自動控制考古題｜歷屆國考試題彙整

考慮一個二階機械系統的微分方程式如下：

2 d y dy 4 3y 2 dt dt    此系統為欠阻尼（underdamped）系統還是過阻尼（overdamped）系統？ 阻尼比為多少？（10 分） 若系統的初始條件為y(0) 0  ; y(0) 0   。求此微分方程式的響應解以及 最終穩態值為多少？（15 分） 二、畫出下列開迴路轉移函數系統之根軌跡，（20 分）其中K 值為正值，系 統隨著K 值的增益調整放大，請說明系統是否穩定？（5 分） 2 K s 6s 8  

以漸近線（asymptote）的方式繪出下列轉移函數的波德圖（Bode plot）。 （25 分） 1000 1 0.002s 1 0.02s 1 0.2s    ( )( )( )

下列一閉迴路系統之比例控制器增益值為 p K ，試求： 當希望輸入R 與輸出Y 之間的轉移函數其自然頻率表現為3 弳/秒（rad/s） 時，這時比例控制器 p K 增益值為多少？（10 分） 如果將受控系統之輸出設計一速度迴授 v K s 機制，如圖所示。請寫出 系統輸入輸出間之動態微分方程式（differential equation）。（10 分） 說明兩個不同系統方塊圖，在系統響應上其阻尼比的差異為何？（5 分） ＋ － R Y Kp ＋ － R Y KP Kvs ＋ －

如圖一之簡易的機械構造，圖中物體質量 1 kg M  ，彈簧係數 7 N/m k  ， 阻尼係數 8 N s / m b   ，假設對此物體施力 ( ) 7 N f t  。請利用拉氏轉換 （Laplace transform），若(0) 0 x   、(0) 0 x ，求解此物體之位移函數( ) x t 。 （25 分） 圖一

將原系統 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t Ax t Bu t y t Cx t Du t         利用相似轉換（Similarity Transformation） 成為新系統 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t Ax t Bu t y t Cx t Du t         ，其中原系統之參數為 8 4 12 20 A        ， 6 2 B        ，   2

C  ， 2 D 。假設原系統狀態與新系統狀態之轉換關係 為

2 ( ) ( ) 10 6 x t x t       ，請求出新系統之參數A、B 、C 、D。（25 分） k b M x(t) f(t) 三、請畫出與圖二信號流程圖（Signal Flow Graph, SFG）等效之系統方塊圖 （Block Diagram），並利用SFG 的增益公式（Mason’s Gain Formula）求 出E R 的轉移函數。（25 分） 1 R E 1 G 2 G 3 G 4 G 2 H  1 1 H  3 H  Y 圖二 四、如圖三之回授控制系統，假設 2 10 ( ) ( 2)( 5) G s s s s    ， ( ) 1 H s ，此系統之 輸入訊號為( ) 7 2 2 r t t t    ，請求出此系統響應之穩態誤差 ss e （Steady- State Error）。（25 分） 圖三 R(s) G(s) Y(s) H(s) G1 G2 G3 G4 H1 H2 H3 R E Y

圖一為一控制系統方塊圖，其中r(t)為輸入，y(t)為輸出。 （每小題10分，共30分） 圖一 假設K = 1且輸入為ㄧ單位步階（unit step）函數，求解輸出y(t)。 假設K = 1，求解此系統之增益邊界（gain margin），以分貝（dB）為 單位。 如欲使此系統之相位邊界（phase margin）為135°，比例控制器K值該如 何設計？

考慮一回授控制系統如下圖，若 1 ( 2)

( ) K s G s s    ： 試推導從( ) R s 到( ) Y s 的轉移函數 ( ) ( ) C s R s 。（10 分） 請判斷能使系統穩定時，K 的範圍。若欲使( ) R s 為步階輸入時，( ) C s 與 ( ) R s 之間的穩態誤差趨近於零，試說明系統穩定時此目標不可能達到。 （15 分） 二、考慮一單位負回授系統如下圖，若 ( 10) ( ) ( 1)( 2)( 4) K s G s s s s      ： 試說明此系統之型態（system type），並設計最小之整數K 值以使其步 階響應之穩態誤差能小於參考輸入的2.5%，並請判斷此設計是否能使 系統穩定。（15 分） 若此設計無法使系統穩定，試說明應採用P、PI 或PD 控制補償以達成 要求。（10 分） R(s) - + C(s) G1(s) G1(s) s+1 s2+5s+6 G(s) R(s) Y(s) - +

圖二為一典型的倒單擺系統，包含台車、支桿、與一個位於支桿頂端的重 物。F是施加於台車的力，倒單擺支桿與垂直地面的夾角為θ，而x表示台 車的位移。 圖二 經過簡化後，假設此倒單擺系統的動態方程式可表示成： 0.1ݔ̈ −0.01ߠ̈ = ܨ 0.2ߠ̈ −10ߠ= ݔ̈ 求解此系統之轉移函數（transfer function），ℒ{ߠ}/ℒ{ܨ}，其中ℒ代表拉 普拉斯轉換（Laplace transform）。（10分） 繪出此系統（輸入為F，輸出為）之波德圖（Bode plot）以表示其之頻 率響應。波德圖應包含以分貝（dB）為單位之增益（gain）圖與相位 （phase）圖兩個部分。（20分）

如圖所示，一齒輪-齒條機構被用於帶動一機械負荷，包含其慣性( ) M 、阻 尼( ) B 與彈簧( ) K 效應，齒條之質量已被包含於慣性質量M 之內，另齒輪 半徑r，並帶有轉動慣量( ) J 與轉軸阻尼( ) D 。T 為所施加之力矩，齒輪之 旋轉角度( ) 與物體位移( ) x 之坐標定義如圖。 推導出以T 為輸入、x 為輸出的轉移函數 ( ) ( ) X s T s 。（10 分） 當

考慮一單位負回授（unity negative feedback）閉迴路（closed-loop）控制系 統，其開迴路（open-loop）轉移函數為 2 ( 4)( 5)

K s s s    。 欲使此閉迴路控制系統穩定之K值範圍為何？（5分） 設定K為正數。繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus plot），並標 示出極點（pole）、零點（zero）、根軌跡與虛數軸交會之位置、根軌跡離 開實數軸的位置（breakaway point）與進入實數軸的位置（re-entry point）， 以及各所對應之K值。（20分） 如欲使此閉迴路控制系統對於步階輸入之2%安定時間（settling time）為 2秒，則K值該如何設計？且此設計下控制系統的阻尼比（damping ratio） 應為何？（10分） 如欲使此閉迴路控制系統對於步階輸入之穩態誤差（steady state error） 為-10%，則K值又該如何設計？（5分）

J  , 8 D , 2 r  , 1 M 時，設計B 與K 之值以使系統的主極點具 有阻尼比（damping ratio）為0.5 且自然頻率為3。若設法將齒輪改成極 輕因而J 可忽略不計，且系統其他參數均不變，請問此時系統的阻尼比 與自然頻率將分別如何變化（變大或變小）？（15 分） 四、一轉移函數 1000 ( ) ( ) ( )( 1000) Y K G s s U s a s     ： 若當輸入( ) 2cos(3 ) u t t  時，輸出( ) 6cos(3 ) 6 y t t    ，依此資訊估算K 與 a 之值。（10 分） 概略畫出系統 ( ) G s 之奈氏圖（Nyquist plot），估算系統之增益邊限 （gain margin）與相位邊限（phase margin），並標註於奈氏圖上。（15 分） M B K T,  J, D x radius = r

下圖為一彈簧連接雙質量系統，其中m1 與m2 以及x1 與x2 分別表示各個 質量和位移，k 為彈簧的彈簧常數（spring constant），f 則是所施加的力。 假設兩質量均置於無摩擦的平面上，則此系統可由如下的動態方程式所描 述。 1

對於一轉移函數，

( )

1 1 ( ) f k x x m x     1 2 2 2 ( ) k x x m x    今為控制質量m2 的位移x2，假設施力f 可設計為下列之比例微分 （proportional-derivative）控制器形式： 2 2 ( ) ( ) d d f a x x b x x       其中a 與b 即是微分增益（gain）與比例增益，而xd 則是位移輸入命令。 推導出輸出x2 對輸入xd 之轉移函數（transfer function）。（10 分） 給定 1 2 1 m m  ， 1 k ， 1 b 。假設a 為一正實數，繪製以微分增益a 為變數之根軌跡圖（root locus plot），並標示出極點（pole）、零點（zero）、 漸近線（asymptote）、漸近線與實數軸交會之位置、根軌跡進入實數軸 的位置（re-entry point）與所對應之a 值、離開角（departure angle）。 （20 分） m1 m2 k f x1 x2 二、下圖為一閉迴路控制系統之方塊圖，其中( ) R s 、( ) Y s 、( ) D s 分別表示輸入、 輸出、外來干擾（disturbance）。 繪出此系統之奈氏圖（Nyquist plot），並依據此圖求出此閉迴路控制系 統穩定之K 值範圍。（15 分） 已知此系統是穩定的，考慮 ( ) D s 為一步階函數（step function），當時間 趨近於無限大時，干擾 ( ) D s 對於輸出的影響為何？（5 分） 欲使此二階系統的阻尼比（damping ratio）為2 時，K 值該如何設計？ （10 分）

考慮下列之單一回授之控制系統方塊圖，其中 ( ) G s 之轉移函數為 10 ( 10) s s  。 給定控制器 ( ) 1 c G s 以及輸入命令為100sin(10 )t ，其中t 表示時間（單位 為sec）。當時間t 為24 小時，此控制系統在時域（time domain）的輸 出為何？（10 分） 給定控制器 ( ) 1 c G s ，此控制系統開迴路轉移函數之增益交越頻率（gain crossover frequency）與相位邊界（phase margin）各為何？（10 分） 給定控制器 ( ) c P D G s K K s   ，如欲使此控制系統針對頻率為10 rad/sec 之弦波輸入（sinusoidal input），其穩態（steady state）輸出之相位落後 （phase lag）為0，且穩態輸出輸入振幅（amplitude）比為1。則此控 制器該如何設計？（20 分） + R(s)  Y(s) D(s) + + 輸入命令 輸出 + 

( ) ( ) ( 1)( 3) C s G s R s s s     ： 當輸入( ) r t 為單位脈衝函數，試推導其輸出( ) c t 之時間函數，並說明該 輸出為何會振個不停。（10 分） 當輸入為( ) ( ) r t t t   ，試推導其輸出( ) c t 之時間函數，並說明該輸出 為何會不振。（15 分） 二、對於如一單位負回授系統，輸入為單位步階函數（unit step function）： 於p z  時，穩定條件為何？自然振頻（natural frequency） n 為多少赫 茲（Hz）？阻尼比（damping ratio）為何？其2%安定時間（settling time） 4.5 s n t   為多少秒？（10 分） 於 1 z 且 2 p  時，該系統之穩定條件為何？（10 分） 於 1 z 且 2 p  時，該控制器之名稱為何？其穩態誤差 ( ) ss e t 為何？ （5 分） 三、對於一個單位負回授系統（negativeunityfeedbacksystem），其開迴路轉移函 數（open-looptransferfunction）為 ( ) KG s ，且 2 2 ( ) 7 12 s s G s s s     ，對於其閉 迴路極點根軌跡（root-locus）之分離／重合點（breakaway/break-in points） 的求解方程式為 ( ) 0 d G s ds  ： 試證明該求解方程式為正確。（10 分） 試求該開迴路轉移函數之極零點。（5 分） 試繪製該閉迴路極點根軌跡圖。（5 分） 試求該閉迴路極點根軌跡圖之分離／重合點位置。（5 分） C(s) R(s) E(s)

s s  2 s s  s K  ( ) G s ( ) c G s

一個機械系統，經由拉式轉換（Laplace transform）後： （每小題5 分，共25 分） 對一質量M 施力 ( ) F s 時，試繪製該施力 ( ) F s 與質量速度( ) V s 間之方 塊圖。 一總合施力 ( ) R s 減去阻尼摩擦力 ( ) ( ) D s cV s  等於對質量的施力 ( ) F s ，ܿ為阻尼常數，試繪製該總合施力( ) R s 與質量速度( ) V s 間之方塊圖。 試繪製如前述質量速度( ) V s 與該質量的位移 ( ) X s 間之方塊圖。 試繪製以輸入電壓 ( ) U s 之k 倍比例得到總合施力( ) R s 輸出的方塊圖。 輸入位移命令( ) Y s 與該質量位移 ( ) X s 的差異得到前述電壓 ( ) U s ，試繪 製一完整由輸入位移命令( ) Y s 至該質量位移 ( ) X s 之系統方塊圖。

畫出下列開迴路轉移函數系統之根軌跡，其中K 值為正值。（20 分） GH(s) = ௄ ୱ(ୱାଵ)(ୱାଷ)(ୱାସ)

常用於分析懸吊系統之1/4 車模型如下圖所示，汽車輪胎簡化為無阻尼之 彈簧 t K ，圖中 b M 與 us M 分別為1/4 車體與輪胎質量， a K 與 t K 分別為車體 與輪胎之彈簧常數， vf 為車體之阻尼常數，r 為路面干擾輸入， sx 與 w x 為 車體與輪胎之垂直向位移。 列出此系統之垂直向雙變數單一輸入兩階聯立動態方程式。（10 分） 試依據圖中模型參數推導車體垂直向位移相對於路面干擾之轉移函數    s X s G s R s  。（15 分）

如下圖馬達控制系統，受控馬達之轉移函數 10 ( ) 0.1 1 G s s  ，其輸入為 電樞電壓，輸出為轉速。馬達角度由一可變電位計量測，其轉移函數 為Kt =2 V/rad。 僅使用比例控制，設計KP 以使系統之阻尼比為0.5，此時系統之自然 頻率為何？此系統進行定位控制與定速控制時，分別能否達到穩態誤 差為零的要求？請說明其原因。（15 分） 若使用者要求系統自然頻率至少須為20 rad/sec 且阻尼比維持0.5，試 提出新的控制器設計以達其要求。（10 分）

由下列之控制系統方塊圖，計算增益值K 與微分回饋增益P 值，使得此 閉迴路系統之單位步階響應的最大超越量為16.3%，對應之峰值時間 （peak time）為1 秒。（15 分） 依據題求出之K 與P 值，計算此閉迴路系統之2%安定時間（settling time）與閉迴路特徵根值。（10 分） t K a K

考慮下圖之控制系統，a 與K 為待設計之控制參數，試化簡方塊圖以求 得轉移函數 ( ) ( ) Y s R s ，並判斷能使系統穩定之a 與K 之條件。此系統之直流 增益對K 的靈敏度為何？對a 的靈敏度在何條件下為最高？（25 分） 馬達 G(s) 控制器 KP 可變電位計 Kt=2  r -  + 2 - + - R(s) Y(s) 1 s+a K s2 + -

如下圖左方之控制系統架構， 2 1 ( ) 6 20 G s s s    ，與 19 ( ) 1 H s s   。 為判斷系統型態，請計算系統於單位負回授下之等效轉移函數Ge(s)， 如下圖右方，並據以判定系統型態為何。（15 分） 請使用漸近線（asymptote）技術繪出Ge(s)之近似波德圖之大小增益部 分（無須繪製相位圖）。（10 分）

一個無複數極點之極小相系統的頻率響應漸進線如下圖所示，試求出此 系統之開迴路轉移函數  G s ，須算出K ， 1 與 2 值。（15 分） 依據題開迴路轉移函數，以K 值可變，繪出此系統之根軌跡圖。（10 分）

單位負回授之架構下，一系統之轉移函數為 2 32 ( ) ( 4 28) G s s s s    ，若欲 設計一PD 控制器 ( ) (1 ) C s Ks   以進行補償，請畫出閉路系統之根針對 K 值變化而產生之根軌跡，並說明為何無論K 之值為何，此系統皆無法 穩定。（25 分） Ge(s) R(s) Y(s) - G(s) R(s) Y(s) - H(s) + +

已知一控制系統之串聯分解模型與狀態變數X 定義如下圖 試列出狀態空間之動態方程式 ( ) ( ) ( ) X t Ax t Bu t   , ( ) c Dx t  。（10 分） 利用狀態回授方法設計上圖之控制器，計算出K , 1g , 2 g 與 3 g 之數值， 以滿足下列性能條件：⑴此系統三個閉迴路特徵根分別為：5 , 1 3 j  ，⑵對於步階輸入之穩態誤差為零。（15 分） g1 . g2 g3 u 3 x 2 x  1 x c

如下圖之桿長為l 的細長倒單擺，滑車質量為M，於很小且

以馬達驅動一個半徑為R的滑輪，馬達轉子與滑輪的合併慣量為J，電梯軸 承的線性阻尼係數為B，電梯此時的質量為M。 請推導電梯從馬達出力 τ 到電梯位置y之間的動態方程式。（10分） 請推導電梯從馬達扭力Τ(s)到電梯位置Y(s)之間的轉移函數（transfer function）。（10分）

0 ，忽略 該桿之向心加速度時。（每小題5 分，共25 分） sin與cos分別可近似得到之線性函數為何？ 試推導F－N 與x 間之轉移函數。 試推導N 與間之轉移函數。 由單擺的無摩擦力轉動點推導x 與的力平衡方程式。 試繪出F(s)為輸入，( )s  為輸出之系統方塊圖。 二、對於一個系統輸入一單位步階函數（unit step input），得到一輸出如下圖， 其中橫軸為時間，單位為秒，縱軸無單位。 試求該輸出之時間函數f (t)。（10 分） 試求對時間函數f (t)，做得之Laplace 轉換F(s)。（10 分） 試說明系統之轉移函數G(s)為何？（5 分） ܨ, ݔ 阻力 ܾݔ̇ ݉݃ ܰ ܲ ܰ ܲ ߶ (s+20)(s－10) (s+1)(s2+25) R(s) C(s) Gc(s)

請推導下面方塊圖從R(s)到Y(s)的轉移函數。（20分）

對於如下圖之控制系統 試繪製Gc(s)=K，K > 0之根軌跡圖，並計算離開角（departure angle）。 （10 分） 試推導之穩定條件。（5 分） 試繪製Gc(s)=K(s+1)，K > 0之根軌跡圖。（5 分） 試推導之重合點（break-in）。（5 分）

一系統的轉移函數為   1 ( ) 0.5 1 G s s s   ，請設計一個比例控制器 ( ) c p G s K  來調整系統的閉迴路響應，使得閉迴路系統的阻尼函數為0.5。（20分） ݕ, ݒ௬ ܴ ߬ ܯ ܤ J

對於如下圖之前饋（Feedforward）系統，其中G3(s)=1，且z, p 皆為正實 數，z > p。 試推導頻率響應G(jω)=C(jω)/R(jω)函數。（10 分） 試繪製波德圖（Bode plot）。（10 分） 該系統應屬何種濾波器？（5 分） s s+z R(s) C(s) p s+p G3(s)

不穩定系統的轉移函數為    1 ( ) 1 2 G s s s    ，若吾人以一個PD控制器   ( ) 1 c p G s K s   來控制此系統。 請計算本系統穩定之Kp範圍。（10分） 當系統在穩定邊界狀態時，系統的振動頻率為何？（10分）

若一個開迴路（open loop）系統之轉移函數為 0.2 ( ) (2 1)(3 1) GH s s s s    ，以 奈奎斯圖（Nyquist diagram）表現系統的頻率響應圖與判定其穩定度。試 繪出此奈奎斯圖。（10 分）求交越在奈奎斯圖180  所對應的頻率與大小 （magnitude）為多少？（10 分）

考慮系統特徵方程式為 4 3 2 16 1 1 0 4 4 s K s s s      ，請以羅氏分析決定可使系 統穩定的K值範圍。（20分）

以漸近線（asymptote）方式繪出下列轉移函數的波德圖（Bode plot）。 （10 分） 2 128 (s s 64)  ＋ － Y K 2 R － ＋

若一單位斜坡函數（unit ramp function）輸入於下列兩個轉移函數（transfer function）的系統分別為 9

下圖為一系統方塊圖，其中V 為輸入，D 為外來干擾（disturbance），

9 ) T1( 2 + + = s s s s ， 9 9 ) T2( 2 + = s s s 分別求出兩系統在時間領域（time domain）的響應（輸出解）並繪製其 輸出的響應圖。（20 分） 上述的兩個系統輸出響應之穩態解分別為多少？（5 分） 二、畫出下列開迴路轉移函數系統之根軌跡圖（root locus plot），包含極零 點、漸進線、離開極點的角度（departure angle）、根軌跡與虛軸之交 點及漸進線交會於實數軸之位置。（15 分）  K 值為正值，說明系統輸出要求穩定時K 值的範圍為何？並求此回授系 統產生臨界穩定時之振盪頻率為多少？（10 分） R 5) 4 )( 10 ( K 2 + + + s s s + － C

X 為輸出， 1 K 、 2 K 與

以漸近線（asymptote）的方式繪出下列轉移函數的波德圖（Bode plot）。 （25 分） ) 16 2 ( 16 ) ( 2 + + = s s s s GH

K 為增益（gain）。 假設D 為0，解出 V X / 2 之轉移函數（transfer function）。（10 分） 假設V 為0，解出 D X / 2 之轉移函數。（5 分） 給定 = ) (t v ࣦ-1{ }) (s V 為一常數 0 V ， ) ( 1 ) ( 1 1 B s J s s G + = ，以及 2 2 2 1 ) ( s J s G = ， 其中ࣦ-1 表示反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）。欲使 0 ) ( 2 = s X ，則 = ) (t d ࣦ-1{ }) (s D 與 = ) ( 1 t x ࣦ-1{ }) ( 1 s X 應各為何？（10 分） 二、考慮一單位負回授控制系統，其開迴路轉移函數為 a s b − 。已知此系統之 相位邊界（phase margin）為60°。 求解此系統之增益邊界（gain margin），以分貝（dB）為單位。（15 分） 如果已知轉移函數中參數a 為3，則參數b 以及此控制系統之增益交 越頻率（gain crossover frequency）各為何？（10 分） 三、已知一系統之轉移函數為 ) ( ) ( ) ( a s s b s R s Y + = ，其中 ) (s R 與 ) (s Y 分別表示輸入 與輸出。 當輸入為 t 10 sin 時，系統之穩態（steady state）輸出為 ) 135 10 cos( 2 ° + t 。 求解系統轉移函數之參數a 與b 之值。（10 分） 當輸入為 t 20 cos 時，求解當時間趨近於無限大時，此系統之穩態輸出 響應。（9 分） 求解此系統之單位步階（unit step）響應。（6 分） V X2 K1 K3 G1(s) G2(s) X1 sK2 D

假設有一個物理系統其輸入與輸出之關係近似為下列一階系統的轉移 函數： a K ) ( + = s s G 請說明如何在時域上，利用實驗的方式進行此系統之鑑別（system identification）並可以分別求出K 與a。（10 分）

考慮一單位負回授（unity negative feedback）閉迴路（closed-loop）控制 系統，其開迴路（open-loop）轉移函數為 ) 4 )( 2 2 ( 2 + + + s s s K 。 欲使此閉迴路控制系統穩定之K 值範圍為何？（10 分） 設定K 為正數。繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus plot）， 並標示出極點（pole）、零點（zero）、漸近線（asymptote）、漸近線與 實數軸交會之位置、根軌跡與虛數軸交會之位置、離開角（departure angle），以及各所對應之K 值。（15 分）

下面兩張圖依序為一個控制工程師，一開始先使用正比控制器 （proportional controller），進行一個有3 個極點在實數軸的受控體之控 制，調整正比控制器增益值（gain）到達A 點的系統動態響應設計。因為 此時發現其最終穩態誤差還有改善空間，因此加入一個積分器（integral controller），如此做法，無法回到之前達到A 點的動態響應。以根軌跡設 計之方式，請說明如何再繼續設計一個補償器（compensator），達到暨可 以有A 點位置的動態響應又可以改善最終穩態誤差？（15 分） jω A s-plane θ1 θ1 θ2 θ3 σ jω s-plane A θ3 θc θ2 σ

有一馬達其扭力與轉速特性曲線如下圖所示，經由齒輪比1：3（N1=50：N2=150） 帶動圖中負載，在馬達本身電感效應不計情況下，請推導下列項目： 如橫跨馬達兩端之電壓為 ) (t K V m b b ω = ，馬達之輸出扭力為 ，試推導出此 動力系統之轉換函數 a ti K T = ) ( ) ( ) ( s E s s G a L θ = 。（10 分） 利用項之開迴路轉換函數 ) (s G ，畫出具有串聯PD 控制器之單位負迴授（unit negative feedback）閉迴路控制系統之方塊流程圖。（5 分） 如果所指定之閉迴路控制系統的設計要求為：系統阻尼比（damping ratio）為0.5，而 且2%誤差之穩定時間（Ts）為2 秒，請算出PD 控制器之KP與KD增益值。（10 分） Ra J1=2 kg-m2 N1=50 D1=2 N-m-s/rad J2=18 kg-m2 ) (t L θ 50 V 150 100 T (N-m) ea(t) N2=150 D2=36 N-m-s/rad ) rad/s ( ω

如下圖左之線性系統中，其中u(t)為輸入，c(t)為輸出，g(t)為系統轉移函數，如果系 統初始為靜止，而輸入u(t)=1時之系統輸出c(t)=1– e -3t，t ≥ 0，試問： 當u(t)為任意時間函數時，其輸出為何？（8 分） 如圖右實施Laplace 轉換求解C(s)時，其中G(s)為何？ uሺt)的限制條件為何？（7 分） 該系統微分方程式為何？（5 分） 依據的解，如果用數值模擬，讓t = kT，3T≪1，寫成c(k) = βc(k–1) +3Tu(k)，β 為何？（5 分）

由下圖之單位負迴授（unit negative feedback）系統與轉換函數，試問下列項目： ) 10 )(

如下圖之單位負迴授系統（unity negative feedback control system）， 其中G(s) = s3/(s+p)3，p > 0，試問： 利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定時，所需比例增益 K 之範圍為何？（8 分） 試繪製該系統對應不同比例增益K 之根軌跡圖（root locus plot），標明所需標記之 特徵的對應值。（10 分） 當R(s) = 0 而C(s)仍有非零穩定輸出時之K 與s = jω 中之ω 為何？（7 分）

( ) 17 ( ) ( + + + = s s s s K s G ) (s C ) (s R + − ) (s G 利用羅斯-赫維茲穩定性（Routh-Hurwitz stability）準則，計算出可使此閉迴路系統 穩定之增益K 值之範圍，並運用根軌跡漸進線之原理，求K 值趨近於無窮大時之 閉迴路系統的三個根值。（15 分） 先計算出分離點、漸進線角度、軌跡與實數軸交叉點，以及與ω j 虛軸上之交點後， 再畫出此系統之根軌跡（root locus）圖。（10 分） 107年公務人員特種考試關務人員、 身心障礙人員考試及107年國軍上校 以上軍官轉任公務人員考試試題 全一張 （背面） 考試別： 關務人員考試 等 別： 三等考試 類 科： 機械工程 科 目： 自動控制 三、下圖為具比例控制之馬達單位負迴授（unit negative feedback）系統的方塊流程圖， 馬達之開迴路轉換函數為 ) ( ) ( ) ( α + = s s K s E s a m θ ，當馬達以10 V 電壓輸入時，可在0.5 秒 時達到其穩態轉速值之63%，而穩態轉速值為100 rad/s。如比例控制之設計目的， 為達成此位置控制系統之速度常數（velocity constant）Kv=30，試求出K、α及 比例控制之增益K1 三個參數之數值。（25 分） ) ( α + s s K m θ ) (s C α E ) (s R + − Ea

如下圖之單位負迴授系統，其採用PD 控制器，其中JkP 2 = 104KkD 2，當輸入R(s)=1/s 時之位置穩態誤差（steady state error）ess = 0.01，試問： 由位置穩態誤差求取K 與kP 間之關聯方程式。（5 分） 繪製開迴路轉移函數G(s) = (kP+kDs)/(Js2+K)之波德圖（Bode Diagram），標明所需 標記之特徵的對應值，並註記ω = 0 時之dB 值。（10 分） 當閉迴路系統阻尼係數ξ（damping ratio）= 0.7 時，求取kD 與J、K 之關係。（5 分） 當增益交越頻率ωg（gain crossover frequency）= 32 Hz 時，求取J、K、kP、kD 間 之關聯方程式。（5 分） 1 Js2+K E(s) R(s) C(s) kP+kDs KG(s) E(s) R(s) C(s) g(t) u(t) c(t) G(s) U(s) C(s) 107年公務人員高等考試三級考試試題 全一張 （背面） 類 科： 機械工程 科 目： 自動控制

某一兩階線性系統之動態特性可由下列狀態方程式描述之 u x x x x x + = − = 1 2 2 1 1

如圖之一質量塊滑動於無摩擦平面，質量塊由一直流馬達（DC motor）轉動時規皮 帶（timing belt）帶動，該馬達半徑為r，轉速以ω 表示，欲以負迴授控制位置x 時， 將比較命令xcmd 與該位置x 之差異，輸入至PI 控制器以產生馬達電壓，達成質量塊 位置控制時，試問： 感測器若為光學尺（Linear scale）應安裝何處？如何安裝？（5 分） 質量塊方塊圖（Block Diagram）輸入是推動質量塊之力F(s)，輸出是速度V(s)及 位置X(s)，其方塊圖模型為何？（5 分） 馬達輸入是電樞電壓Ua(s)，輸出是推動質量塊之力F(s)，其方塊圖模型為何？Ra 是電樞電路的電阻（Ohm），La 是電樞電路的電感（Henry），Cm 是電動機轉矩係 數（Newton·meter/Ampere），Ea 是電樞反電勢，Ce 是反電勢係數（Volt/rad/sec）。 （7 分） 閉迴路系統轉移函數X(s)/Xcmd (s)展開成代數分式（rational polynomial）為何？（8 分） ݉ 馬達 r x, v

( 4000 + − + + s s s s R(s)

2   狀態迴授控制器設定為u = -k1x1－k2x2，其中k1 與k2 為兩個正實數常數。 若此閉迴路系統具有2%誤差之穩定時間(Ts)為2 秒，且無阻尼自然頻率 4 = n ω rad/s 時，試求出k1 與k2 之值。（15 分） 若此閉迴路系統之設計要求更改為具有阻尼比（damping ratio） 2 / 2 = ς ，且峰值 時間為 2 / π = p T 秒，試求出此時之k1 與k2 值。（10 分）

如圖的模式裡，電動馬達（motor）的轉動角1 θ 經過撓性轉軸而造成負載的轉動角

有一車輛藉由彈性連結以拉動拖車，如下圖所示。M1 與M2 分別為車頭與拖車之質 量，Bh 與Bt 分別為彈性連結之黏滯阻尼係數以及拖車與地面之黏滯摩擦係數，Kh 為 彈性連結之彈簧係數，y1(t)與y2(t)分別為車頭與拖車之位移量，f (t)為車頭之引擎推拉 控制力。 依據動力學列出此系統之動態微分方程式，並導出推拉力F(s)與拖車位移輸出Y2(s) 間之轉移函數 ) ( ) ( ) (

考慮下列的動態微分方程式ububububyayayay 321032 1+++=+++••••••••••••若定義新的狀態變數如下：uyx01β−=uxuuyx 11102 βββ−=−−=•••uxuuuyx 222103 ββββ−=−−−=••••••00b=β 0111 ββab −= 021122 βββaab−−= 031221 33ββββaaab−−−=請將下式：uuuyyyy 2243 ++=+++•••••••••表示成下列現代控制形式（modern control form）之 311333 ,,×××CBAuBXAX 1333 ××+=•uXCy031β+=×其中T321]xxx[=X。（25 分）

θ 。 馬達轉子的轉動慣量（rotary inertia）是 1J 而負載的轉動慣量是 2 J 。馬達和負載之間 撓性轉軸的彈簧常數是k 而黏滯阻尼（viscous damping）係數是b，馬達電路的電阻 是R 而電感是L。此外，馬達輸出力矩T，馬達的扭力常數（torque constant）是 t K 。 馬達的電機常數（electrical constant）是 e K 。推導如圖這個模式的統御方程式（governing equations）。（25 分） 二、已知控制系統的開路（open loop）傳遞函數（transfer function）是 2 )1 ( ) ( H ) ( G s s k s s + = 試繪出其根軌跡（root locus）。（25 分）

s F s Y s G = 。（15 分） 若此系統中之參數值大小為：Kh＝2，Bh＝4，Bt＝4，M1＝1，M2＝2，試依據 x1(t)＝y1(t)－y2(t)，x2(t)＝dy1(t)/dt 及x3(t)＝dy2(t)/dt 之狀態變數定義，寫出此系統 之三階狀態方程式。（10 分） y2(t) y1(t) f(t) Kh TRAILER M2 M1 Bh Bt Bt 二、某單一負迴授（unit negative feedback）系統的開迴路轉換函數為 ) 5 )(

考慮下列一閉迴路控制系統，假設k 大於零。要求系統穩定時控制器k 的條件為何？（10 分）畫出此系統根軌跡（root locus）並標註與虛數軸交點的k 值為何？（15 分）－YR)1(k+s)246(2-s2++ ss＋)1(k+s)246(22++−sss106年公務人員高等考試三級考試試題代號： 25450 全一張（背面）類科：機械工程科目：自動控制三、以漸近線（asymptote）方式繪出下列轉移函數（transfer function）的波德圖（bodeplot）。（20 分）)164(162++ sss四、若一單位步階函數（unit step function），輸入於一個系統的轉移函數（transfer function）為 144620 )(T2++=sss，輸出為)(ty。求此系統在時間領域（time domain）的響應（輸出解）。（10 分）上述的系統輸出)(ty響應之穩態解為何？如果輸入系統訊號改為一脈衝函數（impulse function），則系統輸出響應之穩態解為何？（10 分） 五、在一個閉迴路控制系統（closed loop control system）中，如果控制器原本只有一個正比控制器（proportional controller）的設計，後來多加入一個積分控制器（integralcontroller）在設計中，請說明其目的為何？有何缺點？（10 分）

不僅PID 控制器（PID controller），PD 控制器（PD controller）也是工業常使用的控 制器。今對於利用PD 控制器的一個自動控制系統，試繪出此系統的控制方塊圖 （control block diagram），並且必須在方塊內標示PD 增益（gain）。（25 分）

( ) ( + + = s s s k s G 。 試以k＝1 之數值繪出此系統之奈氏圖（Nyquist diagram）。（15 分） 由奈氏圖之奈氏穩定準則（Nyquist stability criterion）計算出可維持此系統穩定之 k 值範圍，以及k 為臨界穩定值時，此系統之臨界穩定振盪頻率。（10 分） 三、某一系統之開迴路轉移函數為 ) 5 ( 10 ) ( + = s s s G ，試設計一個串聯之比例微分（PD）控制 器C(s)，如下圖所示，以達成速度誤差常數（velocity error constant）KV＝20，且系統 阻尼比（damping ratio）為0.5 之閉迴路系統動態響應特性，求Kp及Kd之值。（25 分） R(s) C(s) G(s) Y(s) ＋ － 106年公務人員特種考試警察人員、一般警察 人員考試及106年特種考試交通事業鐵路 人員、退除役軍人轉任公務人員考試試題 全一張 （背面） 考試別： 鐵路人員考試 等 別： 高員三級考試 類科別： 機械工程 科 目： 自動控制

對於頻率響應函數（frequency response function） ] ) 4 / ( 4 / 1[ ) ( ) 1( 10 ) ( GH 2 2 ω ω ω ω ω − + + = j j j j 試繪出其漸近的（asymptotic）波德圖（Bode plot）。（25 分） L R θ1 θ2 J1 J2 k, b v + -

某系統之頻率響應圖，亦稱波德圖（Bode plot），如下圖所示： 試由此近似波德圖之轉折點，找出系統之極點與零點，配合相關說明以寫出其開 迴路轉移函數 ) ( ) ( ) ( s A s kB s G = 。（15 分） 如設計需求為 之相位邊界（phase margin），須如何調整增益值k？並由此波德 圖求出系統可維持穩定之k 值範圍。（10 分） D 45

試以圖一之模型推導其運動微分方程式，並求出轉移函數X1/F(s)。（25 分）其中 M1=M2=1 kg，K1=K2=1 N/m，fv2=2 N-s/m，fv1= fv3=1 N-s/m 圖一

已知 2)3 ( 9 ) ( + = s s s Y ，請回答下列問題： 求Y(s)的反拉氏轉換（inverse Laplace transform）。（5 分） 子題的步階響應（step response）屬''過-''，''欠-''，''無-''或''臨界''阻尼（over-, under-, un- or critically damped），請說明原因。（5 分） Y(s)是某系統G(s)的步階響應，請問該某系統G(s)的脈衝響應為何？脈衝響應的物 理意義為何？（10 分）

某機電系統如下圖所示，其中質量塊 kg 0.1 = M ，輸出軸之阻尼係數D = 4 N-m-s/rad， 齒輪齒數N1 = 10、N2 = 20，其他參數如圖中所示。 試推導出開迴路轉移函數 ) ( ) ( ) ( s E s X s G a = 。（15 分） 利用之轉移函數設計一個串聯（cascade）之PD 控制器，使此閉迴路伺服系統 之線性運動x(t)的暫態響應有16.3% 之最大超越量（overshoot），及穩態收斂時間 為Ts = 2 秒之性能時，試求Kp 及Kd 之值。（10 分）

圖二為一閉迴路系統，其比例控制器為Kp，求在系統穩定時控制器的增益範圍？ （20 分） )

已知某系統轉移函數 100 15 100 ) ( 2 1 + + = s s s G ，請回答下列問題：（每小題5分，共20分） 寫出另一系統G2 的轉移函數具有相同的DC 增益，阻尼比ζ= 0.5 及自然頻率 ωn = 10。 請在2D 根平面上顯示此兩系統。（需有輔助線協助精確表達才給分） 那一系統較快達到穩態（steady-state, Ts）？ 那一系統較快達到高峰（peak, Tp）？

下圖之單位負回授（unit negative feedback）系統中， ) 9 )( 6 ( ) ( + + = s s s K s G 。 先計算出分離點、漸進線角度及其與實數軸之交叉點，再畫出此系統之根軌跡 （Root Locus）圖。（10 分） 以羅斯-赫維茲穩定性（Routh-Hurwitz stability）準則，計算可使此閉迴路系統穩定 之增益K 值的範圍，根軌跡在臨界穩定時與jω 虛軸之交點，以及K = 40 時之系統 阻尼比與無阻尼自然頻率。（15 分） + － Input Motor N1 = 10 N2 = 20 D Radius = 2 m J = 1 kg-m2 M Ideal gear 1:1 x(t) fv = 1 N-s/m Ja = 1 kg-m2 For the motor: Da = 1 N-m-s/rad Ra = 1 Ω Kb = 1 V-s/rad ea(t) Kt = 1 N-m/A R(s) + － G(s) C(s) 105年公務人員高等考試三級考試試題 全一張 （背面） 類 科：機械工程 科 目：自動控制

3 s )( 3 3 s )( 1 s( ) 2 1 s )( 2 1 s( G(s) i i i i − + + + − − − + − = 圖二 ＋ － R Y Kp G(s) K1 K2 M1 M2 fv1 fv2 fv3 f(t) x1(t) x2(t) 105年公務人員特種考試關務人員考試、 105年公務人員特種考試身心障礙人員考試及 105年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 全一張 （背面） 考試別： 關務人員考試 等 別： 三等考試 類 科： 機械工程 科 目： 自動控制 三、如圖二所示的閉迴路系統，若 ) 2 s )( 1 s(

請回答下列問題：（每小題5 分，共20 分） 已知方塊圖如下圖所示， 又已知其對應的訊號流（SFG）各節點（nodes）如下，試畫出完整訊號流。 用梅森法（Mason's Rule）找出向前增益（Forward path gain）。 求各別的迴圈增益（individual loop gain）。 求由R→Y 的轉移函數。 105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員 考試及105年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 全一張 （背面） 考試別： 鐵路人員考試 等 別： 高員三級考試 類科別： 機械工程 科 目： 自動控制

某系統之大小頻率響應圖，亦稱波德圖（Bode plot），如下圖所示。 試依據此頻域之大小近似圖的所有轉折點，說明該系統有極點與零點位置所在， 並寫出其開迴路轉移函數 ) ( ) ( ) ( s A s KB s G = 。（15 分） 若此時與相位圖為－180°處頻率之對應增益邊際（gain margin）為5 dB，請說明如 何調整設計系統之增益值K，以達成該頻率處有增益邊際25 dB 之穩定度要求。 （10 分）

s G(s) + − + = 當要求設計此系統的步階（step）位移誤差需要小於或是等於5%時，求比例控制器Kp 的範圍為何？（10 分）請畫出受控（controlled）系統的根軌跡（root loci）圖。（20 分） 四、以漸近線（asymptote）的方式繪出下列轉移函數的波德圖（Bode plot）。（25 分） ) 100 s 4 s(s ) 2 s( 50 G(s) 2 + + + =

已知一單位負回授系統（unit negative feedback system） ) 4 ( ) ( + = s s K s KG ，K > 0。 請回答下列問題：（每小題5 分，共25 分） 試繪根軌跡圖K > 0（不需顯示計算）。 子題的根軌跡是否能經過－3 ± j3？請說明原因。 請使用PD 控制器K(s + z)，試求該閉路系統的特徵方程式（characteristic equation）。 求子題的K 及z 使得閉路系統經過新的主根3 ± j3。 如果K 改為 s z s K ) ( + ，求該閉路系統特徵方程式。

某系統之轉移函數為 ) 8 )( 2 ( ) 4 (

對於x結構的無線RC遙控四軸機（quadcopter）如下圖所示，其中m2、m4順時針旋轉， m1、m3 逆時針旋轉。假設理想馬達的拉力與轉速成正比。請依力學原理探究，上 下、左右、前後的各種飛行方向如何達成？然後回答下列問題： 以快（fast）、慢（slow）、相同（same）等關鍵字表示馬達間的相對轉速，填入 下表，說明飛行控制（請依所列格式繪製於試卷上作答）。（8 分） m1 m2 m3 m4 滯空（Hovering） 前進（Move forward） 右行（Move right） 左旋（Spin left） 前述為手動控制，若操作不當，新手可能會墜機；想藉由PID 協助，請問至少需 幾個PID 控制來協助？ PID 控制需誤差資訊，如何獲得（實務上解釋即可，不 需專業術語）？（7 分）

) ( + + + = s s s s s G 。 試利用相變數（phase-variable）型式寫出其閉迴路控制系統之狀態方程式。（10 分） CX Y BU AX X = + = & 設計相變數狀態回饋控制器，使其滿足閉迴路伺服系統之暫態響應有16.3% 之超 越量（overshoot），及穩態收斂時間為Ts = 1 秒之性能時，試求其狀態回饋增益值 K1、K2 及K3 之值以及閉迴路轉移函數。（15 分） [Hint：如所指定之特徵根實數靠近現有之零點位置，可採用Pole-zero 消去法設計第 三個閉迴路極點。] dB 20 －20 dB/dec －40 dB/dec －60 dB/dec －40 dB/dec rad/sec 0.1 1 2 5 10

N N n = ) ( 1 b J s s + f m R K 一、如圖所示為一機電開回路控制系統。發電機，於等速度下驅動，供應場電壓給馬達。 馬達之慣性矩Jm及軸承摩擦係數bm。假設馬達產生之扭矩Tm(s)，為Tm(t)的拉氏轉換， 比例於電流Ig(s)，為ig(t)的拉氏轉換，其比例常數為Km，試求：(a)轉移函數θL(s)/vf (s)？ (b)畫出系統方塊圖？（假設發電電壓vg(t)比例於場電流if (t)）（20 分）

若一個標準二階機械系統的微分方程式如下： 150 y 25 dt dy 10 dt y d

已知下列單位回饋系統 繪製開路系統（open loop）根軌跡圖 )

有一機械手夾具如圖所示圖(a)部分，可使用直流馬達控制接近於角度θ 如同圖(b)部 分。控制系統之模式如圖(c)所示，其中Km=30，Rt=1 Ω，Kf=Ki=1。J=0.1，b=1。 試求：(a)決定反應θ(t)對於θd (t)？當K=20；(b)假設θd (t)=0，求負荷干擾效應？ Td (s)=A/s；(c)決定穩態誤差ess？當輸入為θd (t)=t，t > 0（假設Td = 0 ）。（30 分） + － Rf Lf if (t) + － vg(t) ig(t) Lg Rg Rf Lf Ia 馬達 N1 N2 θL 齒輪比 負載 JL ,bL 發電機 圖(a) θ θd 控制鈕 Vo 位移計 差動的放大器 動力放大器 直流馬達 θ J Vo θd (s) + － Ki K 動力放大器 Kf + － Td (s) θ(s) 圖(b) 圖(c) vf (t) 位移計 回授信號 104年公務人員特種考試關務人員考試、 104年公務人員特種考試身心障礙人員考試及 104年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 全一張 （背面） 考 試 別： 關務人員考試 d φ 1 ) (

2 = + + 求：無阻尼之角頻率。（3 分） 阻尼比。（2 分） 當系統的初始條件為 0 ) 0 ( = y ； 2 ) 0 ( − = y& ，求微分方程式之響應解？（15 分） 二、畫出下列開迴路轉移函數系統之根軌跡。（20 分） 其中K 值為正值，說明系統的穩定度。（5 分） 5 s 4 s 1) K(s 2 + + +

( + s s K ， 0 > K 。（5 分） 假設閉路系統的主根在

2 + + s s τ α α 1 2 1 α − s φ s 1 s 1 1 1 2 + + s s τ )1 ( + s Ka )1 ( 1 + s )1 ( 25 .0 + s s 1 s 1 三、試決定K 值的範圍，使系統於穩定操作循環？當α1=g/h=9，α2=V2/hc=2.7，及 α3=V/hc=1.35。假設機車於定速下V=2 m/s。控制器的時間常數τ = 0.2 s，且K > 0。 （20 分）

下列一閉迴路系統之比例控制器為Kp，試求： 當自然頻率為2 弳/秒（rad/s）時的比例控制器Kp 為多少？（5 分） 在此頻率下的阻尼比為何？（3 分） 如果將受控系統之輸出加上一速度迴授Kvs，則在相同角頻率的情形下，速度增益 應該為多少才能使阻尼比加倍？（10 分） 寫出系統在有輸入R 與擾動D 情況下，所對應Y 的輸入與輸出之微分方程式 （differential equation）。（12 分）

2 2 j ± − ，求不足的角度（angle deficiency）是多少？ （5 分） 設計PD 控制器 z s s Gc + = ) ( 。求K 及z。（10 分） 畫補償後系統（compensated system）的零點，極點，主根等示意圖在 ) , ( D 2 ω σ 平面上，並連線之。（5 分） 二、已知下列單位回饋系統 其中受控體 ) (s G 的動態方程式為 ) ( ) ( t u t y = && ， 0 ) 0 ( ) 0 ( = = y y & 。假設有四種不同控制 器（ P s Gc = ) ( ，PD，PI，PID）可供選擇。（每小題5 分，共20 分） 要分析穩態誤差 ) ( ) ( ) ( ∞ − ∞ = ∞ y r e ，先分析那一種控制器，就可窺全貌？ 寫出所對應的 ) ( ) ( ) ( s Y s R s E − = 。 何種控制器無法研究 2 1 ) ( s s R = 的穩態誤差？ 根據請說明原因。 三、已知下列常微分方程式 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( t u t u t y t y t y + = + + & & && , 0 ) 0 ( = y , 0 ) 0 ( = y& 求其轉移函數 ) ( ) ( ) ( s U s Y s G = （transfer function）。（5 分） 求其狀態方程式（state space equation）。（需有推導過程，請由右至左定義系統 狀態。）（15 分） Ｒ(s) Y(s) K s(s+2) Σ - Gc(s) Σ R(s) Y(s) G(s) Gc(s) - 104年公務人員高等考試三級考試試題 全一張 （背面）

圖示為一典型之鋼帶維持等張力系統。環圈（Looper）具有2 到3 呎（ft）長之臂， 於端點有一滾子，可被馬達提起並壓於鋼帶上。典型之通過環圈鋼帶速度是 2000 ft/min。一比例於環圈位置之電壓與一參考電壓比較並被積分，其被假設為改 變環圈之位置比例於改變鋼帶之張力。控制器之時間常數τ，是可忽略相對於系 統之其他時間常數。(a)試繪出控制系統之根軌跡？0<Ka<00；(b)試決定增益值 Ka=？ξ=0.707；(c)決定τ 的效應？當它由可忽略之量逐漸增加時。（30 分） c.g.=重力中心 V 速度 h c (a) (b) + － 想要的角度 控制器 動態系統 回授量測信號 1+2s+Ks2 實際角度 D(s) 干擾 鋼帶 滾子 馬達 放大器與發 電機 環圈 滾子 + － R(s) eref 控制器 放大器 發電機 馬達 滾子 Y(s) + －

以漸近線（asymptote）的方式繪出下列轉移函數的波德圖（Bode plot）。（25 分） 25) s 3 s(s 5.2 2 + + ＋ － R Y Kp )1 ( 1 + s s ＋ － ＋ ＋ D R Y KP )1 ( 1 + s s Kvs ＋ －

請畫出下列轉移函數之波特圖（Bode magnitude）。只需畫直線逼近圖（high/low asymptotes），但截頻點，斜率，數值要對才給分。（每小題5 分，共15 分） ) 40 )( 1 2 ( ) 20 ( 200 ) ( + + + = s s s s s G 將轉移函數化為最簡標準式（standard form）由K，s 及 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +1 iz s 組成。 化為最簡標準式的目的何在？ 畫3 個極點（poles）的波特圖（Bode magnitude）。

高階的伺服平台常會使用氣浮軸承以致其固態運動模式（rigid body mode）極為明 顯，再加上馬達驅動器的一部分電路動態就成了以下式所表示的系統： ) 500 ( 1 ) ( 2 + = s s s G 此系統有三個極點，且其中有兩個在原點處，其波德圖如下圖所示： 請問以吾人熟悉的相位領先或相位延後控制器（lead/lag compensator）有沒有可能達 成穩定的閉迴路控制？若有，請設計並計算一個可穩定的控制器。（20 分） 0 Bode Diagram -20 -40 -60 -80 0 -45 -90 Bode Diagram 10-2 10-1 100 101 102 103 105 104 Phase (deg) Magnitude (dB) 101 102 103 104 0 -50 -100 -150 -200 -180 -225 -270 Frequency (rad/s) Phase (deg) Magnitude (dB) Frequency (rad/s)