控制系統考古題｜歷屆國考試題彙整

已知一閉迴路系統之特性方程式為 3

7 17 15 0 s s s     。 試運用羅斯赫維茲準則（Routh-Hurwitz Criterion），判定是否其極點皆 穩定且位於左半開平面。（10 分） 試運用羅斯赫維茲準則輔以變數變換，判定是否所有極點皆位於 2 s 之左半開平面。（10 分） 二、考慮如下圖一之回授控制系統 圖一 試求出轉移函數（transfer function） ( ) ( ) Y s D s 。（10 分） 若 ( ) ( 2) s s    、( ) ( 1) s s   、( ) ( ) 1 s s m     、 0 n ，系統輸出Y(s) 能成功排除干擾訊號 1 ( ) k D s s  ，試判定k 之最大值。（10 分） D(s) R(s) + _ Y(s) + +

考慮如下圖二之回授控制系統 圖二 試求出此閉迴路系統之特性方程式（characteristic equation）。（5 分） 試運用根軌跡（Root Locus）法分析k 自0至之根軌跡，計算並標示 0 k  時之出發角（departure angle）、k 時之到達角（arrival angle）、 虛軸交點（imaginary axis crossing）、分離點（breakaway/break-in points） 及其對應之k 值與座標。（15 分） 試繪出k 自0至之根軌跡並判定閉迴路系統穩定之k 值範圍。（10 分）

考慮如下圖三之回授控制系統 圖三 試繪出此開迴路系統之波德圖（Bode plot）。（10 分） 試繪出此系統之奈奎斯特圖（Nyquist plot）。（10 分） 試運用奈奎斯特法則（Nyquist stability criterion），判定此系統之穩定度。 （10 分） R(s) Y(s) + _ R(s) _ Y(s) +

回授控制系統方塊圖如下圖所示，其中輸入訊號為r(t)、輸出訊號為y(t)， 外界干擾訊號為d(t)。（每小題10 分，共20 分） 設計控制器M(s)的轉移函數，以減少外界干擾訊號d(t)的影響，使輸 出訊號y(t)完全獨立於d(t)。 若輸入訊號r(t)為單位步階訊號時，閉迴路系統的最大超越量 （maximum overshoot）和峰值時間（peak time）分別為30%和0.2 秒。 當控制器M(s)如設計時，求L1 和L2。

單位負回授控制系統的開迴路轉移函數為：（每小題10 分，共30 分） ( ) ( 3)( 8) F G s s s s    ， 0 F≧ 使用奈奎斯特（Nyquist）準則，求F 的範圍使閉迴路系統穩定，以及 閉迴路系統為臨界穩定時之振盪頻率。 使用羅斯（Routh）準則，驗證之答案是否相符。 求F 的值，使閉迴路系統的相位裕度（phase margin）為45 度。 + r(t) d(t) y(t) 10 + M(s) + +

對二階動態系統設計包含控制器和觀測器的組合補償器，控制器的規格 為臨界阻尼（critically damped）且自然無阻尼頻率（natural undamped frequency）是10 rad/sec，觀測器的規格亦為臨界阻尼且自然無阻尼頻率 是15 rad/sec，此二階動態系統如下：（每小題10 分，共20 分）   1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 5

2 ( ) ( ) 1 0 ( ) x t x t u t x t x t x t y t x t                                   求控制器增益。 求觀測器增益。 四、考慮如下之二階動態系統：（每小題10 分，共30 分）   1 1 2 2 1 2 0 0 a b x x u a b y c c x                      什麼條件下此動態系統為有界輸入有界輸出（BIBO）穩定，但卻非漸 進（asymptotically）穩定？ 在之條件下，此動態系統是否為可控制（controllable）或可穩定 （stabilizable）？ 在之條件下，此動態系統是否為可觀測（observable）或可檢測 （detectable）？

考慮一個二階線性系統，輸入為( ) u t ，輸出為( ) y t ，並給定初值 0 (0) y y  ， 0 (0) y v   ，系統方程式如下所示： ( ) 4 ( ) ( ) ( ) y t y t y t u t      , 0 t  再令( ) Y s 與 ( ) U s 分別為輸出與輸入的拉普拉斯轉換（Laplace transform）。 若( ) ( ) ( ) Y s H s U s  ，求轉移函數 ( ) H s ？（5 分） 令( ) 4 ( ) ( ) u t y t c t   ，( ) C s 為( ) c t 的拉普拉斯轉換， 若( ) ( ) ( ) Y s G s C s  ，求 ( ) G s ？（5 分） 若( ) cos 2 c t t  ，則當t 時，輸出為( ) cos( ) y t A t     ， 求A、與各為何？並說明為何( ) y 與初值 0y 與 0v 無關。（15 分）

考慮下列之單位負回授系統： 其中 1 ( ) ( 2)( 5) s G s s s s     。 畫出 0 K  的根值軌跡圖（root locus），可簡略標示但必須包括此軌跡 與虛軸交點之位置、在實軸上的分離點、以及漸近線。（15 分） 當K   時，系統具有兩個純虛根以及一個實根s   ，求與各為 何？（6 分） 當系統為穩定時，K 值的範圍為何？（4 分） G(s) K +  U(s) Y(s)

給定系統狀態方程式如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t u t y t t    x Ax b cx 其中輸入為( ) u t ，輸出為( ) y t ，系統狀態向量( )t x 以及系統矩陣A、b 與 c 分別為 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) x t t x t x t           x , 1 0 1 0 2 1 1 0                A , 0 1 0      b ,   0 0 1  c 當( ) 0 u t  時，若此系統為穩定，求的範圍為何？（5 分） 此系統是否具有狀態可控性？請說明理由。（5 分） 此系統是否具有狀態可觀測性？請說明理由。（5 分） 當 1 時，此狀態方程式可化為三階微分方程式如下： 2 1 0 2 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t a y t a y t a y t b u t b u t b u t            求係數 2 a 、 1a 、 0 a 、 2b 、1b 與 0b 各為何？（10 分）

考慮一個離散型系統，輸入為[ ] u k ，輸出為[ ] y k ，方程式如下： [ 3] 0 45 [ 2] [ 1] 0 54 ( ) [ 1] 0 5 [ ] y k . y k n y k . y k u k . u k          其中n 為常數， 0 1 2 3 k , , , ,  。 令( ) Y z 與 ( ) U z 分別為輸出與輸入的z 轉換（z transform），則此系統的 轉移函數為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y z Q z H z U z P z   ，其中( ) P z 與( ) Q z 為z 的多項式函數， 求( ) P z ？ ( ) Q z ？（8 分） 當n   時，此系統有一個特徵根為0 75 . ，求？（5 分） 當n   時，此系統是否為穩定？請說明理由。（5 分） 若n   且[ ] 1 u k ，則當k 時，[ ] y k   為常數，求？ 並說明為何[ ] y k 為常數。（7 分）

一動態系統由下列兩微分方程式組成 1 1 1

1 2 ( ) ( ) M b k F              2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 0 M b k              若狀態變數定義成 1 1 2 x     、 2 1 x  、

2 x   、

2 x  ，系統輸入為 u F  以及系統輸出為 2 y   。推導求出此系統之狀態方程式 X AX Bu    及輸出方程式y CX  ，其中 1 2 3 4 [ ]T X x x x x  。求A、 （10 分）B（3 分）及C。（2 分） 推導求出此系統之轉移函數( ) ( ) ( ) ( ) y s N s u s D s  ，求 ( ) N s 及 ( ) D s 。 （各5 分，共10 分） 二、一系統之轉移函數表示成 2 2 2 ( 2) ( ) ( ) 2( 2 ) n n n s y s u s s s        ，其中0 1   。推導求 出此系統之步階響應（Step response）( ) y t ，若( ) 1 cos( ) Ct B y t e Dt E A    ， 求A、B、C、D 及E。（各5 分，共25 分） 三、一回授系統如下圖所示： 其中 2 10 ( ) 2

G s s s   、( ) P I k s k C s s   以及誤差信號E 定義成E R Y  。 推導求出( ) / ( ) Y s W s 之轉移函數。（3 分） 推導求出( ) / ( ) Y s R s 之轉移函數。（2 分） 推導求出( , ) P I k k 讓回授系統穩定的條件。（10 分） 在之前提下，推導求出針對系統輸入信號R 的系統型態（System type with respect to input）。（4 分） 在之前提下，分別推導求出穩態誤差信號值，若 1 ( ) R s s 、 2 1 ( ) R s s  、 3 1 ( ) R s s  。（各2 分，共6 分） 四、一回授系統如下圖所示： 其中 2 3 ( 10) ( ) s G s s   、 ( ) C s K  。 依奈奎斯特圖法繪製此回授系統之奈奎斯特圖（Nyquist plot），其中 0 K 。（12 分） 由之奈奎斯特圖，求出讓回授系統穩定之K 的條件。（8 分） 由與之結果，當 10 K  時，求系統之增益邊際（Gain margin）。 （5 分）

有一線性非時變系統之動態方程式如下所示：       0 1 0 1 1 1 t t u t a b y t t               x x x 且系統狀態之初值為 0      x 。 令a、b、與為給定之常數，並利用拉普拉斯轉換（Laplace transformation）之技術可求得    Y s H s U s G s   ，其中U(s)與 Y(s)分別為輸入u(t)與輸出y(t)的拉普拉斯轉換式，試求出  H s 及  G s 。（16 分） 若 1 與 0 ，且系統輸入為 1 u t ， 0 t ，若所求得之輸出可表示 為   

5

J s Y s s s s    ，試求出a，b，與 J s 。（9 分） 二、已知一閉迴路系統方塊圖如下圖所示： 其中  2 1 1 s G s s   且  Y s H s R s  。 求  H s =？（9 分） 若此閉迴路系統為穩定，且有一特徵根為1 時，則 1 K 與 2 K 之關係式 為何？（8 分） 於條件下， 2 K 之範圍為何？（8 分） G(s) Y(s) R(s) +  三、已知一單位負回授系統之方塊圖如下圖所示： 其中  2 2 2 2 s G s K s s     ，0 K  。 請畫出根值軌跡圖（root locus plot），並標示極點與零點。（5 分） 在極點上的離開角（departure angle）為何？（5 分） 根值軌跡進入實軸之分離點（break-in point）為何？（5 分） 此分離點所對應的K=？（5 分） 閉迴路系統穩定時，K 值範圍為何？（5 分）

考慮一倒立單擺，如下圖所示： 其中 x t 為台車的位置，t  為單擺的旋轉角度， F t 為推動台車的外 力。當t  很小時，其動態方程式可表為        2 1 2 1 1 1 0 2 3 2 M m x t mL t F t mLx t mL t mgL t                  為了利用外力  F t 將此倒立單擺控制在垂直角度 0 t   ，通常將此動 態方程式簡化為下列之微分方程式：    1 2 t a t a t bF t         ， 其中輸入為  F t ，各常數係數 1a 、 2a 、b可由M 、m、L、g 來表示。 請利用M 、m、L、g 來表示 1a ， 2a ，與b。（9 分） 當  0 F t  ，即在無外力之情況下，請根據 1a 與 2a 來判斷系統是否穩 定，並說明理由。（6 分） 為了控制單擺至垂直角度 0 t   ，設計    1 2 F t k t k t      來達到 控制目標，若受控後之系統穩定特徵根為與，請利用 1a 、 2a 、b、 、來表示 1k 與 2k 。（10 分） (t) g (重力加速度) M m, L F(t) x(t) 台車質量M 單擺質量m 單擺長度L G(s) Y(s) R(s) + 

系統之轉移函數（transfer function）為 3

2 ( ) 2 8 6 s T s s s s     ， 當輸入為一單位脈衝函數（unit impulse）時，求其系統響應的最終值 為何？（5分） 若加入單一負回饋（unity negative feedback）系統，其閉環路輸入為一 單一步階輸入（unit step input）時，求其系統響應的最終值為何？（5分） 二、考慮系統 1 1 2 2 ( ) ( ) 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 x t x t u t x t x t                            及   1 2 ( ) ( ) 1 1 ( ) x t y t x t        。 求此系統之轉移函數（transfer function）。（10分） 當此系統的輸入為u(t) = 0 for t 0，初始條件為 1(0) 1 x 及 2(0) 2 x  。 求系統狀態 1( ) x t 及 2( ) x t 。（10分） 三、 3 2 ( ) (1 ) ( 1) (1 ) s G s s s s             為單一負回饋（unity negative feedback）系統的開環路轉移函數（open loop transfer function）。若此一 閉環路系統為穩定且其單一步階輸入（unit step input）之穩定誤差 （steady-state error）必須小於或等於0.02，求值的可能範圍。（請明確指 出如何滿足需求）（20分）

考慮PID 控制系統如下圖： 其中PID 控制器 2 ( 6 10) ( ) c K s s G s s    及系統 2 1 ( )

G s s s    。 請畫出以K 為增益的系統根軌跡圖。（15分） 若想使安頓時間（settling time）再縮短些，請問如何改變PID 控制器？ （10分） Controller Gc(s) Plant G(s) Y(s) R(s) − + 五、一系統的波德圖（Bode plot）如下，請明確指出如何從圖中得出下列問 題的答案： 求此系統的型態（system type）。（5分） 估測此系統的誤差常數（error constant）。（5分） 求此系統的根軌跡圖（root locus）中，有幾條漸近線（asymptotes）？ （5分） 估測此系統的邊際角度（phasemargin）及邊際增益（gain margin）。（10分）

已知一單位負回授系統之開路轉移函數（open-loop transfer function）為

2s 9 G(s) s 2s 11 + = + + 。 求此系統之閉迴路轉移函數（closed-loop transfer function）為何？（5 分） 若此閉迴路系統之脈衝響應（impulse response）為 Bt Ae sin(Ct ) − + θ ，求 A、B 、C 及θ為何？（20 分） 二、已知一回授系統如下圖所示： 其中 2 1 G( )s s = 、 1 C( ) 9 s s K s + = + 。 根據勞斯穩定準則（Routh’s stability criterion），求使閉迴路系統穩定 之K 值區間。（5 分） 根據根軌跡圖法（root-locus method），畫出 0 ≥ K 的根軌跡圖。（8 分） 由所畫的圖，請回答當 ∞ → K 時，回授系統的根的值。（6 分） 由所畫的圖，請回答當 0 > K ，回授系統重根時K=？重根為何？此 重根點處的離開角（departure angle）為何？以及抵達角（arrival angle） 為何？（6 分） C(s) G(s)

已知一回授系統之閉迴路轉移函數為 2 2 2 T( ) 2 n n n s s s ω = + ζω + ω ，其中0 1 < ζ ≤。 若頻寬（bandwidth）， BW ω ，可表示成 BW D E F ω = + ，求D（5 分）、 E（10 分）以及F（10 分）。

若一可控且可觀察動態系統（controllable and observable dynamical system）之狀態方程式表示為 u b Ax x + = & 、輸出方程式表示為 cx = y ，其 中 1 n R × ∈ x 、 n n R × ∈ A 、 1 n R × ∈ b 、 1 n R × ∈ c 。若估測器（estimator）設計成 y u ˆ ( ˆ l x ) l + + − = b c A x& ，其中 1 ˆ n R × ∈ x 、 1 Rn× ∈ l 。以估測器為基礎之狀態回 授控制器（estimator based state feedback controller）設計成 x kˆ r u − = ，其 中 1 R n × ∈ k 。 請回答系統可控的條件為何？（2 分） 請回答系統可觀察的條件為何？（2 分） 請回答估測器增益向量l 的設計條件為何？（3 分） 請回答狀態回授控制器增益向量k 的設計條件為何？（3 分） 請推導證明，以估測器為基礎之狀態回授控制設計方法中，估測器增 益向量l 與狀態回授控制器增益向量k 是可以分別設計之。（15 分） R R R )xˆ

22240 二、設一動態系統可表示為下式，試求其轉移函數)()()(sUsYsG=。（25 分）[]xxx 051043 20=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=•yu三、設一動態系統之轉移函數為 3410 )(2++=sssG，試求其狀態轉移矩陣)(tΦ。（25 分） 四、設一動態系統之特性方程式為：075. 1475 . 6725 . 6125 . 319234 56=++++++Kssssss試求令此系統維持穩定狀態之K 值範圍，並求其臨界穩定狀態下之系統振盪頻率值。（25 分）

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-270 -180 -90 0 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 一、考慮一單位負回授三次系統，開路轉移函數G(s)之波德圖如下： 已知三個轉角頻率分別為2 rad/sec、10 rad/sec 與50 rad/sec，增益交越頻率（gain crossover frequency）為10.6 rad/sec，相位交越頻率（phase crossover frequency）為 24.9 rad/sec。 試計算此系統之相位邊限（phase margin）。（10 分） 若增益邊限（gain margin）為13.4 dB，試求G(s)。（15 分） 二、考慮下列之串聯系統： ) ( 2 ) ( ) ( 5 ) ( 3 ) ( t z t z t y t y t y − = + +    ) (

) ( 3 ) ( 4 ) ( 4 ) ( t u t u t z t z t z + = + +    若輸入 1 ) 2 sin( ) ( + = t t u ， 0 ≥ t ，試求 ∞ → t 時之輸出y(t)。（25 分） 106年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 全一張 （背面） 等 別：高考二級 類 科：電力工程 科 目：控制系統 三、已知一單位負回授系統之方塊圖如下所示： 其中開路轉移函數為 )

)( 3 )( 1 ( ) ( + + − = s s s K s H ) 0 ( > K 根據勞斯穩定準則（Routh’s stability criterion），試求使閉路系統穩定之K 值區間。 （9 分） 當閉路系統為臨界穩定且產生振盪時，試求其特徵根。（6 分） 當系統之特徵根具有重根時，試求相對應的K 值。（10 分） 四、考慮一系統如下： ) ( ) ( 2 ) ( t u t y t y = +   其中初值為 3.0 ) 0 ( = y ， 0 ) 0 ( = y ，為了將輸出 ) (t y 控制為定值1，設定輸入為 )) ( 1( 10 ) ( ) ( t y t y k t u − + =  ， 0 > t 。 當k = 0 時，試求 ) (t y ， 0 ≥ t 。（10 分） 當k = 0 時，計算 ) (t y 的最大值。（9 分） 若要讓輸出滿足 1 ) ( < t y ，試求k 值的範圍。（6 分） H(s) + r(t) y(t)

考慮一個單一負迴授系統，其迴路內順向路徑轉移函數為))(2(30psss++，p為可調整的系統極點。若輸入為單位步階函數，求使得控制系統穩定的p值範圍。（25 分）

給定下列狀態變數方程式，若輸入)(tu為單位步階函數，初始條件)0(1x和)0(2x皆為0，求解輸出時間響應)(ty。（25 分）)(10)( 3210 )(tutxtx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=&；[])(12)(txty=三、對於如下以狀態變數方程式表示的控制系統，令輸入函數為狀態變數迴授，亦即)()()( 2211 txKtxKtu−−=。若指定閉迴路控制系統的極點為2−和2−，求出適當的1K與2K 。（25 分）)(10)( 2110 )(tutxtx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=&四、考慮一個單一負迴授控制系統，其迴路內順向路徑有一受控體，其轉移函數為)1(1+ss，在此受控體前串聯一個比例-微分補償器sKKsCdp +=)(。若要求本系統對於步階輸入函數的時間響應，在2 秒鐘時達到穩定狀態，且系統響應的峰值時間為2π秒，求適當的pK 與dK 。（此處的穩定狀態是指輸出響應都在終值的百分之二誤差以內）（25 分）

有一動態系統之方程式如下所示：⎩⎨⎧−=++=+)()()(5)(4)()()(3)(tututztztztztyty&&&&&其中輸入為u(t)，輸出為y(t)，求此系統之轉移函數（transfer function）為何？（10 分）此系統之極點（pole）與零點（zero）為何？（5 分）此系統之脈衝響應（impulse response）為何？（10 分）

一動態系統之方塊圖如下所示：其中x1(t)、x2(t)與x3(t)為狀態變數，輸入與輸出分別為u(t)與y(t)。若以狀態空間描述法表示，可寫為)()()(tutxtxbA+=&)()(txtyc=其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(321txtxtxtx為系統狀態，A 為方陣，b 為行向量，c 為列向量，則方陣A，行向量b 與列向量c 各為何？（10 分）此系統是否具有可控性？（5 分）此系統之轉移函數為何？（10 分）u(t)y(t)+x3(t)∫+4x2(t)∫−2+x1(t)∫5− 3104 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題代號： 21740

有一單位負回授系統，具開迴路轉移函數 01223 )(asasasKsG+++=當0≥K時，其根值軌跡如下圖所示：求2a 、1a 與0a 各為何？（5 分）當系統之根值為純虛根時，=K？（8 分）當系統之根值為重根時，求此重根為何？=K？（12 分）

考慮下列之負回授系統：其中632)(232+++++=ssssssG且0≥K，則當0=K時，系統是否穩定？請說明判斷之依據。（5 分）當系統穩定時，K 的範圍為何？（10 分）在穩定的條件下，當1)(=tr時，穩態誤差)(∞e的範圍為何？（10 分）G(s)+r(t)y(t)Ke(t)−2 −1 0

給予系統的轉移函數如所示，試寫出其控制正規方程式。（25 分）G(s)= 011101 11......asasasbsbsbnnnnn+++++++−−−−二、給予系統的動態方程式)( 1008 )5(10tuxkx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=&[][ ])(006)(tuxty+=試求對於參數k 轉移函數之靈敏度。（25 分） 三、給予系統的特徵方程式如所示，試求閉合迴路系統穩定時pK ，IK 之範圍。（25 分）0)254()(21)(23=+++++=ssssKsKsTIp四、試求下列轉移函數之狀態模式。（25 分）2)1()8.0(5.0−+zzz

有一動態系統若採狀態空間描述法，其表示式如下：)()()(110)()()( 774200 010)()()( 132132 1txtytutxtxtxtxtxtx=⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡&&&其中輸入為)(tu，輸出為)(ty，狀態變數為)(1 tx、)(2 tx與)(3 tx，則：此系統之轉移函數（transfer function）為何？（15 分）此系統之脈衝響應（impulse response）為何？（10 分）

考慮一動態系統如下：其中開迴路轉移函數為)22)(1()4()(2++++=ssssKsG，0≥K則：當系統穩定時，K 的範圍為何？（10 分）畫出0≥K時之根值軌跡圖（root locus）。（15 分）

有一數位系統之差分方程式表示如下：]3[]1[2]3[241]2[241]1[][−+−=−+−−−+kukukykykayky若所有的初值皆為0，且輸入1][=ku，,...2,1,0=k，則：已知此系統具有一特徵根25.0−，求=a？（5 分）此系統是否為一穩定系統？（5 分）此系統之輸出][ky為何？（15 分）r(t)y(t)G(s)+-102年公務人員高等考試一級暨二級考試試題代號： 22240

當0≥t時，考慮一動態系統如下：其中受控系統為541)(2−++=ssssP，固定輸入為4)(=tr，輸出為)(ty，誤差量為)()()(tytrte−=，控制器為)(sC，則：當pKsC=)(時，為滿足1)(≤e，求pK 的最小值為何？（10 分）當sKKsCIp +=)(時，為使系統穩定，選定閉迴路系統的三個特徵根為2−、3−與a−，求：pK 、IK 與a各為何？（10 分）穩態誤差)(e為何？（5 分）r(t)y(t)C(s)+-P(s)e(t)∞∞

如圖一所示，給予系統的狀態變數值，試寫出其動態方程式。（25 分） 10 S 1 S 1 S 1 x2 x1 x3 u 1 y -12 -44 -48 圖一

如圖二所示，為有補償與未補償系統之尼可氏圖，試問： 每個系統之諧振大小為何？（8 分） 每個系統之增益邊際與相位邊際為何？（8 分） 每個系統之頻寬為何？（8 分） 使用何種型態之補償？（1 分） D(s)G(s) 圖二 101年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 電力工程 全一張 （背面） ) (

一個線性回饋控制系統其方塊圖如圖三所示，利用方塊圖簡化法則，試求閉迴路轉 移函數 R s ) ( / s Y 。（25 分） - - - + + + + Y + H2 G4 G3 G2 H1 G1 R 圖三

試求下列差分方程式之解： ) 2 ( ) ( 25 .0 )1 ( ) 2 ( + = + + − + k u k x k x k x 其中 1 ) 0 ( = x ； 2 )1( = x ，u(k) 為單位步級序列。（25 分）

99 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題代號： 22640 1G2G3G41H1Y2Y1U1 G1G(s)H(s)Y(s)U(s)+一、考慮一回饋系統，其信號流程圖（signal flow graph）表示如下：請利用G1、G2、G3、G4 與H 表示下列之轉移函數：系統輸出Y1 對輸入U 之轉移函數Y1/U。（10 分）系統輸出Y2 對輸入U 之轉移函數Y2/U。（15 分） 二、假設有一動態系統以微分方程式描述如下：( )( )( )( )( )( ) 2463 tututytytyty−=+++&&&&&&&其中u(t)為輸入訊號，y(t)為輸出訊號，且拉氏轉換（Laplace transform）分別為U(s)與Y(s)，則在不計初值的情況下，試求Y(s)/U(s)。（5 分）此系統之極點（pole）與零點（zero）各為何？（5 分）此系統之脈衝響應（impulse response）為何？（15 分） 三、有一回饋控制系統如下圖所示，若受控體為( )()()112+−=ssssG，回饋控制器為( )3+= sKsH，其中K 為常數，則此系統的特徵方程式（characteristic equation）為何？（10 分）利用魯斯準則（Routh’s criterion）決定使系統穩定的K 值範圍。（15 分） 四、考慮一動態系統，其狀態方程式為)()()(tuttbAxx+=&其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100, 213100 010,)()()()(321bAxtxtxtxt今已知此系統若是利用狀態回饋控制（state-feedback control），即可達到穩定控制的目的，因為此系統是一個可控系統。請說明如何檢驗此系統之可控性（controllability）？（10 分）令狀態回饋控制( )( )( )( )txktxktxktu 332211 −−−=，若要使受控後的系統具有穩定的特徵根（eigenvalues）分別為−1、−3+j 與−3−j，則k1、k2與k3的值為何？（15 分）

如下圖所示為一閉迴路控制系統。 找出增益K（K＞0）的範圍使得此系統為穩定。（10 分） ) 5 ( 5.2 + s s 1 0.1 1 + s 感測器 K 放大器 受控體 - + 假設增益K 設定為20，此外，假設感測器之時間常數為一般值而非給定的0.1 sec， 感測器的轉移函數為1/(τs＋1)，當時間常數τ＞0 時，找出能使系統處於穩定狀態 的時間常數允許範圍。（15 分）

考慮一個極小相位系統，其近似的轉移函數大小的頻率響應，如下圖所示。 -40 求出此系統的轉移函數G(s)。（10 分） 求出兩個增益交越頻率ωg1以及ωg2。（15 分）

如下圖所示，為一個線性系統的狀態圖，請給予系統的狀態變數值並寫出其動態方 程式。（25 分） 1 1 1 −s 1 2 1 −s 1 −s 1 1 Y U -1 -2 -1 -1 其中U 為輸入，Y 為輸出， 1 − s 為積分器。 98 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 電力工程 全一張 （背面）

考慮系統： [ ] . y u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 0 0 1 2 0 0 1 1 A , 0 0 1 ; 2 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 1 x x x& 找出A 的特徵值，且由此決定系統的穩定性。（8 分） 找出轉移函數模式，並由此決定系統的穩定性。（8 分） 這兩個結果相同嗎？如果不是，請說明理由。（9 分）

有一個單位回饋控制系統如下圖所示： 其中受控體為( ) 7 4s s 3 s s G

+ + + = ，控制器為( ) 1 s 1 s C + = ，則 此系統輸出對輸入的轉移函數（transfer function）為何？（10 分） 利用魯斯法則（Routh’s Criterion）判定此系統是否穩定？（15 分） 二、證明終值定理（Final Value Theorem）： 若 f(t) lim t ∞ → 存在，則( ) sF(s) lim f(t) lim f 0 s t → ∞ → = = ∞ ，其中F(s)=ℒ{f(t)}，即F(s)是f(t)的拉 普拉斯轉換（Laplace transform）。（15 分） 考慮以下四個函數的拉普拉斯轉換  ℒ ( ) { } ( ) ( )1 s s 7 s F t f 1 1 + = =  ℒ ( ) { } ( ) )1 s(s 2 s s F t f 2 2 2 + + = =  ℒ ( ) { } ( ) ( )

s s 7 s F t f 3 3 − = =  ℒ ( ) { } ( ) ( )2

4 1 s s 2 s s F t f + + = = 各函數的終值為( ) ∞ 1f 、 ( ) ∞ 2f 、 ( ) ∞ 3f 與 ( ) ∞ 4f ，其中那些終值可以利用終值定理 來計算？其值為何？（10 分） 三、給定系統的開路轉移函數（open-loop transfer function）如下： ( ) ( ) ( )( ) 2 s 1 s s K s H s G + + = 在複數平面上，每一個複數s 相對應於一點σ+jω，即s = σ+jω。 畫出∞>K≥0 時之根軌跡圖（root locus），在圖中必須標示極點、根軌跡與實軸 的交點、根軌跡與虛軸的交點等的複數值，以及這些點相對應的K 值。（15 分） 利用根軌跡圖說明系統的穩定性。（10 分） G(s) C(s) + + 輸入 輸出 受控體 控制器 97年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 電力工程 全一張 （背面） 四、給定系統狀態方塊圖（state block diagram）如下： 其中u 為系統輸入，y 為系統輸出，三個積分器的輸出由右至左分別為x1、x2與x3。 令狀態向量 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 x x x x ，若系統狀態方程式為 u b Ax x + = & ，輸出方程式為 cx = y ，其 中A、b 與c 之矩陣大小分別為3×3、3×1 與1×3，則A、b 與c 三個矩陣為何？ （15 分） 此系統是否具有狀態可觀測性（observability）？（10 分） 2 4 −2 −1 u y x1 x2 x3

單位回饋控制系統的回路轉移函數（loop transfer function）如下所示： L（s）= K（s+5）/ [s（s3+3s2+5）] 利用奈氏準則（Nyquist criterion） 決定K 值的大小以使系統穩定。（15 分） 若是系統不穩定，請找出閉回路轉移函數在右半平面的極點數目。（10 分）

有一系統包含零階維持（zero-order hold）、一受控體G（s）=1/（s2+3s）、取樣時 間T=0.1 秒、單位回饋（unity feedback）。 求G（z），使用ZOH 法。（5 分） 令控制器D（z）＝K，試求系統穩定下K 的最大值。（10 分） 假如D（z）＝K（z-0.2）/（z-0.8），試繪出其根軌跡圖（root locus）。（10 分）

試求下列系統的線性化方程式：（15 分） d2x/dt2＝-bdx/dt –p2sinx + qu, b＝0.25, p＝100, q＝1.0; 並以完全的線性化的狀態方程式來表示，令x1＝x, x2＝dx/dt。 若取樣時間T＝0.01 秒，試求其離散時間的模型近似即可，設x1（0）＝x2（0）＝0。 （10 分）

試詳細說明時變最佳控制器（time variant optimal control）與卡氏濾波器（Kalman filter）的用法，您可增加一些變數以方便說明。（25 分） 假設基本的系統如下： x（k+1）=Ax（k）+Bu（k）, y（k）=Hx（k） 控制器u（k）=-Kx（k）

假設一個系統的步階響應為： （10 分）)()2(1)(3teetstt1−−+−=其中 1(t)是步階函數。請計算此系統對輸入 u(t)＝cos(t)1(t) 的響應。

請證明一個型式2（type 2）的回授系統的步階響應（step response）一定有正的超越量（positive overshoot）。（10 分）

考慮下列回授系統，其中D(s)為控制器。（20 分）假設D(s)為比例型控制器，i.e., D(s)＝K。請畫出此回授系統對K＞0 的根軌跡。假設D(s) 是一個相位領先型的控制器（lead controller），pszsKsD++=)(且選定的閉迴路極點為－2± 2j 和－10。請選擇參數K, p,和z 使得系統閉迴路極點位於所選定的位置。請計算部分回授系統的位置誤差常數（position error constant）Kp 以及速度誤差常數（velocity error constant）Kv 。請約略畫出部分系統的極軌跡圖，考慮0＜K＜∞。請說明如何修正部分的設計，使穩態誤差減為原來的31 而暫態響應大約維持與原來設計接近。請說明你修正設計的根據。

請敘述奈奎斯穩定性準則（Nyquist stability criterion）。（10 分）九十二年公務人員升官等考試試題代號：等 別： 簡任升官等考試科 別： 電力工程科 目： 控制系統全一張（背面） 15830

請畫出下列轉移函數G(s)在頻率範圍 [0.1, 100] rad/sec 的波德圖（Bode plot）。（10 分）)10)(1(20)(++=ssssG六、考慮下列系統：（20 分）[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 321321 321011 , 101300 020001 xxxyxxxxxx&&&這系統是否可控？這系統是否可觀？計算這系統的轉移函數。計算此系統的控制型標準實現（control canonical form realization）。 七、考慮下列方塊圖，請計算從r 到y 的轉移函數及從r 到e 的轉移函數。其中G1, G2,G3, G4 均為開路轉移函數。（20 分）

若F(z)為{f(k)}的z-轉換，試推導下列式子：（20 分）)()1(lim)(lim1zFznfzn−=→∞→二、考慮下列系統)(210)( 122167 123230 )1(kukxkx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=+試問：該系統是否〝可到達的(reachable) 〞。（10 分）該系統是否〝可控制的(controllable) 〞。（10 分） 三、在下列控制系統中，若R(s)為單位步階函數，試求輸出響應C(kT)。（20 分） 四、試求下列系統之線性化方程式：（20 分）uxxxx=++&&&&五、解釋下列名詞之意義：跳躍諧振(Jump Resonance)。（10 分）極限環(Limit Cycle)。（10 分）