固態物理考古題｜歷屆國考試題彙整

簡單立方晶格（simple cubic lattice）的原始向量（primitive vector）為a1=ax, a2=ay, a3=az；x, y, z 為單位向量。推導簡單立方晶格倒置晶格（reciprocal lattice） 的原始向量b1, b2, b3。（10 分） 矽的晶體結構為鑽石結構，可利用簡單立方晶格加上多原子的基底（basis）來構 成。問基底的原子數目，並列出基底原子的座標（以簡單立方晶格的原始向量為 單位向量）。（10 分） 利用基底的結構因子（structure factor）將簡單立方晶格的倒置晶格變換成矽的倒 置晶格；變換後簡單立方倒置晶格中有些晶格點會消失，列出這些點的數學條件。 （提示：結構因子的公式：SG=Σ fj exp(-iG · rj)，其中fj 為原子散射因子（atomic form factor），G 是倒置晶格向量。rj 是基底原子的實空間位置向量。）（10 分）

以近似自由電子模型（nearly free electron model）考慮一塊三維半導體；其導電 帶的電子能量為E(k)=EC+ħ2k2/(2me)，推導此導電帶的電子能態密度（density of state）D(E-EC)。（15 分） 假若費米能量EF 遠低於EC，即(EC-EF)>>kBT；kB 為波茲曼常數，T 為絕對溫度。 計算半導體導電帶電子濃度n 之值。（10 分）

考慮一塊半導體材料，載子的濃度為n，電荷為q，等效質量為meff。在材料的 x 方向加上外加電場Ex，造成單位面積電流Jx。試以牛頓第二運動定律推導Jx 與 Ex 的關係式。其中應考慮載子的散射，散射的鬆弛時間為τ。（10 分） 在z 方向再外加磁場Bz。若令此材料y 方向的電流Jy為零，試求Ey與Ex的關係， 以及霍爾係數RH=Ey/(JxBz)之值。（15 分）

何謂馬德隆常數（Madelung constant）？（10 分） 說明順磁性物質與居禮定律（Curie law）。（10 分）

如圖，一個單原子基底的平面四方晶格位於x-y 平面，其晶格常數為a = 2 且其原始 向量（primitive vectors）為a oA 1 = v 與 y a a ˆ 2 = v （與 xˆ yˆ 為+x 與+y 方向之單位向量）， 若有波長為λ 之單頻X 光沿x-y 平面入射，入射角θ 定為波向量與+x 軸之夾角。 該晶格的倒晶格向量1b v 與2 b v 為何？（2 分）請在 平面畫出倒晶格之第一布 里淵區（first Brillouin zone）（請註明座標軸的刻度）。（2 分）若考慮彈性散射，則 當入射波長為λ＝3.2 的X-光入射該晶體，入射角 y x k k − oA θ ( 4 / 0 π θ < < )需為多少才會產 生布拉格繞射（Bragg diffraction）；令 ) ( tan 1 x − = θ ，x＝？請詳細說明過程。（8 分） 同，反射波的方向角 r θ 是多少？請由入射、反射波向量與倒晶格向量之關係詳 細說明過程。（8 分）當入射角為 3 / π 時能產生布拉格繞射的最大波長為何？請詳 細說明過程。（5 分）

考慮一三維的無窮大導體，導體中只存在單一種電載子（載子密度為n，載子質量為 m、電荷為e）。若有外加均勻電場 z E y E x E E ˆ ˆ ˆ + + = z y x r 與Z-方向均勻磁場 z B B ˆ = v ，且 電載子運動時還受到一造成能量損耗的碰撞力 τ v mv Fr − = （其中v v v 為載子之速度、τ 為 能量弛豫時間常數）。當系統達到穩定態（steady state）時只存在穩定電流，請依 牛頓運動定律（請用SI單位）推導該系統之

3× 電阻率張量（resistivity tensor） ij ρ 。 （10 分）現考慮導體限縮為一個X-Y平面上的長二維導體（Y-方向寬度為w），且外加 電場只在X-方向有值(E x Eˆ = r 0 )。若在穩定態時系統只在X-方向有電流，請由的結果 計算X-方向的電流密度jx＝？並討論Y-方向是否會存在電場Ey，若 ≠ y E ，請詳細說明 其成因。（15 分） 101年公務人員特種考試外交領事人員外交行政人員考試、101年 公務人員特種考試國際經濟商務人員考試、101年公務人員特種考 試法務部調查局調查人員考試、101年公務人員特種考試國家安全 局國家安全情報人員考試、101年公務人員特種考試民航人員考 試、101年公務人員特種考試經濟部專利商標審查人員考試試題 代號： 考 試 別： 專利商標審查人員 類 科 組： 電子工程 全一張 （背面） 80340 三、給定一個面積為 的二維平面晶體，該晶體之結構為正方晶格（晶格常數為 L L× L N a / = ）與二價（divalent）單原子分子基底，全系統包含N N × 個原子。若該系 統之最低能量的兩個電子能帶為： EC(k)＝2.0 eV + 0.3 [ cos(kx a) + cos(ky a)] eV, EV(k)＝-2.0 eV + [ cos(kx a) + cos(ky a)] eV. 圖(a)所示為正方晶格對應之第一布里淵區，圖(b)為對應之能帶圖。 (a) (b) 寫出上述兩個能帶的能帶邊緣（band edge）位置及兩個能帶的帶寬（band width） 各為多少。（4 分） 本系統能隙（band gap）多大？若有能量與能隙相同的光子入射，電子能否因單 純吸收光子而自EV能帶躍遷至EC能帶？請詳述理由。（5 分） 本系統是金屬、半導體或絕緣體？請詳述理由。（2 分） 試求電子與電洞的群速。（4 分） 試求電子與電洞在點鄰近之「有效質量倒數張量」（reciprocal effective mass tensor） Γ ij m ⎟⎠ ⎞ ⎜ （5 分） ⎝ ⎛ * 1 試求EC能帶與EV能帶在Γ點鄰近之態密度（density of states）。請使用週期性邊界 條件。（5 分）

請使用少於20 個字說明「聲子」（phonon）是甚麼？（4 分） 請敘述殘餘電阻（residual resistance）是甚麼，並說明其產生機制。（4 分） 請說明凡霍夫奇點（Van Hove singularities）是甚麼，及其發生的條件。（4 分） 請說明反鐵磁磁性及尼爾溫度（Néel temperature）的意義。（4 分） 請敘述溫度對金屬與半導體導電性的影響，並說明原因。（4 分） 請說明順磁物質與鐵磁物質的差別，及居禮溫度（Curie Temperature）是甚麼？ （5 分）

解釋固體中能帶（Energy Band）的成因。 分別畫出絕緣體、半導體、導體的能帶圖，並由能帶圖說明為何有導電度不同的 原因（物理機制）。 （25 分）

畫出Si 與GaAs 之E-P 圖（能量與動量關係圖）。 如何由E-P 圖得到電子的有效質量m*？ 說明矽（Si）為何不發光的原因。 （25 分）

說明固體能態密度（Density of State）代表的物理意義。 畫出三維、二維與一維的能態密度圖並推導之。 （25 分）

列出形成固體的四種鍵結（Bond），並說明其成因。 （25 分）