微積分、普通物理與普通化學考古題｜歷屆國考試題彙整

設 x x e y x cos 1 = ，求dx dy 。（12 分）

計算 dx x x x sin 1 1 4 2 ∫ − − 。（12 分）

為抛物線 和直線 1 D 2 2x y = a x = 、 2 = x 及 0 = y 所圍成的平面區域； 為抛物線 和直線 、 2 D 2 2x y = 0 = y a x = 所圍成的平面區域，其中 2 0 < < a 。試求：  繞x 軸旋轉一周所圍成的旋轉體的體積 ， 繞 軸旋轉一周所圍成的旋轉體 的體積 。計算 及 。（8 分） 1 D 1v 2 D y 2 v 1v 2v 問當a 為何值時 得最大值？求出此最大值？（8 分） 2 1 v v +

某人宣稱發明以下引擎，運作於27℃與127℃之間，請分別評論之。（8 分） 高溫吸熱500 J，低溫放熱300 J，做功300 J。 高溫吸熱500 J，低溫放熱200 J，做功300 J。 高溫吸熱500 J，低溫放熱300 J，做功200 J。 高溫吸熱500 J，低溫放熱400 J，做功100 J。 接上題，若為卡諾（Carnot）引擎，高溫吸熱500 J，請問做功為何？（7 分）

請解釋何謂光學鑑別率（Resolving power）。（5 分） 地球與月球的距離約為四十萬公里，以地面上直徑2 m 的光學望遠鏡，請問所能 分辨月球表面的最短距離為何？假設光學波長為550 nm。（10 分） 六、樣品溶液中可能含有下列離子：NH4 +, Hg2 2+, Ba2+或Mn2+。當加入NaCl或Na2SO4水 溶液時，並無沉澱產生。然而將此樣品溶液用NaOH溶液處理成鹼性，則有沉澱產 生。試問此樣品溶液含有甚麼離子？（3 分）寫出此沉澱反應之平衡反應式。（3 分） 七、在1 atm壓力下，已知Br2(l) → Br2(g)之 H Δ o = 31.0 kJ mol-1， S Δ o = 93.0 JK-1mol-1。試 問液態溴（Br2(l)）之沸點是多少？（4 分） 八、說明電化電池（galvanic cell）與電解電池（electrolytic cell）之差別。（4 分） 九、依混成軌域觀念寫出此分子中CH3－CH2－CH＝CH2各原子間之鍵結型態。（12 分） 十、判斷此反應O3(g)＋O(g)→2O2(g) H Δ o = -391.9 kJ S Δ o = 10.29 J/K在25℃時，是否為 自發反應，説明原因。（4 分）

若 99 100 100 3 3 3 3 lim ⋅ = + − − → a x x x ，求 ？ = a （10 分）  ？ = + + + ∞ → )

1( 1 lim 100 100 100 101 n n n L （10 分） 二、計算區域E 的體積，其中E 是在錐 2 2

3 y x z + = 上方且在球 內部 所圍出的區域。（20 分） z z y x = + + 2 2 2 三、桌面上有一質量為m 的方形金屬塊置於另一質量為M 且斜角為θ 的另一金屬斜坡 上。若金屬塊的原始垂直高度為h，由靜止滑落下來，計算以下三種條件下，在剛 脫離金屬斜坡時，在桌面上的水平速度分別為何？ 金屬斜坡固定於桌面，且金屬塊、金屬斜坡、桌面間均無摩擦力。（5 分） 金屬斜坡固定於桌面，金屬塊與金屬斜坡有動摩擦係數μ，但與桌面間無摩擦力。 （5 分） 金屬斜坡不是固定於桌面的，但金屬塊、金屬斜坡、桌面間均無摩擦力。（5 分）

靜置於真空中的一實心球形均勻金屬導體，半徑為R，總電量為Q。當電荷分布穩 定不變時： 電荷是否靜止不動？意即電荷平均速度是否為0？請解釋你的答案。（5 分） 與球心距離相等的各點，其電荷分布（即電荷密度）是否相同？請解釋你的答案。 （5 分） 球內外各點之電場E，大小為何，方向會指向何處？請解釋你的答案。（5 分）

氯原子有兩種同位素 及 ，氯與氫反應生成HCl，請問完全將一克氫反應 掉所需37 17 及35 17 的莫耳數與重量是否一樣？（3 分）為什麼？（2 分） Cl 37 17 Cl 35 17 Cl Cl 六、若欲將15 mL，0.25 M的Pb(NO3)2中之Pb(II)完全沈澱下來，最少需要0.1 M的Na3PO4多 少mL？（5 分） （各元素之原子量為Pb：207 克每莫耳；N：14 克每莫耳；O：16 克每莫耳；Na： 23 克每莫耳；P：31 克每莫耳） 100年專門職業及技術人員高等考試律師、會計師、 社會工作師、不動產估價師、專利師考試試題 代號： 類 科： 專利師 全一張 （背面） 70140 | 71240 七、商店所販賣的熱袋（heat pack）的化學反應可用下式表示： kJ 1652 H O Fe 2 ) g ( O 3 )s( Fe 4 3 2 2 − = Δ ⎯→ ⎯ + 請問當4 莫耳的鐵與過剩的O2反應後可放出多少熱？（5 分） 八、請寫出氫燃料電池（Fuel cell）的陰、陽極反應的反應式。（5 分） 九、請畫出下列化合物之Lewis 結構。（3 分）排列出其極性大小（從小到大）。（2 分） CHCl3, CCl4, CH2Cl2 十、在大氣中的臭氧可經下列反應路徑分解： slow ) g ( O NO ) g ( NO ) g ( O 2 2 3 + ⎯→ ⎯ + fast (g) O NO(g) O(g) (g) NO 2 2 + ⎯→ ⎯ + 請寫出全反應。（1 分） 那個是催化劑？（2 分） 那個是中間產物？（2 分）

求∫ − − +

) 1( 1 dx x x 。（15 分） 假設 為一個2 次多項式，且滿足 ) (x p 2 )1 ( − = − p 。如果∫ + 2 3 )1 ( ) ( x x dx x p 為一個有理函 數，試求 )1 (− dx dp 。（10 分） 二、設 ，求 2 3 3 ) , ( y x y x f + = ) , ( y x f 在 上之極大值與極小值。（15 分）

2 2 2 = + y x 三、本大題所用之重力加速度之大小請用g 表示。 質量均為M，半徑均為R 的均勻實心球與圓環（環之厚度可以忽略），分別從一 高度為h，坡度為30 度的斜面上滾下來（沒有滑動），求當它們抵達地面時的 質心速率。（10 分） 如圖，欲從質心之處施以一水平之力F（如箭頭所示），將一質量為M，半徑為 R 之均勻圓盤滾上一高度為3R/4 的階梯，求F 之最小值。（5 分） F 3R/4 R 四、在一半徑為R之長圓柱體（長度>>R）內有電流I流過。設圓柱體內的電流密度是均勻分 布的，請求出在距離長圓柱體之中心軸r處之磁場之大小以及單位長度之該圓柱體中以 磁場形式所儲存的能量大小。（圓柱體中的導磁性permeability為µ0）（15 分）

分別選出下列兩小題中沸點最低者，並以分子間的作用力解釋為什麼在三個分子中 其沸點最低。 N2, O2, NO。（5 分） (CH3)2CHNH2（isopropylamine）, CH3CH2CH2NH2（propylamine）, (CH3)3N （trimethylamine）。（5 分） 99年專門職業及技術人員高等考試律師、會計師、不 動產估價師、專利師、民間之公證人考試、99年第二 次專門職業及技術人員高等考試社會工作師考試試題 代號： 類 科： 專利師 全一張 （背面） 70140 | 71240 六、畫出下列分子的路易士結構式（Lewis structure）並決定氧原子在每一個分子的氧化 數（oxidation number）與式電荷（formal charge）。 CO（路易士結構式符合八隅體規則） （5 分；結構式3 分，氧化數與式電荷各1 分） NO（路易士結構式不符合八隅體規則） （5 分；結構式3 分，氧化數與式電荷各1 分） 七、碳酸鈣（CaCO3, M = 100 g/mol）在900 ℃分解成氧化鈣與二氧化碳的平衡常數為 1.04。 CaCO3(s) CaO(s) + CO2(g) 04 .1 atm P K 2 CO = = 若於室溫將10.00 g碳酸鈣置入一5.00 L的封閉容器後加熱至900 ℃，求此反應達到平 衡時，未分解的碳酸鈣的質量。（氣體常數，R = 0.0821 atm·L·K-1·mol-1）（10 分）

求 )1( f ′ 之值，其中 ∫ = 3

) ( x x t dt e x f 。（20 分） 二、求重積分 dA y x 2 ． ∫∫Ω 之值，其中Ω代表直線 y x = , y x − = , 1 = x 包圍之區域。 （20 分）

一均勻的圓盤，質量M，半徑R；在其中心軸上距離圓盤中心點l處，有一質量m 的質點。 求該系統的重力位能，設兩者相距無窮遠時的位能為0。（5 分） 設該圓盤及質點的初速均為0，求該質點被吸引至圓盤中心點時，兩者的速度及 彼此的相對速度。（10 分）

同心的兩個導體球殼，其內外徑分別為a 及b，球殼本身的厚度可忽略。 若在兩球殼之間置入介電係數ε 的介電質，則形成一電容器，求其電容值C。（5 分） 若在兩球殼之間置入導電係數σ 的電阻材料，則形成一電阻器，求其電阻值R。 （5 分） 求上述及中電容C 及電阻R 之間的關係。（5 分）

利用定域電子鍵結模型（Localized Electron Bonding Model）預測下列分子之結構形 狀（12 分）；並判斷該分子呈現極性或非極性性質（6 分）。 BeCl2 NH3 CH4 SeF4 AsF5 IF5 六、將一重0.4468 克之鐵礦（含有Fe2+, Fe3+）溶於酸性溶液中，再以1.600×10-2M 之 KMnO4溶液滴定，需消耗50.00mL 之KMnO4溶液才達滴定終點，試回答下列問題： （提示：Fe 之原子量55.85） 鐵礦用酸性溶液處理的意義何在？（5 分） 決定鐵礦中鐵的質量百分比。（7 分）

設         97 , sin ) 97 ( 97 , sin ) 97 ( ) ( 3

x x x x x x x f   試求 ) (' 98 f 及 ) (' 97 f 。（10 分） 試求 98 96 ) ( dx x f 。（10 分） 二、設g(x, y, z)=x4e3yz 試求g(x, y, z)在點(1, 0, -1)的最大遞增方向及方向導數的最大值。（10 分） 設為介於兩圓x2+y2=1 及x2+y2=4 之間的環形區域。 試求重積分    dA y x )1

( 2 2 之值。（10 分） 三、如圖，半徑4 以內為一均勻帶電球，總帶電量為10 庫侖。半徑6 處為一薄帶電球殼， 上有2 庫侖電荷。請計算空間的電場E(r)和電位V(r)，0 < r < ∞，並繪圖表示。（15 分）

ㄧ個圓盤（半徑R 質量M、轉動慣量MR2/2）在靜摩擦係數為0.3 的斜面下滾，斜 面與水平夾角為θ。若要圓盤只能滾動，不可滑動。請問斜面的傾斜角θ 之最大值為 何？（15 分）

請問由75 ml, 0.020M 的氯化鋇（BaCl2）水溶液與125 ml, 0.040M 的硫酸鉀（K2SO4） 水溶液所混合而成的溶液中含有之Ba+2 離子及SO4 -2 離子的濃度各為多少? （BaSO4 的濃度積（Ksp）為1.5×10-9，且K2SO4 只會解離成K+及SO4 -2 離子）。（10 分）

寫出四個與氬氣（Argon）有相同電子組態的主要元素離子（8 分）；並排出這些離子 的大小順序。（2 分）

所謂電解電池（electrolytic cell）是利用電能來產生化學反應，進而合成我們所需要 的材料。請寫出兩個商業化的電解電池之陰、陽兩極的反應及電池全反應。（10 分）