數位訊號處理(DSP)考古題｜歷屆國考試題彙整

考慮圖一的系統方塊圖（system block diagram）：其中|a|<1 a b x[n] y[n] 1/Z 圖一：系統方塊圖 當輸入x[n]分別是以下兩種情形時：（每小題10 分，共20 分）  n je n x 0 ] [ ω =  where u[n] is an unit-step function. ] [ ] [ 0 n u e n x n j ． ω = 請找出輸出y[n]。

一個causal and stable system 的線性非時變（LTI）系統具有以下的轉換 函數：（每小題10 分，共20 分） 1 1 1 1 2 ( ) 1 1 1 1 2

Z H Z Z Z − − − − = ⎛ ⎞⎛ − − ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎞⎟⎠ 是否可能可以找到另一個causal 且stable 的系統，Hi(Z)，若存在有某 Z 能使H(Z)Hi(Z)=1，若是，請找出Hi(Z)的收斂區（region of convergence）。若否，請解釋為什麼？ 請找出 impulse response of a causal and stable system ] [n H A ，能使得 ) ( ) ( ω ω j A j e H e H =1，for all ω。（提示： 1 * 1 1 − − − − cZ c Z is all pass, which has constant magnitude response for all . ω The * denotes complex conjugation.） ) (t 三、何謂奈斯特取樣定理（Nyquist Sampling Theorem）？（20 分）

與 如圖二的系統所示。請針對下面兩種情況畫出（sketch） 並標記（label） 的傅立葉轉換：（每小題10 分，共20 分） ) ( Ω j X c ) ( ω je H yc 1/T1=2·104，1/T2=104 1/T1=104，1/T2=2·104 圖二

考慮x[n]，它的離散時間傅立葉轉換（DTFT）如圖三中所示。 ⎩ ⎨ ⎧ ∈ = = otherwise ,0 , ], [ ] [ Z k Mk n n x n xs and ] [ ] [ ] [ Mn x Mn x n x s d = = 當 且 ，請畫出（sketch） 與 。（20 分） 3 = M 4 / π ω = H ) ( ω j s e X ) ( ω j d e X 圖三

考慮由下列輸出-輸入線性差分方程式所描述的數位訊號與系統 y(n) = [x(n+1) + x(n – 1)]/2 請推導該系統之頻率響應函數H(ω) = ∑ h(n) e –jωn =Y(ω) / X(ω)。（10 分） 請根據上述結果，計算將下列訊號x(n)輸入上述系統所產生的穩態輸出 y(n)。 （10 分） x (n) = 5 + 4 sin(0.5nπ + 60。 ) + 3 cos(nπ), –∞≤ n ≤∞

考慮數位訊號ݔ(݊)，0 ≤ n ≤ N，ݔ(݊)的N 點傅立葉轉換ܺN(k) =∑ ݔ(݊) ேିଵ ௞ୀ଴ ݁ݔ݌ቀ ି௝ଶ஠௞௡ ே ቁ。 如果ݔ(݊)的週期為L，請推導傅立葉轉換ܺL(k)與ܺ2L(k)的關係。（10 分） 如果ݔ(݊)={0, 1, 0, 1, …}，請計算ܺ2(k) ={ ܺ2(0), ܺ2(1)}與ܺ4(k) ={ ܺ4(0), ܺ4(1), ܺ4(2), ܺ4(3)}來驗證上述關係，並請說明此關係的物理意義。（10 分）

假設數位訊號ݔ(݊)的Z 轉換為ܺ(ݖ) = ∑ x(n) ݖି௡。請推導（並以ܺ(ݖ)來表示）訊號ݔ1(݊) = ݔ(2݊) 的Z 轉換。（20 分）

請解釋有關於有限頻帶訊號數位化之取樣定理。（5 分） 請分別於時間域與頻率域，繪圖說明違反上述取樣定理所造成的重建訊號失真現 象。（10 分）

考慮因為衛星影像拍攝過程為每一列影像像素分別擷取，並且有相當的時間差異， 因此造成影像中有橫紋干擾的現象（如下圖左，右側為局部放大圖）。 請解釋上述橫紋干擾於頻率域的位置分布。（10 分） 請提出可以有效消除上述干擾，但不影響原有景物影像的方法。（10 分） 請說明使用局部平均(例如5×5 local averaging)來消除此干擾的缺點。（5 分）

考慮移動平均濾波器（moving average filter）：∑−=−++21][ 1121 NNkknxNNy[n]=，其中x[n]與y[n]分別為輸入與輸出訊號，N1 與N2 為正整數。證明該濾波器之頻率響應（Frequency response）可表示為：（10 分）[]2NNjω 2121 jω12eω/221NN1NN1eH/)()sin(/)ω(sin)(−−++++=假設N1=0 且N2=4，求在頻率響應的大小)(jωeH為零時，對應在0 到2π間之ω值。（10 分）

考慮線性不隨時變系統(LTI)，若其輸入x[n]=u[n]，輸出][21=1nuy[n]1n+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−。求該系統脈衝響應之z 轉換H(z)，及其在z 平面上收斂範圍，並繪出zero 及pole點之位置。（15 分）求該系統脈衝響應h[n]。（5 分）

圖P3 為升降頻取樣系統，輸入訊號x[n]之傅立葉轉換（Fourier transform）為)(jωeX，系統頻率響應為)(ωjeH，L 與M 為正整數。求輸出訊號y[n]之傅立葉轉換)(jωeY。（20 分）

當離散傅立葉轉換(DFT)X[k]的長度N 為偶數，請證明其反向離散傅立葉轉換(IDFT)x[n]，可以表示為具半數負指標的和，即下列等式成立。（20 分）∑−−==12N2NkknN2jekXN1nx//)/(][][π五、考慮常係數差分方程式（Difference equation）定義為0nx1nayny=−−−][][][。假設][][nKnxδ=，輔助條件y[-1]=c，其中a, K, c 為任意常數。求該差分方程式的解y[n]。（20 分）圖P3圖P3x[n])(ωjeHy[n]LM

) 6.0 )( 1 ( 5.0 ) ( − − = z z z z Y ，試求其反z 轉換（inverse z transform）y[n]。（20 分）

一數位濾波器之轉移函數（transfer function）有零點（zero）位於-2 及0.4，極點 （pole）位於 -7±j0.6，且此轉移函數之增益值（gain）為0.5，請回答下列問題： 繪出pole-zero 圖。（10 分） 試求H(z)。（10 分）

已知x[n] = u[n]－u[n－4]，請回答下列問題： 求其離散傅立葉轉換DTFT。（10 分） 當角頻率ω＝π時，求其振幅響應及角度響應。（10 分）

圖一為降頻取樣系統，輸入訊號x[n]，其離散傅立葉轉換表示為X [e jω]，試求輸出訊 號y[n]之離散傅立葉轉換Y [e jω]。（20 分） 圖一：降頻取樣系統

請設計移動平均濾波器（moving average filter），其振幅響應 -3dB 頻率為480 Hz， 取樣頻率為10 KHz。（10 分） 請說明FIR 濾波器與IIR 濾波器的差異。（10 分） H [e jω] x[n] ↓2 y[n]

已知離散脈衝函數（Discrete-time impulse function）0,00,1][nnn的離散時間傅立葉轉換（Discrete-time Fourier transform; DTFT）之定義如下：1][n及kkkkn]2[2][試求離散序列（Discrete-time sequence）5.2]2[5.2]5[5][nnnx]2[n]5[5n的離散時間傅立葉轉換（DTFT）jeX？（10 分） 試求函數]2.0cos[5]5.0cos[10][nnnh的離散時間傅立葉轉換（DTFT ）jeH，並繪出其振幅響應（Amplitude response）jeH？（10 分）

考慮ㄧ個由以下兩個差分方程式（Difference equation）所表示的系統：][9]2[][3][2]2[ 21211 nununynyny][5]1[6][4]1[ 1122 nunynyny其中，][1 nu與][2 nu為輸入訊號，][1 ny與][2 ny為輸出訊號。假設我們將輸出訊號定義為狀態（States），亦即][][11nynx，]1[]1[][112nxnynx，][][23nynx。假設向量Tnxnxnxn][][][]1[321x與Tnynyn][][][21y皆為行向量（Columnvector），此系統可以用向量/矩陣（Vector/matrix）方式以下面動態系統方程式來表示：][][]1[nnnuBxAx][][nnxDy請依上述推導出A、B 與D 三個矩陣之值為何？（15 分）

假設濾波器的z-轉換（z-transfer function）為9.01.0)(zzzH，若輸入訊號][6.0][nunxn。其中，][nu（Unit step function）定義如下：0,00,1][nnnu。 求輸出訊號][ny的 z-轉換)()()(zHzXzY。其中，)(zX為][nx的z-轉換。（10 分） 利用求得之z-轉換)(zY解出輸出訊號][ny及其初始值]0[y？（10 分） 請利用所謂的初始值特性（Initial-value property）求]0[y。（5 分）1 0 3 年公務人員特種考試警察人員考試103年公務人員特種考試一般警察人員考試103年特種考試交通事業鐵路人員考試試題代號： 20330

假設h[n], n=0,1,...,N-1為FIR（Finite impulse response）濾波器之脈衝響應（Impulseresponse），TjjjeeHeH為其對應之頻率響應（Frequency response）。 請說明如何設計具有線性相位（Linear phase）的FIR 濾波器？（10 分） 其中之α 值應如何選擇？（5 分）

請利用雙線性轉換（Bilinear transformation）趨近法將具三個根（Three poles）低通類比濾波器，來設計其對應的數位濾波器。假設取樣率fs為每秒鐘100取樣點（sample/sec），且此三個根分別為3/ 2110 jep ，jep102 及3/ 4310 jep 。 試求此低通類比濾波器的轉換函數（Transfer function）)(sHa？（10 分） 利用雙線性轉換設計的對應趨近數位濾波器的轉換函數（Transfer function）)(zH為何？（15 分）

若一線性非時變系統之輸入x[n]與輸出y[n]之關係如下列差分方程式 ]1 [ 3 1 ] [ ]1 [

1 ] [ − + = − − n x n x n y n y 試求此系統脈衝響應h[n]之傅立葉轉換 ) ( ω j e H 。（10 分） 若輸入訊號為一白雜訊（white noise）訊號，其自我相關函數（autocorrelation function） ，請表示出輸出訊號y[n]之自我相關函數 ] [ ] [ 2 n n x xx δ σ φ = ] [n yy φ 之頻率響 應 ) ( ω φ j yy e 。（10 分） 二、請計算離散訊號 ]1 [ )

1 ( ] [ ) 5 1 ( ] [ − − − − = n u n u n x n n 之z 轉換及其z 平面上收斂範圍，並 繪出zero 及pole 點之位置。（20 分） 三、請繪出八點x[0]~x[7] decimation-in-time 之快速傅立葉轉換（FFT）之Flow Graph。 （20 分）

如圖為降頻取樣系統，輸入訊號x[n]，其z 轉換表示為X(z)，試求輸出訊號y[n]之 z 轉換Y(z)。（20 分） H(z) x[n] ↓2 y[n] 降頻取樣系統

已知對一維離散訊號x=[x0, x1, .., x3]T之離散餘弦轉換（Discrete Cosine Transform） 公式為 ∑ ⎥⎦ ⎢⎣ + = = )k 2 (n 4 cos x X n 3 0 n k ⎤ ⎡ 1 π , k=0, 1, 2, 3。此運算式可表示為線性轉換 y = ATx，請表示出線性轉換矩陣 A。（10 分） 給予一影像訊號I ，請利用小題的線性轉換矩陣 A 表示影像 訊號I 之二維離散餘弦轉換。（10 分） ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 30 03 00 x x x x L M O M L

請寫出下列轉換（transform）之輸出入關係式。（25 分） Continuous-time Fourier transform Discrete-time Fourier transform Discrete Fourier transform Continuous-time Fourier series Discrete-time Fourier series

假設x［n］八個點的訊號經由FFT 轉換後，得到的結果為：（20 分） X［k］=［–3+2j, –2, 4–3j, 1, 1, 4+3j, –2, –3–2j］ 假設y［n］為x［n］的實數部分（real part），請求出Y［k］ 假設h［n］為x［n］的奇數函數（odd function），請求出H［k］

有八個FIR 濾波器，它們的脈衝響應（Impulse response）如下： h1(n)：［3, 1, 2, 1, 3］ h2(n)：［3, 1, 2, 0, 2, 1, 3］ h3(n)：［3, 1, 2, –1, –3］ h4(n)：［3, –1, 2, 0, –2, 1, –3］ h5(n)：［1, 2, –3, 3, –2, –1］ h6(n)：［4, 2, –3, –3, –2, –4］ h7(n)：［4, 2, –3, 4, 2, –3］ h8(n)：［1, 3, 2, –4, 6, 2］ 以上濾波器，何者為線性相位濾波器（Linear Phase Filter）？（15 分）

請算出x［n］= (–1/3)n u［n – 3］+ 4(1/2)n nu［n – 1］的z轉換（z-transform）。（ 20 分）

假設一個系統是BIBO（Bounded-Input Bounded-Output）穩定（stable）且它的Linear constant-coefficient difference equation（LCCDE）如下：（20 分） y［n］– 2.5y［n – 1］+ y［n – 2］= x［n］– 0.3x［n – 1］ 請找出此系統的頻率響應（Frequency response） 請找出此系統的脈衝響應（Impulse response） 假設x［n］= (0.5)n u［n］，請找出y［n］的輸出 假設x［n］= (–1)n，請找出y［n］的輸出

給一如下離散餘弦轉換公式（Discrete Cosine Transform：DCT）NNyxfjCiCNjiDxy2cos2cos),()()(2),(00=∑∑==jyixNN)12()12(111ππ++−−0=，在上式中，當i時，2/1)(=i1)(C，否則=iC；當時，0=j2/1)(=j1)(=C，否則jC；), y(xf代表位於位置的影像像素灰階值。請將上式作用於下列8),(yx8×影像，算出DCT 係數矩陣的直流（Direct Current：DC）值。（25 分） 102312 579223 022321 658121 123293 216117 030202 010014 234544 200502 210312 033412 006022 701202 102212 323706 916012 222241 269020 660212 252243 261492 216190

給N 個基底向量⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+++=NNiNNiNNiNNBi2)1)(12(cos2,,22)12(cos2,2)12(cos2,1πππL，10−≤≤Ni，試證明該N 個基底向量具有單位正交性（Orthonormality），亦即證明當時；當1,>=<tjti BBji =0,>=<tjti BBji ≠時，此處符號< , >表示內積（InnerProduct）運算。（25 分）98年公務人員特種考試警察人員考試、98年特種考試交通事業鐵路人員考試及98年公務人員特種考試民航人員考試試題 代號： 20250

令iNiiNeWπ2=為1 的基本根（Primitive Root）且滿足。從複數平面上的單位圓來看，滿足的N 個複數根分別為1=NNW1=NNW 1210 ,,,,1−==NNNNNNNWWWWWL。8=N時，傅利葉矩陣為⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛= 123424 636144 456724 672544 527464 276541 636423 218111 111111 111111 11111 WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWF在的矩陣中，為簡化起見，我們簡化為。因為，所以。給一輸入序列8FiW8iW 228288 8108 WWWWW==×=28]7,4[WF=Xv ，可利用XFNv 來完成傅利葉轉換，請詳細證明快速傅利葉轉換可在)log(NNO的時間完成。（25 分）

令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=−=∑∑=NvyuxjNxNyeyxfvuF)( 21010 ),(),(π，試證明⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=−=+∑∑−NvyuxjNxNyyxeyxf)( 21010 )1)(,(π)2,2(NvNuF−−=。（25 分）

已知兩個離散訊號（discrete-time signals）x[n]和h[n]，以及其離散時間傅立葉轉換（discrete- time Fourier transform，DTFT）jDTFTeXnx][、jDTFTeHnh][，請證明「旋積（convolution）」特性：jjjDTFTeHeXeYnhnxny][][][【註：需雙向證明，n和n】。（20 分）

設計一有限脈衝響應（finite impulse response, FIR）濾波器，其脈衝響應為：]3[]2[2]1[2][][nnnnnh，試求出系統函數（system function）H(z)以及頻率響應（frequency response）jeH；並繪出頻率響應之大小函數jeH（magnitude response）與相位函數jeH（phase response）。【註：圖上須標示出重要之頻率與響應值】。（20 分）

給定一無限脈衝響應（infinite impulse response, IIR）濾波器，其輸入（][nx）輸出（][ny）之關係式為：]1[][]1[][32nxnxnyny；當輸入為：nnx0cos][時，試求出：致使IIR 濾波器之輸出為零的0值；令此IIR 濾波器之輸出訊號有最大振幅的0值。（20 分）

FIR 濾波器之脈衝響應：]4[]3[]2[2]1[][][nnnnnnh；若輸入訊號：]3[4]2[3]1[2][][nnnnnx，試求出此FIR 濾波器之輸出訊號y[n]；若以6-點DFT 求FIR h[n]之輸出：][][][kXkHIDFTny，其結果(][ny)為何？其中IDFT 為離散傅立葉反轉換（inverse DFT），X[k]和H[k]分別為x[n]和h[n]的6-點DFT。（20 分）97 年公務人員特種考試警察人員考試及97 年公務人員特種考試關務人員考試試題代號： 20350

我們對二個連續週期性（periodic ）及有限頻譜（band-limited ）的訊號 ( ) 1 cos(4 ) sin(8 ) x t t t π π = −+ − 與( ) 1 cos(8 ) sin(4 ) y t t t π π = + + 作取樣，取樣頻率均為 Nyquist rate。請列出兩者在一個基本週期（fundamental period）內所獲得的取樣值 [ ] x n 與[ ] y n 分別為何？並請求出兩者的迴旋積（convolution），[ ] [ ] [ ] z n x n y n = ∗ 為 何？（20 分）

有兩式[ ] [ ] ∑ − = − = 1 0 / 2 1 N n N un j e n f N u F π 與[ ] [ ] ∑ − = = 1 0 / 2 N u N un j e u F n f π ，其中, 0,1,2,..., 1 u n N = −， 請證明此兩式為離散傅立葉轉換對（DFT pair）。並利用此兩式寫出M 個維度的 （M-dimensional）離散傅立葉轉換對。（20 分）

有兩張影像如下(圖一與圖二)，圖一為輸入影像 [ , ] f x y ，圖二為輸出影像[ , ] g x y ， 轉換系統如圖三。請用數學原理解釋為何此系統能將圖一轉換成圖二（亦即說明各 子系統之作用）？（20 分） 圖一 輸入影像[ , ] f x y 圖二 輸出影像[ , ] g x y 圖三 轉換系統 × (-1)x+y f[x,y] h [x,y]=f[x,y] (-1)x+y DFT H 取複數共軛 (complex conjugate) H* inverse DFT × (-1)x+y g[x,y] 96 年公務人員特種考試第二次警察人員考試試題 代號： 類 別： 刑事鑑識人員影像處理組、刑事警察人員犯罪分析組 全一張 （背面） 20150 20450

有四個連續函數 1( ) sin(2 / 4) g t t π = ， 2( ) cos(2 /8) g t t π = ， 3( ) sin(2 / 4)*cos(2 /8) g t t t π π = 與 4( ) cos(2 / 4)*cos(2 /8) g t t t π π = ，請問下列五式：  1 3 ( ) ( ) g t g t + ， 2 4 ( ) ( ) g t g t + ， 1 3 ( ) ( ) g t g t ， 2 4 ( ) ( ) g t g t ，與 3 4 ( ) ( ) g t g t ，分 別為偶函數（even function）還是奇函數（odd function）？（20 分）

有兩個離散訊號 ( /80) [ ] u[ ] n x n e n − = 與 ( /80) 2 16 [ ] sin( )u[ ] n n m x n e n π − = ，其中u[ ] n 為單位步 階函數(unit step function)，請求出兩者的Z 轉換式(Z - transform) ( ) X z 與 ( ) m X z 。並 分別繪出 ( ) X z 與 ( ) m X z 的極點-零點圖（pole-zero diagram）。（20 分）

有一數位濾波器的頻率響應（frequency response）為( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ < < = π π π w w e H jw 8 / ,0 8 / ,1 ，欲以 此濾波器的脈衝響應（impulse response）( ) n h 為基礎，來設計三種新的數位濾波器， 使其脈衝響應 ( ) n hi 分別滿足：  ( ) ( ) n h n h

1 =  ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ⋅⋅⋅⋅ ± = = else n n h n h ,0 ,2 ,0 , 2 / 2  ( ) ( ) ( ) n h n h n 1

− = 試推導每一種新的數位濾波器之頻率響應 ( ) jw i e H 與( ) jw e H 的關係式，並繪出 ( ) jw i e H 的 圖形。（20 分） 二、假設有一資料序列， ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 − + − + = n n n n x δ δ δ ，其中( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = 0 ,0 0 ,1 n n n δ 。（20 分） 試求出其4 點的離散傅立葉轉換（discrete Fourier transform） ( ) 3,2,1,0 , = k k X 之值。 試求出其 − z 轉換（z-transform） ( )z X ，並說明 ( )z X 和 ( ) 3,2,1,0 , = k k X 的關係。 三、已知一類比Butterworth 低通濾波器的轉移函數（transfer function ）為 ( ) 2 2 2 2 c c c a w s w s w s H + + = 假設截止頻率為 500 2 / = = π c c w f Hz,且取樣頻率為 6.9 KHz。請利用雙線性轉換 （bilinear transformation）方法，求出對應的數位低通濾波器的轉移函數。（20 分）

有一信號序列 ( ) n x 通過一離散系統，其轉移函數為 ( ) 1 1 − + = z z H 。假設 ( ) ( ) ( ) n w n s n x 0 cos = 為窄頻，即訊息序列( ) n s 的頻寬遠小於 0 w 。試求出其輸出信號序列 的時間延遲(time delay)值。（20 分）

有一連續時間信號 ( )t xc ，其頻譜如下圖所示。此信號經由取樣週期（sampling period） 為 0 / 2 Ω = π T 取樣而得到序列( ) n x 。（20 分） 請繪出( ) n x 的頻譜。 請說明如何從序列( ) n x 將連續時間信號 ( )t xc 無失真還原的方法。 Ω 0 Ω 0 Ω − 2 0 Ω − 2 0 Ω 1 ( ) Ω j xc