流體力學與工程力學考古題｜歷屆國考試題彙整

如下圖所示為一不銹鋼中空圓管，其外徑為165.2 mm、管厚6 mm、長 度L = 2.0 m，而剪切模數（shear modulus）為80 GPa。該圓管之一端固 定，另一端受扭矩T = 1000 N．m作用。試求此圓管： 受到的最大剪切應力。（15 分） 在受扭矩端之扭轉角。（10 分）

空氣與水均為牛頓流體（Newtonian fluids）的代表，其運動方程式為著 名的Navier-Stokes 方程式，若在直角座標系( ) ,x y 上描述一個二維流場， 其方程式如下：

一質量為80kg 的滑塊從光滑面頂端靜止滑下，如下圖所示，斜面長度為10m， 與水平面之夾角為30o。在斜面底部連接一彈簧，彈簧常數k = 1000 N/m， 重力加速度為g = 9.81 m/s2。試求： 滑塊與彈簧接觸前的速度。（10 分） 彈簧被壓縮的最大距離。（15 分） 截面圖 30°

2 2 2 x u u u p u u u v g t x y x x y                                  2 2 2 2 y v v v p v v u v g t x y y x y                                  其中( , , ) u t x y 及( , , ) v t x y 為- x 與- y 方向上的速度函數，( , , ) p t x y 為流場壓 力分布，為流體密度，為流體黏滯係數， x g 與 y g 則為兩方向的單位 質量的重力分量。 何謂牛頓流體？其剪切應力表示式為何？（4 分） 現有三個未知數，請問Navier-Stokes 方程式足夠求解嗎？應如何處 理？（4 分） 請由重力分量的因次來推導黏滯係數的因次。請以大寫M、L、T 代表 質量、長度及時間因次；若需要更多的因次，請自行定義符號。（6 分） 請問流體在x 方向運動時可能受到的剪切應力對應到上述方程式中的 那些項次？請解釋該項次的動力學意義。（6 分） 二、如圖，有一水深H 、寬度W 之儲水槽，儲槽角落接管徑為D、總長為L 的長細直管，向外排水；為水密度，為水黏滯係數。假設排水量不 大，流場可近似於不可壓縮流，且排水對水深的影響暫時可忽略，因此 排水近似穩態過程（steady state），又若管長遠大於管徑，使得直管中流 動可近似於完全發展流（fully-developed flow）。 今將座標系定義於管徑開口正中央，( , ) u x y 及( , ) v x y 為兩個速度分量 函數，( , ) p x y 為流場壓力分布。請依流場狀況將Navier-Stokes 方程式 化減至最簡單的方程，並解流場與壓力場。（12 分） 若沿長管於 /2 x L  處側開口設置壓力計，請討論此壓力值是否即為 Navier-Stokes 方程式中的( , /2, ) p t L y ？（3 分）

如下圖所示之汽車測試風洞，其中空氣被安置於風洞出口的抽風設備吸入。 當測試汽車區塊入口的速度為97 km/h，試計算壓力計讀數(h)。應特別 注意，壓力計中的水面上有0.025 m 的油柱，而油比重（specific gravity） 為0.9，且空氣與水之密度分別為1.23 kg/m3與1000 kg/m3。（15 分） 汽車前端（front of car）之停滯壓（stagnation pressure）與入口段之靜壓 （static pressure）的差值。（10 分）

如圖所示，有一皮帶-滑輪動力系統，滑輪A 以皮帶帶動滑輪D，滑輪B 則以另一條皮帶帶動滑輪C，已知滑輪A 以角速度 40 rad/s A  ，試求 滑輪B 與C 之角速度為何？（15 分） （假設皮帶與滑輪之間無摩擦，且滑輪B 與D 為剛性連接） W H D L x y

如下圖所示之方形角落（square corner）的速度場為 Vሬ⃗= ܣݔeො୶−ܣݕeො୷, 其中ܣ= 0.4 s-1, 試回答下列問題：（每小題5 分，共25 分） 推導其流線方程式。 計算其角變形率（rate of angular deformation）。 推導出݀݅ݒ ݒ⃑之表示式，並判斷此流場是否為可壓縮流（compressible flow）。 推導出其旋轉（rotation）之表示式，並判斷此流場是否為無漩流 （irrotational flow）。 計算a-b-c-d 封閉區域之環流（circulation）。 km/h

如圖所示，一質量為100 kg 之物塊A 靜止於一平面上，該平面之動摩擦 係數分為 0.2 k  ，試求下列問題（假設重力加速度為 2 10 m/s ）： 當F 為200 N時，物塊A 在 2 s t  時的速度？（5 分） 當F 為(60 N )t 時，物塊A 在 2 s t  時的加速度為何？（10 分）

如圖所示，一薄壁圓筒壓力容器兩端封閉，其平均半徑為200 mm，筒壁 厚度為10 mm，其承受一內壓力 2 MPa p  與一扭矩T。若容許工作剪應 力 25 MPa w   ，試求可承受之最大扭矩？（薄壁圓筒極慣性矩為 2 J Ar  ）（20 分）

如圖所示，一長為2 m 的水平鋼桿固定於牆壁兩側之間，其截面積為 2 1000 mm 。若此鋼桿在20℃為無應力狀態，當溫度升至40℃時，試求 在下列情況時鋼桿所受之應力大小，並判別為拉伸或壓縮應力（已知鋼 桿的楊氏模數 210 GPa E  與熱膨脹係數 10 ppm / C  ）： 牆壁固定不動。（5 分） 兩側牆壁因結構變形而遠離彼此1mm。（10 分）

如圖所示，一均質細長桿長度為4 m，質量為3 kg。一端靠在粗糙牆面， 另一端以細繩固定，長桿與水平面夾角為30，繩子與垂直線夾角亦為30， 且處於靜力平衡狀態。（重力加速度g = 9.81 m/s²） 試求： 繩子的張力（T）。（10 分） 牆壁對長棍的水平方向力（H）。（5 分） 牆面提供長棍的摩擦力（Fs）。（5 分）

流體本身具有黏性，而且會受環境溫度影響而變化。牛頓觀察流體的行 為並提出其牛頓黏性法則，也說明剪應力在這個法則上的角色。目前量 測流體的黏性通常是在定溫下，將待測流體放入兩個圓桶之間。若兩個 圓桶內圈的圓筒是靜止，而外圈圓筒保持一個定轉速在轉動。請問： （每小題5 分，共10 分） 牛頓黏性法則中，黏性與剪應力的關係為何？請寫出完整的公式。 假設外圈的轉速固定，其切線速度為0.1 m/s，內外圈的間隙為0.1 mm。 轉動外圈圓筒的剪應力為10 Pa，請問流體的黏性係數大小為何？

一根質量5 公斤，長度3 公尺的均勻桿AB，透過銷釘連接至滑塊A。滑 塊A 的質量為4 公斤，且可沿著光滑的水平導軌滑動。系統最初處於靜止 狀態時，桿位於如圖所示位置= 45位置。重力加速度g = 9.81 m/s2。求系 統釋放後的瞬間狀態：（每小題10 分，共20 分） 桿AB 的角加速度（含方向）。 滑塊A 的加速度（含方向）。

孔口板為一常見（Orifice）的裝置，主要用來測量管路中的流量。假設 有一個圓管，內裝了一個孔口板，水平擺置。圓管的直徑為0.05 m，孔 口的直徑為0.02 m。圓管內部是某種汽油在流動，其密度為830 kg/m3。 一般來說我們會在孔口板的上游與孔口出口兩處量測壓差。請問： （每小題5 分，共15 分） 我們可以用那個法則來說明壓差與流速的關係？請寫出完整的公式。 假設管內的流量為0.01 m3/s，請問通過孔口板的平均速度是多少？ 壓差為多少？

一個加壓鋼製儲罐使用螺旋焊接製造，該焊縫與縱向軸成α = 55（如圖所 示）。儲罐的半徑r = 0.5 m，壁厚t = 15 mm，內部壓力p = 2.6 MPa。 請計算：（每小題15 分，共30 分） 最大「面外」剪應力 max, out of plane ( )    。 在垂直於焊縫方向上的正應力( ) x 。

雷諾（Reynolds）為英國流體力學學者。他最有名的實驗為觀察圓管內 的流動物理狀態。他以染料來將流場可視化，將流動型態分為層流、過 渡、紊流三種。更重要的是他提出一個無因次參數來區分這三個狀態， 請問： 這個無因次參數的定義為何？請寫出公式。（2 分） 假設他所觀察的圓管直徑為0.01 ｍ，裡面流動的流體為水，其黏滯係數 為0.001 kg/m‧s，密度為1000 kg/m3，管內流動的平均速度大小為5 m/s。 請問這個無因次參數數值為多少？管流內是層流還是紊流？（3 分） 更進一步，由於管內流動變化造成流動能量的損失，一般而言，可用 摩擦因子f 來表示，而Moody 做了一系列實驗來量測f，請問他實際 上是量測那個物理量？如何進一步將這個物理量轉為f？（5 分）

如圖所示，兩個平行板之間的黏性、穩態不可壓縮流動是由底部板子的運 動和壓力梯度P x  共同造成。 若固定板上剪應力恰好為零，請推導U 和P x  之間的關係。（15 分） 如果 2

將長為1.3 m 重量為20 N 的均質細直桿AB 兩端分別接觸相距1.2 m 之 兩垂直牆面並保持靜置，如圖所示。假設A 端為光滑接觸而B 端為摩擦 接觸且有足夠的摩擦力來支撐直桿以維持平衡，試求解下列問題： A 端的反作用力。（7 分） B 端接觸處之最小摩擦係數。（8 分）

2 b P P U x                ，求最大速度發生的位置（位置請在化簡後 以b 表示）及最大流速（速度請在化簡後以U 表示）。（15 分） 提示：在x 方向的Navier-Stokes 方程式為 2 2 2 2 x u u u P u u u v g t x y x x y                                 Fixed plate b y x U

一質量為2 公斤之擺錘以繩索連接吊掛構成一平面運動之單擺如圖所示， 單擺於水平靜止狀態釋放，當擺錘到達底部時，繩索接觸並纏繞固定於B 處之光滑銷，且擺錘繼續沿著較小半徑的圓弧線運動，不計繩索質量，設 重力加速度g = 10 m/s2，試求解下列問題：（每小題10 分，共20 分） 當θ = 60°時，擺錘的速度值為多少m/s？（10 分） 當θ = 60°時，繩索張力為多少N？（10 分） A B 1.2 m

如圖所示，一直徑為16 mm 之實心鋼製圓桿彎折成直角彎桿ABC 置於 xz 平面上，其A 端固定，C 端面施加外力Fy = 80π N，材料的彈性模數 E = 200 GPa，剪彈性模數G = 80 GPa，不計桿重量，亦無應力集中，試求： 彎桿A 端之最大剪應力߬max 為多少MPa？（8 分） 彎桿A 端之最大拉應力max 為多少MPa？（10 分） 彎桿C 端向下位移量y 為多少mm？（忽略剪力變形）（12 分） 80N L=200 mm L=200 mm x y z

密度為 、比重為 3 9.81 kN/m  之流體以平均速度 0 U 流入一截面為圓 形的Y型短管，其幾何配置與尺寸標註於下方的側視圖（圖一），經過分 叉口後以相同的平均流速 1 U 與

今有一金屬球因重力作用在一黏性流體中以等速沉降。假設該球之沉降 速度V 較低，使得其運動方程式中之慣性力遠小於黏性力，故V 只受流 體之動力黏滯係數（dynamic viscosity），以及金屬球之直徑D 和單位 體積淨受力（b l）g 影響。前式中b 與l 分別為金屬球和流體之質量 密度，g 為重力加速度。 利用因次分析（dimensional analysis），試求沉降速度V 與前述各參數 [亦即D(b l)g]之關係式。（15 分） 設若一鐵球之比重（specific gravity）為7.9，直徑為0.3 cm，且在某 一比重為1.5 之流體中以某速度等速沉降。今若將鐵球換成比重2.7 之 鋁球，且欲使鋁球在相同流體中之沉降速度與原鐵球相同，試求鋁球 應有之直徑。（5 分）

U 離開上下兩分叉管；入口與兩出口截面 上的壓力各為 0p 、 1p 與 2p 。若過程中無外界作功、也無熱交換，在假設 摩擦損失與重力位能可忽略的狀況下，可利用伯努力（Bernoulli）定理 推論出 1 2 p p  。 試求 0 U 。（3 分） 若進一步化簡設 1 2 0 p p   ，計算需花多少力維持Y 型管的水平與垂 直位置？（計算時請四捨五入到小數第三位）（17 分） 二、今考慮另一個長型Y流道內之穩定流動，其幾何配置與尺寸之側視圖如 圖二所示，三段圓型管道雖內徑不同，但內壁之平均表面粗糙度均為

如圖1 所示，今有一圓形截面管，其長度L = 1.2 m，直徑d = 0.003 m， 內壁粗糙度（equivalent roughness）= 0.045 mm，同時水從一自由液面高 度H 恆定且直徑D = 0.172 m 之容器經此圓管排出。假設圓管入口區之次 要損失（minor loss）可以忽略，且管內截面平均流速V = 2 m/s，試求容 器內自由液面相對於圓管中心線之高度H。提示：水之運動黏滯係數 = 1.12 × 106 m2/s，同時管流摩擦因子（friction factor）f 可利用下式計算： 1.11 1 / 6.9 1.8log 3.7 Re d f                  ， 式中Re 為雷諾數（Reynolds number）。（15 分） 圖1

10 m    。密度為 、比重為 3 9.81kN/m  、黏滯係數為 3 10 Pa s     之流體以平均速度 0 1m/s U  由左方水平管流入，流體經過Y型分叉後由 上下兩等長分管排出至大氣壓力，兩出口截面上的壓力各為 1p 與 2p ，而 平均流速則各為 1 U 與 2 U ，兩者不一定相同。 （圖一） cm cm/s cm/s cm cm 流道上側裝設的三根靜壓管顯示內部液體高度由上游到下游遞減 ( ) A B C H H H   ，代表此穩態管內流存有壓力損失 loss P  ，而此物理量在 長直管中隨流況的變化，可由下方圖三Moody Diagram 統一描述。請回 答下述各問題。 試問第一段水平管內為層流或紊流？（3 分） 列出所有造成 C B H H  的原因。（3 分） 從Moody diamgram 可知Friction factor f 的定義，其中U 為特徵平均 流速。針對水平段兩靜壓管間的流體，以控制體積的分析概念來闡述 f 的物理意義。（9 分） （圖三） （圖二） cm cm cm 三、如圖四所示，如果A 處的靜摩擦係數為 0.4 s  ，B 處的套環是光滑的， 因此它只對管子施加水平力，試決定最小距離x ，使支架能夠支撐任何 質量的圓柱體而不打滑。忽略支架的重量。（20 分）

如圖2 所示，一根四分之一圓之懸臂梁外側面承受均勻壓力負載p，壓 力p 以單位弧長所受的力表示。試計算該懸臂梁固定支撐點（fixed support）A 承受的正向力 A N 、剪力 A V 及彎曲力矩 A M 。（15 分） 圖2

如圖五所示，使用三個相同的圓柱體作為滾輪將一重型板條箱移動一小 段距離。已知在所示的瞬間，板條箱的速度為200 mm/s ，加速度為 2 400 mm/s ，均指向右側，試求：（每小題10 分，共20 分） 中心圓柱體的角加速度。 中心圓柱體上A 點的角加速度。 （圖四） （圖五）

如圖3 所示，一丁字形角鐵由兩根相同質量m 及長度L 的均質圓棒銲接 而成，其平面與鉛垂面平行，端點A 銷支承（pin support）於天花板，端 點A 與質心G 連線的水平傾角為θ。丁字形角鐵於 o0  處靜止釋放， 重力加速度以符號g 表示。試問： 丁字形角鐵質心距AG 及對A 點的轉動慣量（moment of inertia of mass）。（10 分） 當 o 90  時，銷支承A 施予丁字形角鐵的水平力及鉛垂力各是多少？ （15 分） 圖3

如圖六所示，A 點的應變為

如圖4(a)所示，兩個尺寸、材質相同的均勻圓柱體堆疊於無摩擦地板。 兩者的截面積為A、彈性係數為E 及單位體積的重量為 g    ，此處， 為質量密度，g為重力加速度。若兩圓柱體未受應力作用前的原始長度 為L，參考圖4(b)所示，試問： 兩圓柱體在 1x 及 2x 截面的軸向壓力 1 1 ( ) F x 與 2 2 ( ) F x ？（10 分） 兩圓柱體受重力壓縮後的長度分別減少 1 與 2 ？（15 分） （提示：單軸應力、變形關係 x x du d x E    ， x 、 x與u 為單軸應力、應 變及位移。）

140(10 ) x   ε ， 6 180(10 ) y   ε ，以及 6 125(10 ) xy    。請利用繪製莫耳圓（Mohr’s circle）的方法，試求A點： 在- x y平面中的主應變。（10 分） 在- x y平面中的最大剪切應變。（10 分） 絕對最大剪切應變。（5 分） 註：採非指定方法求解者，不予計分。 （圖六）