的機率是多少？（5 分） 樣本比例大於0.45 的機率是多少？（5 分） 某醫學期刊中描述一項研究，想要判斷運動是否可以延長心臟麻痺病患 的生命。招募801 位心臟麻痺病患的樣本；其中395 位接受運動的訓練， 而另外的406 位則無。在接受運動的群組當中有88 位病患未能延長生 命，而在無運動群組中有105 位病患未能延長生命。 在5%的顯著水準下，研究人員是否可以推論運動訓練能夠延長生命？ 寫下假設檢定的過程，包括虛無與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢 定結果。（15分） 有一位候選人在宣告參選之前，評估選民對他的初始支持率。不做任何 事前公開活動之前提下，若選民支持他的比例數p 大約0.15，他將投入 選戰。從隨機選取的n 個選民的ㄧ項民調中，該候選人希望比例數p 的 估計值y/n 距離p 在0.03 之內。也就是說，決策乃基於形如y/n ± 0.03 的ㄧ個95%信賴區間，y 代表支持該候選人的選民人數： 在候選人對於p 的大小沒有任何概念下，如何決定所需樣本數大小， 以便達到所求之可靠度及準確度？（5 分） 假設由該選區隨機選取1,068 個選民進行訪談，得到y = 214 個選民的 支持，求p 的95%信賴區間。根據此樣本所提供的訊息，該候選人是 否決定投入選戰？（5 分） 比較的最大誤差與0.03，說明為何會有如此差別？（5 分） 44350 統計課中一位成績接近底部的學生甲，決定投入一定的練習時數以改善 期末的成績。但是甲並不想做過多的練習，因為甲企圖以最少的工作量 達到最終畢業的目的。甲註冊一門統計課，離期末考僅有3 個星期，並 且最後學期總成績是以下列方式決定： 學期總成績＝20%（作業）＋30%（期中考）＋50%（期末考） 為了決定在剩餘的3 星期內要付出多少努力，甲必須根據作業分數（有 20 分）與期中考分數（有30 分）去預測期末考成績。甲的這些分數分 別是12/20 與14/30。 甲蒐集去年選修這門統計課30 位學生的期末考分數、作業分數 （assignment），與期中考分數（midterm）。 利用以下30 位學生的資料所做的迴歸分析結果回答問題： 決定估計的迴歸方程式並檢定模型的有效性（5%的顯著水準）。（4 分） 估計的標準誤為何？如何詮釋這個統計量？（4 分） 判定係數為何？這個統計量提供什麼訊息？（4 分） 詮釋估計的迴歸方程式中每一個係數。（4 分） 在此模型中，檢定作業分數之係數是否為零（5%的顯著水準）？（4 分）

假設有四面骰子，其四面之點數分別為1、2、3、4 點。今擲出一對公正 的四面骰子，令X 等於較大點數的結果，例如若擲出點數為1 點與4 點， 則X 等於4 點。 試求(X) E 。（7 分） 試求 2 (X ) E 。（8 分） 試求Var(X)。（10 分）

男生是否比女生更願意花大錢購買高階手機？一項手機購買行為的調 查以男女各400 人為隨機樣本，其中有280 位男生願意花大錢購買高階 手機，而願意花此大錢的女生有200 人。以P1 與P2 分別代表母體中男 生與女生願意花大錢購買高階手機的比例。在0.05 顯著水準之下，檢定 男生比女生更願意花大錢購買高階手機。 試寫出虛無及對立假設。（5 分） 試寫出檢定統計量及結論。（10 分） 試求P1－P2 的95%信賴區間。（10 分）

研究者用多元迴歸分析，以燃料消耗量（單位mpg：英里/每加侖）及汽 車排氣量（單位：立方英寸）來預測汽車售價（單位：千元）。研究者隨 機抽取100 輛汽車進行研究，結果如下： ANOVA df SS MS F Regression Error 34,188,066 Total 43,506,728 係數 標準誤 截距 572.824 701.364 燃料消耗量 -9.362 13.344 汽車排氣量 7.515 2.641 若一輛汽車燃料消耗量為每加侖50 英里，排氣量為100 立方英寸， 售價為549,900 元。根據迴歸分析結果做預測，試問殘差為何？（5 分） 欲知汽車排氣量之係數是否顯著，試問檢定統計量為何？（6 分） 欲知燃料消耗量與汽車排氣量之係數是否同時為0，試問檢定統計量 為何？（7 分） 試問燃料消耗量和汽車排氣量可以解釋多少比例的汽車價格之變異 量？（7 分） 附表 Z分配表 附表 t分配表