工程數學考古題｜歷屆國考試題彙整

114年專門職業及技術人員高等考試建築師、 25類科技師（含第二次食品技師）、大地工程 技師考試分階段考試（第二階段考試） 暨普通考試不動產經紀人、記帳士考試試題 等 別：高等考試 類 科：電子工程技師 科 目：工程數學（包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率） 考試時間：2 小時 座號： 不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。 本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。 已知向量ࢂଵ= (1,4,3), ࢂଶ= (0,3,2), ࢂଷ= (−1,0,1)，寫出向量ࢃ= (2,1,1) 表示為ࢂଵ, ࢂଶ, ࢂଷ的線性組合式子。（20 分） 求三階微分方程ݕᇱᇱᇱ(ݔ) −4ݕᇱᇱ(ݔ) −ݕ′(ݔ) + 4ݕ(ݔ) = 16݁ଷ௫的通解 （general solution）。（20 分） 利用格林定理計算∮ ିଶ௬ ௫మା௬మ݀ݔ+ ଶ௫ ௬మା௫మ݀ݕ ஼ ，考慮ܥ為任意簡單連續且不通 過原點的封閉曲線，分別計算包含原點及不包含原點的值。（20 分） 求下列複變積分值∮( (ଵା௭)మିଶ௭ (௭ିଵ)మ(௭ାଶ௜))݀ݖ ௖ ，ܥ為複數平面上|ݖ| = 3逆時鐘方 向之圓。（20 分） 已知݂(ݔ) = ൝ ݇ݔ(2 −ݔ) , 0 ≤ݔ≤1 ，並已知݂(ݔ)為機率密度函數，求 取݇值及其對應的累積分布函數。（20 分） 0 , 其他

01240 2211 請求)(tv之齊次解（homogeneous solution），請以上面係數（ 2211 ,,,）將齊次解表示為實數函數。（15 分）若tsetv2)(，請求)(tv之特解（particular solution）。（5 分） 二、考慮一個二次型（quadratic form）：TPx Qx，其中123xxxx， 430371 014Q請求矩陣Q 之特徵值與對應之特徵向量。（20 分）請判斷此二次型為（半）正定（positive（semi）definite）、（半）負定（negative（semi）definite）或皆不是？若限制 123222 1xxx，請求此二次型之極大與極小值。（10 分）代號： 01240 四、考慮一電力場：,43,,2xyFx yxyF x yFx yxy如圖一所示，有一半圓路徑C。若有一帶電粒子沿此路徑移動，從（1, 0）移動至（-1, 0），請求此電力場對此粒子運動所作之功，即求CdrFW，yxr,為粒子質點位置。（10 分）如圖二所示，此粒子再由（-1, 0）沿水平直線移動至（1, 0），形成一封閉路徑。請以格林定理（Green’s theorem）求此電力場對此粒子沿此封閉路徑運動所作之功。（10 分）圖一圖二1X1X-1-1Y1Y1路徑C

1 1 ൱൩= ൭ 3 0

sin ,(0)0,(0)0yyxxyy

൱，ܶ൥൭ 1 2 1 ൱൩= ൭ 4 0 2 ൱， ܶ൥൭ 1 2

2 ,d ydyyydxdx（15 分）二、設0.90.10.20.8A。求解A的特徵值（eigenvalue）與對應的特徵向量（eigenvector）。（4 分）求解2A 的特徵值與對應的特徵向量。（4 分）解limnnAA。（7 分）三、請利用留數（residue）計算220 (1)dxx。（10 分）四、設X 與Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）是2()( , ), 0, 0= 0,00x yXYfx yexyxy或其中0。設ZXY。求Z 的期望值（mean）。（5 分）求Z 的累積分布函數（cumulative distribution function）。（5 分）34570本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。1考慮函數22( , , )2x y zx yyz，請決定梯度( , , )x y z在點(1, 1,2)之值為何？ (A)4i2 j8k (B)4i2j8k (C)4i2j8k (D)4i2 j8k2若i為內積運算，為外積運算，請計算(2ij) (i3jk) (3ik)i之值為何？ (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

൱൩= ൭

圍線積分22()c y dxxyxdy其中c 為由直線yx與拋物線2y x所圍成的封閉路徑，利用格林定理（Green’s theorem）將此積分化成面積分( , )Ru x y dxdyK，其中R 為封閉路徑c 所圍的區域，請問( , )u x y 與K 分別為何？ (A)( , )2u x yyx，120K  (B)( , )2u x yxy，140K  (C)( , )2u x yxy，120K  (D)( , )2u x yyx，140K 

下列那一個向量不在矩陣1472

0 4 ൱，ܶቈቆ ݔ ݕ ݖ ቇ቉=？（20 分） 求解二階微分方程ݕᇱᇱ(ݐ) + 4ݕᇱ(ݐ) + 3ݕ(ݐ) = 3ߜ(ݐ−2), ݕ(0) = 0, ݕ′(0) = 0，其中ߜ(ݐ)為脈衝函數。（20 分） 利用史托克定理（Stokes' Theorem）計算封閉曲線積分∮(−ݕ࢏+ ݔ࢐− ௖ ݔݕݖ࢑) ∙݀ࡾ，R 為位置向量（position vector），C 為ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ= 1, ݖ≥0 半球表面之邊界曲線。（20 分） 請計算複變積分∮(ݖଶ+ ଵ ௭మିଵ଺+ ௘ഏ೥ （௭మାସ）+ ݖଶ݁ భ ೥)݀ݖ之值 ௖ ，C 為複數平面 上|ݖ| = 3逆時鐘方向之圓。（20 分） X 和Y 為連續隨機變數，其聯合分布機率密度函數݂௑,௒(ݔ, ݕ) = ቊ 1/2 , 0 ≤ݕ≤ݔ≤2 0 , 其他，求條件期望值ܧ[ܺ|Y=y] =？（20 分）

83

9A之列空間（row space）？ (A)3914 (B)222 (C)61524 (D)1235矩陣46A35經由對角化得120P AP01，下列何者是P 矩陣？ (A)21P11 (B)12P21 (C)22P21 (D)22P226假設矩陣124021033A，計算行列式值1det(3)det()3TcAA，?c  (A)18 (B)28 (C)244 (D)234

假設A 為n n矩陣，下列那一個敘述不等效（equivalent）於其他敘述？ (A)A 可被正交對角化（orthogonally diagonalizable） (B)A 為對稱（symmetric）矩陣 (C)可為A 找到或建構n個正交規範特徵向量（orthonormal eigenvectors） (D)A 的行列式值det1A 

下列子集合何者為3R 的子空間（subspace）？ (A)( , ,2 ) |,a b aba bR (B)2(0, ,) |a aaR (C)(1, ,0) |aaaR (D)( , ,1) |,a ba bR

定義1i ，複變數zxiy與其共軛複數zxiy。下列何者在整個複數平面皆為可解析（analytic）？ (A)( )f zz (B)( )(cossin )yf zexix (C)22( )2f zxyixy (D)( )(cossin )xf zeyiy34570

定義1i ，假設方程式210zzi的兩個解為1z 與2z 且12zz，則下列何者正確？ (A)121 2zzi (B)121 2zzi (C)11z  (D)22z 

32(5)()( )() (1)(4)z zzif zzizz，且c 為3z 逆時鐘轉之封閉路徑，請決定( )( )cfz dzf z之值為何？ (A)4 i (B)4 i (C)6 i (D)6 i

請利用複數積分決定2 3(1)dxx之值為何？ (A)32 (B)34 (C)36 (D)38

一階常微分方程式22332(AB)(2125)0x yy dxx yxydy為正合（exact），A、B 值為何？ (A)A2, B3 (B)A3, B3 (C)A3, B4 (D)A4, B3

給定微分方程22(4) dyyxdx，當初始值00(, ())xy x落在下列那一個xy 平面區間時，該微分方程可能不會有唯一解（unique solution）？ (A), 22xRy (B),2xR y (C),2xR y (D), 11xRy

已知週期為6 的函數( ), 33f xxx，展開成01( )cos 3nnn xf xaa，下列何者正確？ (A)126a (B)3223a (C)52825a (D)721249a

函數1if1( )0otherwisexf x之傅立葉轉換（Fourier transform）為下列何者？ (A)1sin2ww (B)sin2ww (C)1cos2ww (D)cos2ww

下列那個函數（t 為獨立變數）無拉氏轉換（Laplace transform）？ (A)t (B)1t (C)sintt (D)1t

假設X 為一離散隨機變數（discrete random variable），其值為2、1 與3 的機率分別為(2)0.4P X 、(1)0.5P X 與(3)0.1P X 。則期望值2[21]?EX  (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

某間製造公司專門生產發電機，在甲、乙、丙三地各有一間工廠，各工廠產量分別占總產量的40%(甲)、25%(乙)、35%(丙)，各工廠生產產品的不合格率分別為3%(甲)、2%(乙)、4%(丙)，則整間公司發電機產品的不合格率為？ (A)2.5% (B)3.2% (C)3% (D)3.1%

設X、Y 及Z 為三個隨機變數，且聯合機率密度函數為1 , 0, ,1( , , )0 ,x y zf x y z其他，請決定X3Y5Z的機率為何？ (A)140 (B)340 (C)540 (D)740

1請證明矩陣A 為可逆（invertible）。（5 分）請計算矩陣A 的行列式（determinant）。（5 分）請求取矩陣A 的反矩陣（inverse matrix）。（10 分）如果用B 代表矩陣A 的反矩陣，則B4的行列式數值為何？（10 分）本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。本試題或申論試卷上作答者，不予計分。1令矩陣A =1221

663

9942112

895，則矩陣A 的秩rank(A)為何？ (A)5 (B)4 (C)3 (D)22下列何者為二階常微分方程式x2 d2ydx2 −xdydx −3y = 0的解（c1, c2為任一實數（real values））？ (A)y = c1x−1 + c2x3 (B)y = c1xି1 + c2xି3 (C)y = c1x + c2x3 (D)y = c1x + c2xି33令T：R2 →R2為一個線性映射函數，其定義為T(x, y)=(2x + y, 3x + 4y)，則下列何者錯誤？ (A)函數T 之零核空間（null space）的維度為0 (B)函數T 的秩（rank）為2 (C)函數T 為一對一函數 (D)函數T 之列空間（row space）的維度為04令矩陣A =023030abc為一斜對稱矩陣（skew symmetric matrix），其中a, b, c 為實常數，則下列何者錯誤？ (A)a = 2 (B)a, b 兩數乘積ab = 6 (C)a, c 兩數乘積ac =6 (D)b, c 兩數乘積bc = 95若矩陣A =1234123412341234xxxx，則其行列式det(A)為何？ (A)x3(10+x) (B)x3(10+4x) (C)24(10+ x4) (D)30(10+4x4)

下列何者不是矩陣A =013233211的特徵向量/固有向量（characteristicvector/eigenvector）？ (A)1 1 1TI  (B)11 1TJ  (C)1 1 1TK  (D)11 1TL 

下列給定的矩陣，何者不可對角化？ (A)2314A (B)0110B (C)1/ 21/ 61/ 61/ 2C (D)3417D

空間R3 中的四點A(1, 0, 1)、B(2, x, 4)、C(5, 5, 7)與D(8, 8, 10)共平面，則x 為何？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

微分方程式(y + x3)dx = xdy 滿足y(1) = 2 的解為y = ax3 + bxc ，其中a, b, c為實常數，則下列何者正確？ (A)1a  (B)12b  (C)2c  (D)1c 

令週期函數1,10( ),( )(2)1, 01xf xf xf xx，其傅立葉級數（Fourier series ）展開為4( )(sin()sin(2)f xaxbxsin(3)cxsin(4))dx，其中a, b, c, d 為實常數，則a+b+c+d 之值為何？ (A)43 (B)43 (C)13 (D)13

若使(4x2y3xy2)dx＋(x32x2y)dy＝0 為正合（exact）的積分因子為xm yn，其中m 與n 皆為實數，則m+n 之值為何？ (A)2 (B)1 (C)1 (D)2

下列各組函數，何者不為線性獨立（linearly independent）？ (A)ex、e－x、e2x，x (B)ln x、ln x2、ln x3，0x (C)1、x、x2，x (D)1、cos x、sin x，x

微積分式0( )( )cos()dty tyt，(0)1y之解為何？ (A)( )sin2ty tt (B)2( )sin2ty tt (C)( )12ty t  (D)2( )12ty t 

複變函數21( )(2) (4)zf zz zz，若C 為逆時針方向繞圓周3z 的路徑，則下列何者是積分( )C f z dz之值？ (A)18i (B)18 i (C)124 i (D)124 i

複變函數1( )(1)(2)f zzz，針對區域12z對函數( )f z 展開可得21( )f zazbzcdz，其中a, b, c, d 為實常數，則下列何者正確？ (A)1a  (B)1b  (C)12c  (D)14d 

下列複變函數何者不滿足柯西-黎曼方程式（Cauchy-Riemann equation）而為不可解析函數（極點除外）？（其中,1zxiy i） (A)(z)cos( )sin( )xxfeyiey (B)22( )Re(z )Im(z )f zi (C)232(z)3(z4z)f (D)(z)sin( )cosh( )cos( )sinh( )fxyixy

下列何者是複數方程式426160ziz的其中一根？（其中1i ） (A)1 i (B)1 2i (C)2i (D)22i

已知隨機變數323ZXY的變異數（variance）為54，其中X 的變異數為22X，且X 與Y 的共變異數（covariance）為2XY，則隨機變數Y的變異數2Y為何？ (A)7 (B)5 (C)3 (D)1

已知隨機變數X 和Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為,,01( , )0,X Yxyxyfx y其他，則下列何者正確？ (A)2X 的期望值（expected value）21E10X (B)2Y 的期望值（expected value）21E8Y (C)X 的期望值（expected value）1E15X  (D)Y 的期望值（expected value）1E5Y 

某電流自P 流至Q 需經過a、b、c 三個並聯的開關。已知a、b、c 個別接通之機率分別為0.4、0.5 與0.6；a 與b 均接通之機率為0.2；b 與c 均接通之機率為0.3；a 與c 均接通之機率為0.24；a、b、c 均接通之機率為0.12。試求電流自P 流至Q 之機率為何？ (A)0.88 (B)0.76 (C)0.70 (D)0.64

sin ,(0)0,(0)0yyxxyy

2 ,d ydyyydxdx（15 分）二、設0.90.10.20.8A。求解A的特徵值（eigenvalue）與對應的特徵向量（eigenvector）。（4 分）求解2A 的特徵值與對應的特徵向量。（4 分）解limnnAA。（7 分）三、請利用留數（residue）計算220 (1)dxx。（10 分）四、設X 與Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）是2()( , ), 0, 0= 0,00x yXYfx yexyxy或其中0。設ZXY。求Z 的期望值（mean）。（5 分）求Z 的累積分布函數（cumulative distribution function）。（5 分）34570本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。1考慮函數22( , , )2x y zx yyz，請決定梯度( , , )x y z在點(1, 1,2)之值為何？ (A)4i2 j8k (B)4i2j8k (C)4i2j8k (D)4i2 j8k2若i為內積運算，為外積運算，請計算(2ij) (i3jk) (3ik)i之值為何？ (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

0

A：（每小題5 分，共15 分）求矩陣（matrix）A之特徵值（eigenvalues）與特徵向量（eigenvectors）。求矩陣函數Ate。求系統方程式（system equations ）1122223dx tx txtdtdxtxtdt之通解（general solution）。三、擲四枚硬幣（Flip four coins），試驗結果有16 種結果（outcomes）：1216,,...,o oo ，其中1oHHHH,2oHTHH,…,16oTTTT；若定義隨機變數（random variable）X 為：jX o出現背面（T ）的硬幣數目，例如：10X o,21X o；P 為隨機變數X 之機率分布（probabilitydistribution），例如：01/16P,14 /16P。（每小題5 分，共10 分）求此隨機變數X 之均值（mean）或期望值（expected value）：X。求此隨機變數X 之標準差（standard deviation）或變異數的開根號（square root of the variance）：X。35760四、複數函數11zzef zzz：（每小題5 分，共10 分）求f z 在1z 與1z 的留數（residue）。閉合曲線（closed curve）C 為圓2z ；利用柯西（Cauchy）留數定理（Residue Theorem）求複數線積分11zCzedzzz。6357本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。1某能量場可用函數222( , , )0.5(22)x y zxxyyz表示。該能量場在點( 1,0,1)P 的最大變化率（rate of change）為何？ (A)3 (B)2 (C)2 (D)32令矩陣13

圍線積分22()c y dxxyxdy其中c 為由直線yx與拋物線2y x所圍成的封閉路徑，利用格林定理（Green’s theorem）將此積分化成面積分( , )Ru x y dxdyK，其中R 為封閉路徑c 所圍的區域，請問( , )u x y 與K 分別為何？ (A)( , )2u x yyx，120K  (B)( , )2u x yxy，140K  (C)( , )2u x yxy，120K  (D)( , )2u x yyx，140K 

2

下列那一個向量不在矩陣1472

83

2

918A2691913425，則下列選項中何者為矩陣A 的秩數（rank）？ (A)4 (B)3 (C)2 (D)13考慮聯立方程組Ax =0，其中8 10AR 。若此方程組的通解含有6 個任意常數，則A 的值域空間（range space）維度（dimension）為何？ (A)8 (B)6 (C)4 (D)34給定兩向量1 12Tu 及21 1Tv ，下列選項何者錯誤？ (A)此兩向量的範數（norm）乘積為6 (B)此兩向量的內積（inner product）為3 (C)此兩向量的外積（cross product）為333T (D)此兩向量的夾角為35T 為R2 到R3 的線性轉換，且滿足1(4 )10T uv，0(23 )13Tuv。T(u)＝？ (A)31

9A之列空間（row space）？ (A)3914 (B)222 (C)61524 (D)1235矩陣46A35經由對角化得120P AP01，下列何者是P 矩陣？ (A)21P11 (B)12P21 (C)22P21 (D)22P226假設矩陣124021033A，計算行列式值1det(3)det()3TcAA，?c  (A)18 (B)28 (C)244 (D)234

5 12 (B)3175 12 (C)3712 (D)37126若103020002A存在可逆矩陣P 可將其對角化為1100020002P AP。則P 的第一行行向量為何？ (A)011 (B)101 (C)110 (D)100357607令矩陣341A041001，則A2 的特徵值（eigenvalues）不是下列那一個選項？ (A)9 (B)1 (C)16 (D)4

假設A 為n n矩陣，下列那一個敘述不等效（equivalent）於其他敘述？ (A)A 可被正交對角化（orthogonally diagonalizable） (B)A 為對稱（symmetric）矩陣 (C)可為A 找到或建構n個正交規範特徵向量（orthonormal eigenvectors） (D)A 的行列式值det1A 

下列矩陣何者是不可被「對角線化（diagonalizable）」？ (A)1121 (B)1101 (C)1211 (D)2111

下列子集合何者為3R 的子空間（subspace）？ (A)( , ,2 ) |,a b aba bR (B)2(0, ,) |a aaR (C)(1, ,0) |aaaR (D)( , ,1) |,a ba bR

考慮微分方程式( ) ( ), ( ) ( )0dya x b y a x b ydx 。若乘上積分因子( , )x y後可將此方程式轉換成正合（exact）微分方程式，則μ 為下列何者？ (A)( )a x (B)1( )a x (C)( )b y (D)1( )b y

定義1i ，複變數zxiy與其共軛複數zxiy。下列何者在整個複數平面皆為可解析（analytic）？ (A)( )f zz (B)( )(cossin )yf zexix (C)22( )2f zxyixy (D)( )(cossin )xf zeyiy34570

考慮微分方程式232cos( )sin( )1, (0)1,(0)0d ydydyxx yxydxdxdx。若此方程式的級數解可表示為0( )nnny xc x，則3c 為何？ (A)313c  (B)316c  (C)316c  (D)313c 

定義1i ，假設方程式210zzi的兩個解為1z 與2z 且12zz，則下列何者正確？ (A)121 2zzi (B)121 2zzi (C)11z  (D)22z 

32(5)()( )() (1)(4)z zzif zzizz，且c 為3z 逆時鐘轉之封閉路徑，請決定( )( )cfz dzf z之值為何？ (A)4 i (B)4 i (C)6 i (D)6 i

函數f(t)之拉普拉斯轉換（Laplacetransform）為ℒ( )f t，令ℒ21( )(1)f ts s，則下列何者正確？ (A)( )1ttf ttee (B)( )1ttf ttee (C)( )1ttf ttee (D)( )1ttf ttee

請利用複數積分決定2 3(1)dxx之值為何？ (A)32 (B)34 (C)36 (D)38

函數( )2cos(3 ),03f ttt，若在t = 0 處，f (t)的傅立葉餘弦級數（Fourier cosine series）收斂到A，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到B；在3t處，f(t)的傅立葉餘弦級數（Fouriercosine series）收斂到C，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到D。則A,B,C,D 各值為何？ (A)0,0,0,0ABCD (B)2,0,2,0ABCD (C)0,2,2,0ABCD (D)2,0,2,0ABCD

一階常微分方程式22332(AB)(2125)0x yy dxx yxydy為正合（exact），A、B 值為何？ (A)A2, B3 (B)A3, B3 (C)A3, B4 (D)A4, B3

已知函數1( ),0a tf teaa，則下列何者為函數f (t)的傅立葉轉換（Fourier transform）(1i )？ (A)222()ia a (B)222()ia a (C)222a (D)222a

給定微分方程22(4) dyyxdx，當初始值00(, ())xy x落在下列那一個xy 平面區間時，該微分方程可能不會有唯一解（unique solution）？ (A), 22xRy (B),2xR y (C),2xR y (D), 11xRy

考慮複變函數3223( )(3)(3)f zxxyix yy，其中zxiy。則( )df zdz為何？ (A)22( )( 6)(33)df zxyixydz (B)22( )(33)(6)df zxyixydz (C)2222( )(33)(33)df zxyixydz (D)( )f z 不可以微分

已知週期為6 的函數( ), 33f xxx，展開成01( )cos 3nnn xf xaa，下列何者正確？ (A)126a (B)3223a (C)52825a (D)721249a

考慮複變函數（complex function）21( )25zf zzz，若C 為逆時鐘繞圓周12zi的路徑，且積分∮f (z)dz = a + bic，則下列選項何者正確？ (A)2a (B)a (C)2b (D)b35760

函數1if1( )0otherwisexf x之傅立葉轉換（Fourier transform）為下列何者？ (A)1sin2ww (B)sin2ww (C)1cos2ww (D)cos2ww

給定複變數函數2( )(1)(3)f zzz，針對區域13z對函數( )f z展開可得12( )f zazbczdz……，則下列選項何者正確？ (A)13a  (B)13b  (C)13c  (D)13d 

下列那個函數（t 為獨立變數）無拉氏轉換（Laplace transform）？ (A)t (B)1t (C)sintt (D)1t

某元件使用壽命X （單位：小時），其機率密度函數（probability density function）為( )0.005,0kxf xex。則k 值及元件平均使用壽命為何？ (A)0.005k ，平均使用壽命200 小時 (B)0.005k ，平均使用壽命∞小時 (C)0.005k ，平均使用壽命200 小時 (D)0.005k ，平均使用壽命∞小時

假設X 為一離散隨機變數（discrete random variable），其值為2、1 與3 的機率分別為(2)0.4P X 、(1)0.5P X 與(3)0.1P X 。則期望值2[21]?EX  (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

某雜訊的機率密度函數（probability density function）為1,3的均勻分佈，其變異數（variance）為A。經過增益為5 的放大器放大以後，其變異數為B。則A,B 各值為何？ (A)420,33AB (B)4100,33AB (C)1680,33AB (D)16400,33AB

某間製造公司專門生產發電機，在甲、乙、丙三地各有一間工廠，各工廠產量分別占總產量的40%(甲)、25%(乙)、35%(丙)，各工廠生產產品的不合格率分別為3%(甲)、2%(乙)、4%(丙)，則整間公司發電機產品的不合格率為？ (A)2.5% (B)3.2% (C)3% (D)3.1%

令隨機變數X,Y的聯合機率密度函數（Joint probability density function ）為,(12 ),02,01( , )0,X Ykxyxyfx y其他，其中k 為實數，則下列何者正確？ (A)12k  (B)邊際機率密度（Marginal probability density function）為( ),024xg xx (C)邊際機率密度（Marginal probability density function）為12( ),014yh yy (D)條件機率密度（conditional probability density function）為12(),012yf y xy

設X、Y 及Z 為三個隨機變數，且聯合機率密度函數為1 , 0, ,1( , , )0 ,x y zf x y z其他，請決定X3Y5Z的機率為何？ (A)140 (B)340 (C)540 (D)740

給定兩向量213412TTuv及，分解12uuu為，其中1u 為u 在v 的垂直投影（orthogonalprojection），則下列選項何者錯誤？ (A)向量120510777Tu (B)向量2u 的範數（norm）21617u (C)兩向量2,u v 的外積（cross product）為零向量 (D)兩向量12,u u 的內積（inner product）為零

0(1)ii以逆時針方向繞一圈走回到原出發點的曲線。請計算下列兩個積分的結果。（每小題6 分，共12 分）Γ z zd ？Γ1 zz d ？本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案。1假設A 與B 為維度相同之方陣（square matrix）且,,A B AB均為可逆（invertible）矩陣，則下列何者不一定為可逆矩陣？ (A)TA B (B)IAB (C)1IA B (D)1IAB

110

假設矩陣10

൩已知此矩陣的特徵值（eigen-value）為2、2（重根）、1。請寫出A矩陣的所有特徵向量（eigen-vector）的一般形式。（5 分）令B=A8。請寫出B矩陣的所有特徵向量的一般形式。（5 分）34770四、有一個半徑為1 的圓形標靶，對著它亂射飛鏢，完全不瞄準，所以彈著點（亦即飛鏢在標靶上的落點）會是在某一個區域的機率大小，與標靶上的位置無關，只與該區域的面積大小成正比。若只考慮有射中標靶的飛鏢，直接忽略沒有射中標靶的飛鏢。令X 代表彈著點到靶心（亦即標靶的正中心）的距離，是一個隨機變數（random variable），並定義另外一個隨機變數：Y≜X2，試問：令fX(x)代表X 的機率密度函數（probability density function），則fX(x)=？（5 分）令fY(x)代表Y 的機率密度函數，則fY(x)=？（5 分）五、有一個複變函數f(z)=1z2+4，欲對其作曲線積分（contour integration），請回答下列問題：考慮如下所示的曲線：C1：|z|=3（即以複數平面原點為中心、半徑為3 的圓），從z=3+0⋅i（i=√−1）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問∮f(z)dzC1=？（5 分）考慮如下所示的曲線：C2：|z −i|=2（即以0+1⋅i為中心、半徑為2 的圓），從z=0+( 1) i（i=√−1）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問∮f(z)dzC2=？（5 分）本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。1我們準備對1, 1,3（）以及2,0, 4（）這兩個向量做外積（cross product ）。如果將答案寫成1, 1,32,0, 4a,b,c（）（）（），那麼ab c=？ (A)30 (B)80 (C)100 (D)1502考慮一線性方程組Axb，A 為m n矩陣，mn。下列敘述何者錯誤？ (A)該方程組可能無解 (B)該方程組可能只有一解 (C)該方程組不可能有無窮多解 (D)矩陣A 的列階梯形矩陣（row echelon form）一定有「零」列（row of all zeros）3如果用來代表1,3,2（）與0, 1,4（）這兩個向量之夾角，那麼2sin ？請選出最接近的數值： (A)0.9 (B)0.7 (C)0.5 (D)0.3

226073A，1302

假設我們已知1,2,3（）、1,0, 1（）以及3,1,（）這三個向量無法構成3 ( , , ) | , ,x y zx y z的基底（basis）。那麼，α= ？ (A)12 (B)13 (C)1 (D)1234770

1

考慮如下所示之矩陣：13A21。下列敘述何者正確？ (A)A 為可逆（invertible）的矩陣 (B)A 為既約列梯形（reduced row echelon form）的矩陣 (C)A 為單位矩陣（identity matrix） (D)A 為對稱（symmetric）的矩陣

22B，則行列式值1det 2TA B為何？ (A)1217 (B)1217 (C)4817 (D)48173若201013110BBP為從3R 的基底B 轉換至基底(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)B之轉移矩陣（transitionmatrix），則B ？ (A)(3,2,2),(2,1,0),(4,4,1) (B)(3,4,2),(2,1,2),(2,0,1) (C)(3,1,2),(1,2,1),(4,1,4) (D)(3,2,1),(1,2,0),(2,1,0)4下列那一個矩陣無法被對角化（diagonalizable）？ (A)401210201 (B)010001251 (C)401030102 (D)102000204371205下列那一組3R 中之向量基於歐幾里得內積（Euclidean inner product）可作為規格化正交基底（orthonormal basis）？ (A)11,0,22，111,,333，11,0,22 (B)1 1 1,,5 5 5，1 1,,02 2，1 12,,3 33 (C)111,,333，11,,022 (D)22 1,,33 3，2 12,,3 33，1 2 2,,3 3 3

如下所示之選項中，何者為矩陣231121132的特徵向量（characteristic vector，亦稱eigenvector）？（選項中的符號T…代表矩陣轉置（transpose）的動作。提示：建議你直接套用特徵向量的定義下去做檢測） (A)011T (B)101T (C)0 01T (D)101T

設T 是3R 到2R 的線性轉換，13020T，04100T，00011T，3a2b1T，下列何者正確？ (A)ab8 (B)ab10 (C)ab10 (D)ab8

考慮一馬可夫過程（Markov process ）：0.80.3(1)( )0.20.7x kx k，其狀態向量x 之初值(0)1000Tx。請問lim ( )xx k為何？ (A)8020T (B)3070T (C)6040T (D)5050T

矩陣2224242162414A的LU 分解（LU decomposition），可化為2224024300102x，x ？ (A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4

在下列四個選項所顯示的複變函數（complex function），其中有三個是可解析的（analytic，亦稱differentiable（可微分的）），有一個是不可解析的（not analytic）。請指出那一個是不可解析的？ (A)ez (B)z3 (C)z (D)z （z 的共軛複數）

設和為矩陣1220A之特徵值（eigenvalues），則？ (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

考慮如下所示之複變函數：23326i752if(z)1 2z(5i) zzzzz（i =1）。如果我們將該函數在z = 0 （亦即複數平面上的原點）的留數（residue）寫成a + b i的形式，那麼a + b ？ (A)2 (B)0 (C)3 (D)2π