測量平差法考古題｜歷屆國考試題彙整

標準誤差（Standard Error）、平均誤差（Average Error）及或然誤差 （Probable Error）都可表示觀測量之精度，為何通常都採用標準誤差來表 示觀測量之精度？試詳述原因。（20 分）

利用一經緯儀獨立觀測一水平角8次，若其「度」和「分」的讀數相同， 為36度50分，而秒之讀數分別為39"、41"、38"、42"、45"、41"、43"、6"。 請計算該水平角之最或是值和最或是值之中誤差（請以二倍中誤差（2σ） 剔除錯誤觀測量）。（25分）

設在測站A 觀測如示意圖，已知∠BAC = α，設其無誤差，觀測角度β1 和β2 之中誤差為 1 2 1.4"     ，協變方 2 12 1"   ，試求解角度x 的中 誤差 x 。（20 分）

如圖一平面三角形，A、B兩點為已知坐標點，C點為未知點。利用經緯儀 分別於A、B兩點設站，測量C點的水平角得α、β，並以卷尺測量AC及BC 間的水平距離為S1和S2。請問欲求C點坐標至少要有幾個觀測量？在此觀 測情形下多餘觀測數為多少？請以間接觀測平差法列出觀測方程式（請 線性化）？計算C點坐標時應考慮那些誤差來源？（25分）

某一距離n 次觀測之平均值為l ，設= i i l l v ，iv 稱為改正數或剩餘誤差； 試證明改正數之平方和為最小。（20 分）

觀測一平面三角形的三個內角α、β、γ各4次，假設觀測量獨立不相關，且 測角中誤差均為3"。請計算三角形內角和閉合差之中誤差。（25分）

等權獨立不相關觀測平面三角形的三個內角，觀測值分別為α = 80°00'10"、 β = 75°45'20"、γ = 24°14'00"。令未知參數x、y、z 為三個內角之最或是值， 依未知數附有條件之間接觀測平差求解未知參數。（20 分）

已知5個點的新、舊坐標如下表。假設舊坐標沒有誤差，新坐標為觀測量， 等權獨立不相關，另新、舊坐標關係為x' = a•x + b•y；y' = -b•x + a•y。 請利用間接觀測平差求得轉換參數（a, b）、其中誤差、各轉換參數間的相 關係數，並計算a轉換參數之95%信心區間。（t0.05,10 = 1.812、t0.025,10 = 2.228、 t0.05,9 = 1.833、t0.025,9 = 2.262、t0.05,8 = 1.860、t0.025,8 = 2.306、Z0.05 = 1.645、 Z0.025 = 1.96）。（25分） 舊坐標（x,y）；單位：m 新坐標（x',y'）；單位：m 1 0 0 0.1 0 2 10 10 5.1 12.9 3 -30 20 -34.9 6.2 4 -10 -20 -1 -22.1

某一平差問題列有以下條件方程式： 1 2 3 3 4 5 5

20 -10 21.8 -0.8

1 4 7 5 0 2 0 3 0 4 0 v v v v v v v v v v v v                       設有3 個未知參數1 1 2 2 7 3 v x v x v x    、 、 ，試將條件聯立方程式改寫成 誤差方程式及列出間接觀測平差法方程式。（20 分）

標準偏差（Standard Deviation, STD）及均方根誤差（Root-Mean-Square Error, RMSE）是兩種常被用來分析測量結果的指標，請利用公式說明兩 者之差異。並說明標準偏差和均方根誤差與精確度（Precision）和準確度 （Accuracy）之關係。（例如：標準偏差大，則精確度或準確度高還是低） （25 分）

111年公務人員高等考試三級考試試題 類 科：測量製圖 科 目：測量平差法（包括誤差理論及實務） 考試時間：2 小時 座號： 不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。 本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。 使用全測站儀器測得某方向秒讀數記錄如下： 23.7 14.1 15.1 19.8 19.7 12.9 26.7 12.5 13.6 20.5 16.5 15.2 18.4 8.2 24.7 16.0 8.5 16.2 23.4 20.9 18.5 13.3 16.2 19.1 15.4 26.4 18.2 14.9 17.8 13.1 試求此資料組的觀測中誤差，以及最或是值與其中誤差，並在95%的信賴水 準下說明觀測值是否含有粗差。（E901.645 σ、E951.96 σ、E992.57 σ） （25 分） 以公尺為單位使用全測站儀器測量某一檢定基線（calibration baseline） 長度四次，計算結果為1,100.000 m，觀測中誤差為0.04 m。已知此檢 定基線長為1,100.005 m，試建立一假說測試，檢定儀器測距功能於0.01 顯著水準下是否正常運作？（計算結果以公尺為單位，四捨五入至小數 點下第三位；不同顯著水準不同自由度之t 分布值如下：t0.01,43.747、 t0.01,34.541、t0.005,44.604、t0.005,35.841）（20 分） 一開放導線ABCD，已知AB 的方位角為345°16′29″，其中誤差為4.5″； 下列表格分別是觀測之角度與距離及其中誤差，試繪出此開放導線略 圖，並計算BC、CD 方位角及其中誤差，以及BC 縱距與橫距之中誤差 及相關係數。（25 分） 後視 測站 前視 觀測角度 中誤差（″） A B C 98°06′59″ 2.8 B C D 85°56′57″ 2.6 距離（m） 中誤差（m） B C 302.49 0.012 C D 254.32 0.012 以某測量儀器觀測到A、B、C、D 四點之X、Y 平面坐標分別是（1.00, 5.02）、 （2.00, 1.98）、（3.00, 3.01）和（4.00, 7.99）。假設觀測誤差只存在於Y 坐 標，以最小二乘法擬合拋物線YaX 2+bX+c 時，僅針對Y 坐標進行改 正，分別用Vi（iA、B、C、D）表示，試列出觀測方程式，並說明此 平差系統之多餘觀測數為何？以及多餘觀測數之意義；並在觀測量視為 等權情形下，計算擬合參數a、b、c 之值及其中誤差。（30 分）

今利用一水準儀測量兩水準點之往返高程差，重複十次往返測量，往返 高程差之合（閉合差）分別為-0.8 mm、-0.1 mm、1.4 mm、-0.6 mm、 0.1 mm、0.4 mm、-1.6 mm、0.2 mm、-0.9 mm、0.3 mm。 假設往返高程差之合服從常態分布，在母體變異數 2 未知，請問在顯著 水準 0.05  之下，請問往返高程差之合的母體期望值是否為零？ （t10,0.05= 1.812、t10,0.025= 2.228、t9,0.05= 1.833、t9,0.025= 2.262、Z0.05= 1.645、 Z0.025 = 1.96）（25 分）

一經緯儀觀測角度的中誤差為6。在相同觀測條件，今以此經緯儀觀測 一個五邊形內角，請計算該五邊形內角和之中誤差？若重複觀測某一內 角角度5 次，請計算此角平均值之中誤差？今欲使此角平均值之中誤差 低於1.5，請問該內角至少需要重複觀測幾次？（25 分）

一水準網如下圖所示，水準點A、B 為已知水準點，高程分別為 A H 5.000 m  和 B H 7.000 m  ，水準點C、D 為高程未知點，水準觀測數 據（箭頭為觀測方向）如下表所示： 高程差觀測值（m） 水準路線長（km） h1 = 1.000 m 2 h2 = 1.050 m 4 h3 = 1.000 m 2 h4 = 0.950 m 4 h5 = 1.050 m 4 假設直接水準測量之誤差與路線長度之平方根成正比，試計算平差水準 點C 和D 之高程及其中誤差。（25 分）

已知甲、乙、丙三人觀測一水平角度的權比例為3：4：5，若甲的觀測 精度為4，則乙和丙的觀測精度為何？又若三人觀測同一角度各一次， 假設為獨立不相關觀測，請以這三個角度觀測值求該水平角度最或是值 的標準差。（25 分）

如圖所示，等精度觀測了三角度，觀測向量為 1

已知水準測量標準差為3 mm K（K 為水準路線長，以公里數計）。若往 測的水準路線長為2 公里，返測的水準路線長為2.5 公里。假設往返測 獨立不相關，試求往返測高程差平均值的標準差。（25 分）

試論點位誤差橢圓的意義。又已知A、B 兩點間的相對誤差橢圓的長軸 半徑為5 cm，短軸半徑為1 cm，示意圖如下所示，且這兩點的距離 為250 公尺。試估計A、B 兩點間連線方向的相對精度（請以分數形式 表示）。（25 分）

30 45'20" 47 12'54" 77 58'20" l l l                    已知 77 58'24" AOB    ，以間接觀測平差分析 AOP  、POB  的最或是值。 （20 分） 二、某一平差問題，觀測值向量 5 1 L 為等精度獨立觀測值，已求出的法方程式 如下： 1 2 32.51 11.20 12.20 0 11.20 24.65 9.35 k k                      試求出此平差問題中的單位權變方估值 2 0ˆ？（20 分） 三、已知隨機變數x、y 的標準差分別為 x 、 y ，相關係數 1 xy  ，試求函 數 2 u x ay   的變方 2 u 。（20 分）

一水準網如下圖，水準測量高程差觀測值及水準路線長如下表。圖中， A、B、C、D 四點的高程值分別為35.000 公尺、30.600 公尺、48.125 公 尺和42.903 公尺。假設所有觀測量獨立不相關，請以最小二乘法平差計 算該水準網，並估計後驗單位權標準差、E 和F 點的高程值和其標準差。 （25 分） 水準路線 高程差觀測值（公尺）水準路線長（公里） A B -4.408 3 B E 8.632 6 A E 4.267 4 E F -0.446 1 D F -4.081 2 D C 5.241

一平坦地區直線距離長度約為150 m，欲以50 m 長的捲尺分段量測之。 假設量測每一段長度之中誤差為 5 mm 2500 a  ，段與段相接處量測時皆 會產生±5 mm 的中誤差，且捲尺兩端各有±3 mm 的對點中誤差，試求 分成三段（每段約50 m）作業時，總長度的中誤差。（20 分） O A B P l1 l2 l3

F C 9.342 8

直線方程式y ax b  ，假設x 為真值且觀測值y 為等權獨立不相關，試 由下列表格數據依最小二乘法估計a、b。（20 分） x 1 2 3 4 5 y 10.3 11.2 11.8 11.7 12.0

觀測一平面三角形的三個內角1l 、2l 及3l ，觀測量等權不相關。若選擇兩 個內角1l 、2l 為未知參數 1x 、 2x ，試以間接觀測平差證明改正數 1

大型測量平差可以矩陣方式處理。令矩陣型式之觀測方程式為V=AX-L， 其中V、A、X、L分別為含殘差，設計係數，未知數及觀測量之矩陣（或 向量）。L之協變方矩陣為Σ。 列出未知數X之最小二乘解及X之協變方矩陣。（10分） 殘差V之協變方矩陣可用於粗差偵測及可靠度分析。試列出V之協變方 矩陣。（15分）

利用GPS測得兩點A、B之平面坐標(X, Y)經平移後為(0, 0) m、(50, 50) m，每 個坐標分量之標準偏差為0.02 m，各坐標分量不相關。試求A、B點距離之 標準偏差。（25分）

1 2 3 1(180 ) 3 v v v l l l       ？若選擇三個內角1l 、2l 及3l 為未知參數 1x 、 2x 、 3x ，試列出其觀測方程式並寫出此種平差模型之名稱。（25分） 二、已知三個隨機變數X、Y、Z 的變方-協變方矩陣如下式，試求隨機變數 X、Y、Z 的中誤差( X 、 Y 、 Z )與X、Y、Z 的相關係數矩陣。（25分） 1 1.5 0.75 = 1.5

A、B、C為水準點，以精密水準觀測得下列高程差數據： hAB = 10.2142 m（B高程減去A高程） hBC = 5.3191 m（C高程減去B高程） hCA= -15.5330 m（A高程減去C高程） A、B、C三點距離相同。欲以條件平差模式，平差上述高程差觀測值。 列出條件平差之條件式。（10分） 解出3個高程觀測量之殘差。（15分）

3 0.75 3 9              三、某測量公司為提升人員工作效率及成果品質，開設進階電腦操作與軟體 教學課程，往年講解操作授課時間較長，受訓人員完成訓練時間近似常 態分布。現公司設計一套人工智慧的教學課程，預期可縮短訓練時間並 達到一樣的效果。公司隨機抽取16人接受此課程訓練，平均訓練天數為 30天，標準差為4.4天。試問在95%信心水準（confidence level）之下，利 用人工智慧的教學課程平均天數的信心區間（confidence interval）為何？ 若希望「估計誤差有95%的機率小於或等於2天」，試問要達到此目標至 少應抽取多少樣本？( 16,0.05 1.746 t  、15,0.05 1.753 t  、16,0.025 2.120 t  、 15,0.025 2.131 t  、 0.025 1.96 Z  、 0.05 1.645 Z  )（25分） 四、三角形ABC 中， A  與 B 已觀測，權分別為 2 A P  、 1 B P ，試問 C  的權 C P 為多少？若角A 中誤差 8 A    ，試求角B 中誤差 B 。（25分）

試回答下列信心區間相關問題： 何謂一平面點之誤差橢圓（error ellipse）？（12分） 比較信心橢圓（confidence ellipse）與誤差橢圓。（13分）

已知一個點位坐標X、Y 的變方-協變方矩陣如下： Σ= ቈσX

已知觀測向量 的方差-協方差矩陣為 ， 試求L 的函數 [ T L z y x = ] ∑ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = LL

σXY σXY σY 2 ቉= ቈ0.0019 -0.0008 -0.0008 0.0009 ቉(cm2)， 試問需要將坐標軸旋轉多少角度，方可使得參考於新坐標軸的坐標相關 係數為零？（旋轉角度必須註明順時針或逆時針旋轉。旋轉的角度值計 算到度，度以下四捨五入）（25 分） 二、有一條件平差模型如下： v1-v3+v4=w1 v2-v3+v5=w2 其中v1~v5 是觀測量改正數，其權矩陣為P，而w1、w2為不符值。試將 該條件平差模型化為間接觀測平差模型（GMM 平差模型），但不必求 解。（25 分）

0 2 0 4 0 2 0 6 2 1 2 z x F + = 在x=12、z=14 時的協方差 FF ∑ 。（25 分） 二、A、B 為地面上兩點，以直接水準測量方法，經由三條不同路線測量A 與B 之高程差，有關觀測數據如下表所示；試求A 與B 間高程差之加 權平均值及其標準差。（25 分） A 與B 間高程差的觀測數據表 路線 A、B 間高程差觀測值（m） 路線長（km） 1 +2.612 1.61 2 +2.608 3.22

變形監測時，常使用不同時期的觀測數據來進行自由網平差。假設測量 網形不變，使用相同點位（含參考基準點），點位起始坐標值也相同。 今有兩期的觀測數據各自進行自由網平差，但兩期的參考基準點不同。 試說明如何以這兩期的自由網平差成果來判斷是否有變形發生。（25 分）

+2.624 4.83 三、有一塊矩形土地在1/2000 地圖上，測量得其長（X）、寬（Y）及其標準 差分別為 、 mm cm X 6 50 ± = mm cm Y 6 30 ± = ，又用求積儀量得該土地 的面積為 。試以最小二乘法間接觀測平差法，求 該矩形土地的實際面積及其標準差。（25 分） 2 mm 2 60 1535 cm Z ± = m 35 . 6861 = x m 59 . 3727 = y )

兩組測量人員分別觀測同一個角度n1次和n2次（n1、n2均大於30），由此 估計得到觀測標準差分別為σො1和σො2，角度平均值分別為xො1和xො2。假設觀 測量服從常態分配，且各觀測量等權獨立不相關，請列出虛無假設和對 立假設、檢定的統計量，以及檢定程序以說明如何檢定這兩組測量人員 觀測精度的優劣，以及檢定兩者的角度平均值是否相同。（25分）

下圖所示為一個測角的前方交會問題，圖中A、B、C 為已知點（單位：m）， P 為待定點；4 個角度為等權觀測，P 點的近似坐標為 、 。經過線性化的觀測方程式為JX=K+V： 0 P ⎤ ⎡ 1 Lv 0 P ⎡ 507 .4 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′′ − ′′ − ′′ − ′′ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − = 4 3 2 ,

23 . 20 9 68 .0 4 21 .0 8 23 .0 , , 788 . 27 732 . 25 713 . 40 447 . 15 713 . 40 447 . 15 800 . 33 L L L P P v v v V K dy dx X J 試以最小二乘法間接觀測平差法，求P 點的坐標平差值( P P y x , 及其標 準差。（25 分） A B C P 角1 角2 角3 角4 x y 測角的前方交會示意圖

A 點到B 點實際距離為10 公尺（正確無誤差）。在相同觀測條件下，利 用兩台不同精度測距儀，分別對A、B 兩點距離進行5 次觀測，觀測值為： 第一台測距儀：10.012 公尺，10.002 公尺，9.985 公尺，10.008 公尺， 9.992 公尺。 第二台測距儀：10.102 公尺，10.105 公尺，10.095 公尺，10.104 公尺， 10.096 公尺。 請分別求這兩組觀測量的平均值、標準差及均方根誤差。並依據計算結 果分別說明那組觀測量精密度（Precision）較高？那組觀測量精確度 （Accuracy）較高？（25 分）

在一個非線性平差計算問題中，某人組成法方程式可表示為 t N = Δ ，經迭代求解並達 成收斂後，得到下列數值成果，請判斷何者為明顯不合理（可複選）？需具體說明 判斷依據。（25 分）  ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − = 23 5 08 1 08 1 05

A 點坐標已知(0.000, 0.000) m 且誤差小至不計，在A 點對B 點進行距離S 和角度α 觀測，其中 m 005 .0 m 100 S ± = ， ' 10' 30 α ± ° = ，試求B 點坐標和 其誤差。（25 分）

. . . . N  ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = 0.0005 0.0001 Δ  ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = 00006 0 00009 0 . . t  ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = 00006 0 01 90001 . . t 二、已知下列函數關係： 9 2 4 2 2 1 1 − + = x x y , 2 1 1 2 5

水準網如下圖所示（箭頭為高程上升方向），水準點A 和C 高程已知， HA=0.000 m，HC=1.000 m，B 和D 點高程未知。為求B 和D 點高程進行 水準測量，各高程差觀測如下表所示。試按間接觀測平差求B 和D 點高 程及中誤差、後驗單位權中誤差、各觀測值最或是值及其中誤差。（25 分） 水準網示意圖

2 x x y y − + = ，並已知標準差 2 1 ± = x σ ， 1 2 ± = x σ ，相關係數 6 0 2 1 . x x = ρ , 參數值 3 1 = x , 1 2 = x 。請計算協方差矩陣 yy ∑ 以及 x y1 ∑ 。（25 分） 三、某一個水準網，具有9 個點位，其中1 個點之高程坐標為已知。倘若在這9 個點之 間進行測量並獲得了15 個相互獨立的高程差觀測值，請計算本測量之自由度為何？ 並說明最多可寫出幾條獨立的條件平差觀測方程式以及幾條獨立的間接觀測平差方 程式？（25 分）

在一觀測網中，P 點和Q 點坐標(X,Y)平差值之變方－協變方矩陣 （variance-covariance matrix）為： ∑X෡= ۏ ێ ێ ێ ێ ۍσXP 2 σXPYP σXPXQ σXPYQ σYPXP σYP 2 σYPXQ σYPYQ σXQXP σXQYP σXQ 2 σXQYQ σYQXP σYQYP σYQXQ σYQ 2ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې = ۏ ێ ێ ێ ۍ 2.0 0.2 1.0 -0.5 0.2 3.0 -0.6 0.8 1.0 -0.6 4.0 -0.3 -0.5 0.8 -0.3 2.3ے ۑ ۑ ۑ ې cm2 σො0=1 cm。試求P 和Q 點誤差橢圓和PQ 兩點相對誤差橢圓（誤差橢圓 包含長、短軸半徑和長軸方位角）。（25 分） 高程差觀測量(m) l1=0.505 m l2=0.498 m l3=0.703 m l4=0.295 m l5=0.202 m 水準路線長(km) 2 2 2 2 3

假設某一平差問題可以下列方程式表示： f A Bv = + Δ ，又已知觀測量權係數矩陣為 Q ，且該次測量之單位權標準差為 0 σ ，則平差後之未知參數精度該如何估計？（25 分）

假設在測站R，用全站儀後視點U、前視點S，觀測水平角URS 為50°06'50''；假設 已知R 及S 的平面坐標分別為( 、( ，U 的平 面坐標近似值為 ；試列出角度URS 與U、R、S 坐標函數關係 的線性化觀測方程式。（註： 3727.59m) dx du u u dx d

某點P 坐標之協變方矩陣為 ) ( 6 1 1

1 1 1 tan + = − ）（25 分） 二、利用某種型號的經緯儀A 測量角度，由多年的測角成果分析，得知其測角中誤差 為 1.5''；現在用新購買的相同類型經緯儀B 觀測某角度9 測回，得知一測回中 誤差為± 2.0''。在顯著性水準 ± 05 .0 = α 的情況下，試檢驗經緯儀B 的測角精度與經 緯儀A 相比，是否存在顯著差異？（註：有關統計臨界值為t 、 、 31 .2 = 86 .1 = t 53 = 8 , 2 / α 8 , α . 17 2 8 , 2 / α χ 、 18 .2 2 = 8 , 2 / 1−α χ 、 51 . 15 2 8 , = α χ 、 73 .2 2 = 8 , 1−α χ ）（25 分）

2 2 2 2 2 m y xy xy x ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ σ σ σ σ ，求此點標準誤差橢圓長軸及 短軸之值、長軸與x 軸之夾角、及在方位角 7 1.2

在A、B 兩測站擺設GPS 接收儀，於歷元t 同步接收j、k、l 三顆GPS 衛星的L1 載 波相位觀測量 ，共有6 個觀測量 ，L 的協方差矩陣為 ，I 為6×6 的單位矩陣。現在若以j 衛星當作參考衛星， 可以組成2 個二次差觀測量 ，試求D 的協方差矩陣 ，並分析 與 是否相關？（註： ， ） （25 分） ) m ( Φ T]) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( [ t t t t t t L l k j l k j Φ Φ Φ Φ Φ Φ = ) mm (

2 I = ) ( [ t jk Φ = ) (t jk Φ ( jl Φ )t B B B A A A T] ) ( t jl AB Φ DD Σ ) ( ) ( ) ( t t t j AB k AB Φ − Φ = ( ) ( ) ( t t j A j B j AB Φ − Φ = Φ LL Σ )t D AB jk AB Φ AB AB 四、假設平面上4 個點位於一個圓弧上，其平面坐標 ) , ( y x 的觀測値分別為 、( 、( 及 ) 20 .5 , 10 .2 ( 4.10) , 90 .2 3.20) , 80 .1 4.20) , 10 .1( ） （ m , y的單位皆為 x 。圓的方程式 為 ，其中， 、r分別代表圓心坐標及半徑。欲利用上述4 個點的平面坐標 2 2) r k y = − , ( y 2) ( h x + − ( ) ) , ( k h x 擬合一個圓，若 、r 的近似値已知，分別為 、 ；試利用最小二乘法間接觀測平差法，求擬合圓的圓 心坐標、半徑及其中誤差。（25分） ) , ( k h ) 00 .4, 0 = r 90 .1( ) , ( 0 0 = k h 00 .1

176 ′′ ′ ° − 方向上的中誤差。（20 分） 二、觀測一三角形三內角所得到的觀測量分別為： 7 2

3 50 ′′ ′ ° , 3 3 4 2 69 ′′ ′ ° , 4 2 0 60 ′′ ′ ° ，其對 應的權值分別為3, 2, 1，請分別列出條件平差模型及間接平差模型，並解算三個角度 的改正量。（20 分） 三、請說明測量時多餘觀測量之重要性。若對一距離D 重複等權觀測N 次，請以最小二 乘原理證明其最或是值等於算數平均值。（20 分） 四、有一水準網如圖一所示，請分別以直接觀測平差與間接觀測平差計算D 點高程。 （20 分） 圖一 五、請列出線性近似（Linear approximation）所使用的公式並說明其幾何意義。（20 分） HA = 788.920 m HC = 750.933 m HA = 801.490 m ΔH1 = -58.011 m ΔH2 = -70.587 m ΔH 3 = 20.009 m 2 km 3 km 2 km A B C D

Gauss Markov Model（GMM）的最小二乘解是 ( ) PL A PA A X T 1 T − = ，其中A 是設計 矩陣，P 是權重矩陣，L 是觀測向量。L 的協方差矩陣（covariance matrix）是Σ。定 義新的隨機向量S 和R 為： AX S = 、 PL R = 。試求S 和R 之間的協方差矩陣。（25 分）

定義矩陣 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 10 1 2 1 2

1 2 15 A ， ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 13 1 2 1 12 3 1 21 20 B ， T AB C = 。試計算矩陣C 的跡（trace）。 （25 分） 三、試解釋及舉例平差中，最小約束解（minimum constrained solution）的原理。（25 分）

點A 和B 之間的距離被一EDM 測量10 次。10 次之平均值和平均值之標準誤差為 m 231 . 100 = S 、 m 006 .0 = S σ 計算該距離的95%信心區間（confidence interval），使用t 分佈的臨界值 26 .2 )9 ( 025 .0 = t 。（12 分） A 和B 之間的距離由另一個EDM 測定為 m 236 . 100 = S ， m 008 .0 = S σ 統計而言，從兩個EDM 測定的距離是否相同（假設A 和B 之間沒有變動；95% 信心水平）？（13 分）

假設 6, ,2,1 , L = i xi 為6 個等精度且互相獨立的觀測量，每一個觀測量的精度皆為 mm

± = σ 。若 5 4 2 1 1 x x x x y + − − = ， 6 4

1 2 x x x x y + − − = ，試計算 1y 的中誤差、 2y 的 中誤差、 1y 與 2y 的相關係數。（25 分） 二、欲測量水平角 ABC ∠ 的角度，利用儀器分成三天觀測，每天的觀測值平均值及其中 誤差分別為： 0.2 5 1 1 2 120 ′′ ± ′′ ′ ° 、 0.4 8 1 1 2 120 ′′ ± ′′ ′ ° 、 0.1 0 2 1 2 120 ′′ ± ′′ ′ ° ，現在取 0.2 ′′ 作為 單位權的中誤差，試按權的定義算出三天觀測值的權值，再計算 ABC ∠ 的加權平均 值及其中誤差。（25 分） 三、C、D 兩點為地表上的兩個測站，CD 間的斜距(S)為 m m 015 .0 568.138 ± ，C 點測到D 點的垂直角(El)為- 6 0 5 2

1 02 ′′ ± ′′ ′ ° ，CD 線段的方位角(Az)為 2 1 3 2 6 3 40 ′′ ± ′′ ′ ° 。若以C 點為原點建立站心地平坐標系 ) , , ( u e n ，試計算D 點的地平坐標 ) , , ( u e n 及其變方-協變 方矩陣（variance-covariance matrix）。（25 分） 「備註：地平坐標 ) , , ( u e n 與S、El 及Az 之間的關係如後， ), cos( ) cos( Az El S n = ) sin( ), sin( ) cos( El S u Az El S e = = 。」 四、下圖所示，為一個由ABC 三點構成的GPS 測量網形略圖（假設每次僅使用兩部接收 儀，以靜態測量方式測量一條基線；而且每條基線分量皆為等精度觀測，其權矩陣 為單位矩陣），A 及B 為已知點（假設其坐標無誤差），C 為待求點；A 及B 的空間 直角坐標(X, Y, Z)分別為(1161510.502, -4667575.568, 4175209.562)及(1171820.592, -4640316.729, 4202588.113) ；AC 及BC 基線的三個分量 Z) Y, X, ( Δ Δ Δ 分別為 (-13024.970, 14982.005, 20159.364)及(-23335.070, -12276.803, -7219.168)（上述 (X, Y, Z)及 Z) Y, X, ( Δ Δ Δ 的單位皆為m）。試利用間接觀測平差法，計算C 點的(X, Y, Z) 及其中誤差。（25 分） GPS 測量網形略圖 A B C

間接觀測平差為常見之平差解算模式，請證明在此模式下平差後未知參數之後驗權 係數矩陣可寫為 1 ) ( − = PA A Q T xx ，其中A為設計矩陣（未知參數之係數矩陣），P為 觀測量之權矩陣。（25 分）

一般實務應用上所遇到的問題通常無法以簡單線性模式加以分析，因此需仰賴非 線性模式進行解算。請說明非線性與線性模式之平差解算過程之主要差異，並舉出 至少兩種方式可用來判斷非線性模式之平差解算過程是否獲得穩定的解算結果。 （25 分）

某隨機變量 3 1 = x 與其標準差 2 1 ± = x σ ，假設

2 2 1 = + x x 以及 02 .0 2 1 = x x ρ ，且存在下 列關係式： 3 2 2 1 + + = x x z ， z x x w + + = 2 2 1 1

4 ， 1 1 2 3 w z x w + − = ， } { 2 1 w w w = ，試求 2 z σ 、∑ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ww w w w w w w 2 2 2 2 1 2 1 1 σ σ σ σ 以及∑ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = wz z w z w 2 1 σ σ 之值各為何？（25 分） 四、某一簡單水準網如下圖所示，其中A、B 為兩個高程參考點，其已知高程分別為 300 .2 = A h m、 280 .1 = B h m，經觀測得高程差值 777 .0 − = Δ AX h m、 212 .0 = Δ BX h m， 並假定觀測量先驗精度 3 ± = Δ AX h σ mm、 2 ± = Δ BX h σ mm，且觀測量彼此獨立不相 關。 請計算X 點高程之最或是值及其後驗標準差。（10 分） 假定已知高程點本身並非無誤差，其先驗精度分別為 1 ± = A h σ mm、 5 ± = B h σ mm， 在此條件下請計算X 點高程之最或是值及其後驗標準差。（15 分） A B X AX h Δ BX h Δ

在圖1 中，A、B 為已知水準點，高程為 A H 、 B H ，設為無誤差；P1 及P2 為兩個待 測點，箭頭指示水準路線行進方向；各水準路線觀測高程差h1～h4 的標準差分別 為： m 006 .0 1 ± = σ 、 m 003 .0

± = σ 、 m 002 .0

± = σ 及 m 008 .0

± = σ 。經過間接觀 測平差後，假設已求得單位權標準差 m 658 .0 0 ± = σ 。求對應h1～h4 的權矩陣、P1 及P2 兩點高程的標準差。（25 分） 圖1、水準測量路線示意圖 二、圖2 所示，為一塊長方形土地面積；圖中所有內角皆為90 度；有關邊長數據如下： 0 ), m ( 22 .0 11 .0 11 .0 22 .0 , ) y y ( Y ) m ( 40 .0 20 .0 20 .0 40 .0 , ) x x ( X m 00 . 80 y CE , m 00 . 40 y HE , m 00 . 60 x BC , m 00 . 200 x FH XY 2 YY T 2 1 2 XX T 2 1 2 1 2 1 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = = = = = = = = = = Σ Σ Σ 求長方形土地ABGF 的面積Z 及其標準差 Z σ 。（25 分） 圖2、長方形土地示意圖 G H A F E D B C 102年特種考試地方政府公務人員考試試題 類 科： 測量製圖 全一張 （背面） 三、以靜態G P S 測量，由A 點測得B 點之基線三個分量 ) Z , Y , X ( Δ Δ Δ 為 ) m 656 . 18 , m 265 . 30 , m 883 . 532 ( − − ，其變方－協變方矩陣為Σ AB （如下所示）。已知 A 點的大地經緯度為 ) E 0 2

3 120 , N 0 3 0 5 24 ( ) , ( ′′ ′ ′′ ′ = λ ϕ o o ，假設無誤差；而且，以A 點為原點，觀測B 點的站心地平坐標 T) u ,e ,n ( Δ Δ Δ 與 T) Az , El ,s( 、 T) Z , Y , X ( Δ Δ Δ 的關 係，可由下列兩個矩陣式表示之；式中，s、Az 及El，分別代表AB 兩點之間的距 離、A 對B 之方位角及高程角。令 T) u ,e ,n ( U Δ Δ Δ = ，求U 向量、變方－協變方矩 陣Σ UU 、距離s 及其標準差 s σ 。（25 分） ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ Δ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − = Σ ) El sin( s ) Az sin( ) El cos( s ) Az cos( ) El cos( s u e n ; ) (m 3 E 2.5

E 6.6 6 E 7.6 6 E 6.6 3 E 2.5 6 E 8.6 6 E 7.6 6 E 8.6 3 E 2.5 2 AB Z Y X sin sin cos cos cos 0 cos sin cos sin sin cos sin u e n ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ Δ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ϕ λ ϕ λ ϕ λ λ − ϕ λ ϕ − λ ϕ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ Δ 四、若以 0 f ey 2 dx 2 y x 2 2 = + + + + 代表圓的方程式，圓心為 )e ,d ( − − ，半徑為 f e d 2 2 − + 。 如果欲利用下列6 點的 ) y ,x ( 資料（單位為m），擬合一個圓的方程式；以間接觀 測平差法，求該圓的圓心、半徑及其對應之標準差。（25 分） (m) 83 . 88 04 . 69 95 . 49 83 . 31 07 . 15 31 .7 39 . 41 26 . 38 44 . 32 01 . 24 12 . 13 82 .6 y x ) 6 , ,1 (i ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = L

以等權獨立不相關觀測某個角度3 測回，若每一測回的測角標準差（standard deviation，或稱為標準誤差、中誤差）為10"，試求此3 測回角度平均值與每一測回 角度觀測值的較差之標準差，以及在95%信賴區間（confidence interval）的較差限 制值。（25 分）

一個控制網的平差計算通常分成二個階段：第一階段先進行最小約制平差，第二階 段則進行強制約制平差。請問何謂最小約制平差及強制約制平差？又分成這兩個階 段進行平差的目的各為何？請解釋之。（25 分）

一個水準網中，有一條水準線包含A、B、C、D 四個水準點，已知 AB、BC、CD 水準路線長分別為 2 公里、3 公里和 4 公里（如圖）。該水準網經最小二乘法平差 後，A、D 兩個節點間高程差觀測值的改正數為 公尺。設 表平差後 A、B 兩水準點間高程差觀測值的改正數， 表平差後B、C 兩水準點間高程差觀 測值的改正數， 表平差後C、D 兩水準點間高程差觀測值的改正數。請計算 ， ， 之值。（註：至少有三條水準線通過的水準點稱為節點。圖中虛線表示該 水準網中的其它水準線）（25 分） 018 .0 ˆ − = AD v AB vˆ BC vˆ CD vˆ AB vˆ BC vˆ CD vˆ C A B D

已知A、B 兩點坐標的變方-協變方矩陣（variance-covariance matrix）如下： ，單位為 4 2 2 2 2 10 5.1 5.0 1.1 2.1 5.0 6.4 0.2 8.0 1.1 0.2 4.4 6.0 2.1 8.0 6.0 1.2 − × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ B B B A B A B B B B A B A B B A B A A A A B A B A A A A y x y y y x y y x x y x x x y y x y y x y y x x x y x x σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 2 m 試求A、B 兩點間的相對誤差橢圓長軸和短軸半徑，以及長軸方位角。（25 分）

已知z1 = x + y – 2y2、z2 = x2 + y2、z3 = 3x2 – y2、 m 01 .0 m 98 .1 ± = x 及 ± = m 00 .2 y m 02 .0 。 試計算 、 、 之值及其中誤差，並求 與 的相關係數。（25 分） 1z z z z z

2 3 二、兩個水準點A 及B，A 點的高程 為已知， A H m 001 .0 m 000 . 100 ± = A H ，B 點的高程 B H h 未知待定。假設以直接水準測量方法，從A 點測量至B 點，經由4 條不同的水 準路線（各路線長度分別為1000m、1200m、1500m、1800m），測量A 與B 之間 的高程差h （分別為+2.351m、+2.413m、+2.338m、+2.318m）。試計算 的 加權平均值 AB AB AB h 及其中誤差，並求B 點的高程 B H 及其中誤差。（25 分） 三、利用兩部測距儀（X、Y）測量某一段距離，其重複觀測次數 ) , ( Y X i ni = 和距離觀測量 的參考方差（reference variance） 分別為： ) , ( 2 Y X i S = 14 i = X n 2 2 mm 0. 50 = 次、 X S 12 = n 2 2 mm 0. 53 = 、 次、S 。試在顯著水準（significant level） Y Y 05 .0 = α 的條件下， 檢驗X、Y 兩部測距儀的距離量測精度是否有顯著差別？（已知 , 20 .3 13 , 11 , 025 .0 = F 63 .2 13 , 11 , 050 .0 = F ）（25 分）

A、B、C 三點為平面控制點，其坐標分別為 、 ) m 856 . 224 , m 256 . 879 ( ) , ( = A A Y X ) m 789 . 216 , m 934 . 597 ( ) , ( = B B Y X ) m 460 . 540 , m 040 . 853 ( ) , 、( = C C Y X ) m 800 . 332 , m 900 . 719 ( ) , 0 0 = 。P 點為待定點， 其近似坐標為( P P Y X m 478 . 192 = ，以相同精度測量3 段邊長，分別為 AP l m 415 . 168 （代表A 到P 的平面距離，其餘定義類推）、 = BP l 、 。試以間接觀測平差法，求P 點的平面坐標及其中誤差。（25 分） m 724 . 246 = lCP

對某一段距離X 重複量測20 次，其量測結果為102.898m、102.918m、102.907m、 102.889m、102.901m、102.901m、102.901m、102.899m、102.911m、102.909m、 102.904m、102.905m、102.895m、102.920m、102.899m、102.896m、102.907m、 102.897m、102.900m、102.897m。請計算距離X 的算術平均值X、樣本的中誤差及 X 729 .1 = 093 .2 t 的中誤差。又，在顯著水準（significant level）α＝5%的情況下，判斷上述20 個 觀測量中是否含有錯誤（outlier, blunder ）？（可能用到的t 分布值為： 、 t 19 , 050 .0 19 , 025 .0 725 .1 t 20 , 050 .0 = 、 086 .2 t 20 , 025 .0 = 、 = ）（25 分）

有一個長方體，其長（L）、寬（W）和高（H）的量測距離平均值及相應的中誤差 分別為40.056±0.015m、13.045±0.011m 和5.145±0.007m。請計算該長方體的體積及 其中誤差。（25 分）

一個平面三角形ABC，在頂點A、B 及C 處分別以經緯儀測量此三角形的三個內角 及其中誤差為α 、 及 。 請利用間接觀測平差方法，計算該三角形三個內角的估值、單位權中誤差及 1.4 7 5

1 58 ′′ ± ′′ ′ = o 3.2

3 2 0 69 ′′ ± ′′ ′ = α o 6.0 0 4 2 4 52 ′′ ± ′′ ′ = α o A B C A α 、 估值的中誤差。（25 分） B α 四、為了確定某一條直線方程式 b mx y + = ，其中m 和b 分別代表該直線的斜率與y 截 距，在 處（假設 無誤差）觀測了6 個觀測值 （假設 為互相獨立 的等精度觀測值），如下表所示。請利用間接觀測平差方法，計算m、b 的估值以 及其相應的中誤差。（25 分） ( ) 6, ,2,1 i x L = x y y i i i i 表 ( ) 6, ,2,1 i xi L = 與6 個 觀測值 iy ix (m) 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 iy (m) 4.507 6.002 7.507 9.001 10.503 12.001