數位信號處理考古題｜歷屆國考試題彙整
橫跨多種國家考試的數位信號處理歷屆試題（選擇題 + 申論題）
年份：
電子工程 10 題
請以雙線性轉換法（Bilinear Transform Method）設計二階數位Butterworth 帶通
（Band-pass）濾波器，並滿足以下之規格需求：
帶通下限截止（Lower Cutoff）頻率 = 210 HZ
帶通上限截止（Upper Cutoff）頻率 = 330 HZ
取樣（Sampling）頻率 = 960 HZ
試以數位濾波器之轉換函數（Transfer Function）H(z)表示之，並簡略畫出其大小
（Magnitude）及相位（Phase）之頻域響應圖。（20 分）
假設
)
(n
x
為一11 點之資料序列（Data Sequence），
n
n
n
x
5
2.0
)
(
+
=
，
10
0
≤
≤n
（20 分）
試求出其Z-轉換（Z-Transform）
)
(z
X
，並說明其收斂區（Region of Convergence）。
試求出其離散傅立葉轉換（Discrete Fourier Transform）
)
(k
X
，並計算
)
5
(
X
之值。
假設
)
(n
x
為一8 點之資料序列（Data Sequence），
{
}
2
,1,5,2
,4,2,3,1
)
(
−
−
−
=
n
x
（20 分）
請將
)
(n
x
分段為等長之二序列，試以Overlap-add 技巧計算此濾波器之輸出結果。
請以直接線性旋積（Direct Linear Convolution）法比較其輸出結果。
有一離散時間（Discrete-time）系統，其轉換函數為：
)
8
1
1
)(
2
1
1(
)
1(
)
(
1
1
3
1
−
−
−
−
−
−
=
z
z
z
z
H
（20 分）
請以一階（First-order）為基本單元，試繪出串聯型式之實現方塊圖（Cascade
Realization Block Diagram）。
再以一階為基本單元，試繪出並聯型式之實現方塊圖（Parallel Realization Block
Diagram）。
茲有一連續時間序號
)
(t
x
，其頻譜如下圖所示
試繪出此
)
(t
x
訊號經取樣過後之頻譜，假設取樣頻率分別為：（20 分）
s
ω = 30 rad/sec。
s
ω = 50 rad/sec。
)
(ω
X
1
-20
0
20
ω (rad/sec)
請推導出6 點之decimation-in-time 快速傅立葉轉換 (fast Fourier transform；簡稱
FFT) 演算法，並畫出對應的信號流程圖 (signal flow graph)；請以矩陣型式 (matrix
form) 表示此演算法。（25 分）
假設x[n]為一很長之資料序列 (data sequence)，且令x[n]通過一有限脈衝響應濾波
器 (finite impulse response filter)，其中濾波器之脈衝響應長度為50。 （25 分）
請說明如何利用128 點之FFT 及overlap-add 技巧計算此濾波器之輸出結果。
請說明如何利用128 點之FFT 及overlap-save 技巧計算此濾波器之輸出結果。
假設一個穩定、線性非時變離散系統具有下列轉換函數 (transfer function)：（25 分）
2
1
1
75
.0
1
5.0
1
)
(
−
−
−
−
−
−
=
z
z
z
z
H
當此系統的輸入信號為x[n]=(0.5)nu[n]時，對應的輸出信號y[n]為何？
(※ u[n]為unit step sequence)
當此系統的輸入信號為
n
n
x
)
5.0
(
]
[
=
時，對應的輸出信號y[n]為何？
當此系統的輸入信號為x[n]=(0.5)n 時，對應的輸出信號y[n]為何？
已知一類比Butterworth 低通濾波器的轉換函數為
2
2
2
2
)
(
b
b
b
a
s
s
s
H
ω
ω
ω
+
+
=
請利用impulse invariance 方法求出對應的數位濾波器轉換函數，其中取樣週期為T。
（10 分）
已知一系統的轉換函數為
1
1
1
1
*
)
(
−
−
−
−
=
az
a
z
z
H
，其中a* 是a 之共軛複數且
1
<
a
；
請證明此系統為一all-pass 系統。
已知一causal、線性非時變離散系統具有下列轉換函數：
)
64
.0
1(
)
4
1
)(
5.0
1(
)
(
2
2
1
2
−
−
−
−
+
−
=
z
z
z
z
H
請將H2(z) 表示成一minimum-phase 系統Hmin (z) 及all-pass 系統 Hap(z) 的乘積，
亦即H2(z)=Hmin(z)Hap(z)；請分別求出Hmin(z) 及Hap(z)。（15 分）