測量平差法概要考古題｜歷屆國考試題彙整

利用電子測距儀量測A、B兩點距離6次，分別為10.104 m、10.096 m、 10.103 m、10.298 m、10.097 m、10.100 m，若假定觀測數據獨立不相關， 請計算該距離的最或是值和最或是值之標準偏差（中誤差）。（25分）

測量作業時因儀器、人為、環境等因素產生測量誤差，而測量誤差主要 可分成三種：粗差、偶然（隨機）誤差、系統誤差。請針對上述三種誤 差的正負號是否有規律？可能造成該誤差的原因（舉例一種），並提出一 種消除（或減低）此誤差的方法。（25 分）

請解釋什麼是誤差傳播？並以一道路總長度（S）為三段連續道路（S1、 S2、S3）之和為例，說明誤差傳播（S=S1+S2+S3，S1、S2、S3 之中誤 差分別為±σS1、±σS2、±σS3）。（25 分）

一橢圓形操場，用皮捲尺量得橢圓之長、短軸半徑分別為 10 m 0.10 m a   及 5 m 0.05 m b   ，請計算該橢圓操場面積和面積之中誤差。（25分）

按照海洋測量最低標準的特等深度不確定度 2 2 ( ) a b d   （95%信心區 間），其中 0.25 m a  為固定水深誤差； 0.0075 b  為從屬水深誤差因子； d 為水深(m)。若海水面標高為100 m，請問水深標高80 m和60 m處之68% 信心區間的水深測量誤差限制值為何（水深越深，標高越低）？（25分）

請說明測量上準確度（Accuracy）和精確度（Precision）的意義，並列舉 兩種常用的精密度衡量指標（精密度的表示方式）。（25 分）

請分別說明直接觀測平差和間接觀測平差之特性及差異。（25 分）

測量一四邊形ABCD的4個內角α、β、γ、δ，內角數據等權且不相關， 若選擇3個內角α、β、γ當成未知參數 α X 、 β X 、 γ X ，請列出間接平差觀 測方程式，並列出未知參數解和未知參數解之中誤差。（25分）

誤差傳播（error propagation）為測量資料平差處理過程之重要技巧，請 說明其適用之誤差種類以及假設條件。（25 分）

測量儀器觀測所得之資料，可能含有幾類誤差，其特性為何？今以全測 站儀測量某一方向的讀數分別為359°59′58′′、350°59′59′′、359°59′59′′、 0°0′0′′、359°59′58′′、359°59′59′′，此組資料中位數、最或是值、觀測精度 以及最或是值中誤差各是多少？並說明此組資料包含那幾類誤差。（計 算結果四捨五入至整數秒小數點下一位）（25 分）

請說明如何透過平差法處理測量觀測量之各類誤差（包含隨機誤差、系 統性誤差以及粗差等）？（25 分）

兩已知點A、B 平面坐標分別為（900.000 m, 1250.000 m）與 （1000.000 m, 1000.000 m），且已知AB 方位角之中誤差為3.0′′； 今以全站儀架站順時鐘方向觀測得∠ABC 與∠BCD 之角度，分別 為197°59′59′′3.0′′與193°29′59′′3.0′′，試繪出相關點位略圖，並 求AB、BC、CD 方位角，以及BC、CD 方位角之中誤差。（25 分）

以某一水準儀重複觀測A、B 兩點之高程差，其觀測距離與水準尺觀測 數值如下表所示（單位均為公尺），並已知該水準儀有2’（向下）之視準 軸誤差。請進行適當之改正並計算A 至B 點之高程差值。（25 分）

試說明直接觀測平差與間接觀測平差之異同；今以水準測量行經不同路 徑，觀測兩點之高差分別為－1.253 m、－1.250 m、－1.247 m、－1.251 m， 假設兩點之高差為x m，以直接觀測平差求解x 時，四段高差對應之改正 數分別以vi（ 1

請說明觀測量之權重（weight）該如何決定？並解釋觀測量之權重在平 差計算過程所扮演的角色及影響。（25 分） 後視前視後視距離前視距離後視讀數前視讀數 A B 30 20 1.578 1.635 B A 40 25 1.063 1.002

i ～）表示，試列出觀測方程式；若四段高差之權分別 為3、1、2、4，試計算x 值及其中誤差。（25 分） 四、已知A、D 之平面坐標如下表一所列，以衛星定位靜態觀測方式得到AB、 BD 之基線分量如下表二所列。假設B 點坐標為（x, y），並將觀測值視 為等權，且基線各分量獨立不相關，令AB、BD 之基線分量改正數分別 是v1～v4，試列出觀測方程式，並求出B 點坐標及其中誤差。（25 分） 表一 坐標 X 方向（m） Y 方向（m） A 65777.218 －7798.316 D 59490.412 －4911.507 表二 基線 X 方向分量（m） Y 方向分量（m） AB －7720.703 －1024.518 BD 1433.905 3911.321

以測量儀器重複觀測目標A 的垂直角共4 次，其觀測結果分別為 15°26ʹ32.6″、15°26ʹ33.1″、15°26ʹ31.2″及15°26ʹ32.8″。試求垂直角的算 術平均值（）及其中誤差。（25 分）

使用某廠牌全站儀分四組觀測相同角度成果如下表所示，假設各組平均 數之權與測回數成正比，試分析該角度的最或是值。（20 分） 組 測回數 平均數 1 5 120-15-21

假設y 與 1x 、 2x 、 3x 皆為觀測量，彼此間的函數關係為 1 2

y = x +2x +3x ； 若已知 1x 100 m 0.01 m   、 2x = 150 m 0.02 m  、 3x = 200 m 0.03 m  。試 求y 值及其中誤差；並說明上述四種觀測量（y 與 1x 、 2x 、 3x ）中，何者 為直接觀測量？何者為間接觀測量？（25 分） 三、有兩個水準點A 及B，若A 點的高程已知為23.000 m，B 點的高程未 知。若欲求得B 點的高程，從A 至B 以直接水準測量方法，經由4 條 不同長度（分別為1.0 km、1.5 km、2.0 km 及2.5 km）的水準路線，測 量AB 兩點間的高程差 AB h （分別為+12.351 m、+12.413 m、+12.338 m、 +12.318 m）。試求對應上述4 個高程差 AB h 的權、 AB h 的最或是值（加權 平均值）、B 點的高程及其中誤差。（25 分）

120-15-23 3 2 120-15-19

有一個平面直角三角形ABC（如下圖所示），ABC 為直角，AB 及BC 為兩個互相正交的直角邊，AC 為斜邊。若AB 邊長已知為40.000 m （假設無誤差），AC 邊的觀測量及其中誤差分別為50.030 m0.005 m， CAB 的觀測量及其中誤差分別為36°52ʹ11.50″20″。試以間接觀測 平差法，求BC 邊長及其中誤差。（25 分） 直角三角形ABC 示意圖

3 120-15-16 二、水準測量測線長度k 公里往返閉合差精度要求須在一定之容許範圍，一 般均以a k  mm 表示，因需求精度不同而規定不同之a 值。設測線長 度為2 km 時，允許之標準差為±14 mm，在同一標準要求下，當測線長 為4 km 時，則允許之誤差為若干？（20 分） 三、自測站O 向A、B、C、D 四方向作等精度之水平角觀測（如圖所示）， 以間接觀測平差求∠AOB、∠BOC、∠COD 的最小平方估計值，試列出 設計矩陣法係數矩陣（觀測方程式順序依序為l1、l2、l3、l4、l5、l6， 否則本題不計分）。（20 分） A B C D O 四、假設隨機變數 1L 、 2 L 、 3L ，已知其變方協變方矩陣為 2 1 3 1 4 2 3 2 3             ，求 函數 1 2 3 1

1 3 2 4 f L L L    的標準差。（20 分） 五、如圖閉合水準網中，點A 為已知點，高程為 10.000 m A H  ， 1P、 2P 為高 程未知點。觀測高程差及路線長度分別為： 1 1.352 m h  ； 1 2 km S  2 0.531m h  ； 2 2 km S  3 0.826 m h  ； 3 1km S  試以間接觀測平差求各高程差的平差值。（20 分） P2 P1

設三個獨立隨機變數A、B 和C，中誤差為

A、B、C三點共線。今使用一台誤差為3 mm + 2 ppm之電子測距，單次測 得AB之距為100.214 m，BC距為200.921 m，試求總長AC之誤差（假設除 電子測距儀外，無其他誤差）。（25分）

A    ， B C      ，今 得新的隨機變數X = A + B + C，試以誤差傳播定律求隨機變數X 的中誤 差 X  。（25分） 二、如圖之水準網中(箭頭為觀測方向)，水準點A、C 為已知水準點 ( 5.000 m 6.000 m) A C H H   、 ，B、D 為未知點，水準觀測數據如下表 所示： 高程差觀測值(m) 水準路線長(km) 1 0.500 m H  2 2 0.400 m H  5

一新點P點之高程以GPS橢球高配合內政部之大地水準面由兩已有正高點 觀測之，分別為20.31 ± 0.02 m , 20.33 ± 0.04 m。 求P點之加權平均高。（10分） 求加權平均高之標準偏差。（15分）

三界址點A、B、C之平面座標以GPS相對定位觀測得下列水平基線座標差 數據（X，Y；單位m） ∆rAB=（20.142，32.133） ∆rBC=（40.212，40.142） ∆rCA=（-60.357，-72.278） 求X及Y分量之閉合差。（10分） 令A之座標為（0, 0），求B、C點之座標。（15分）

0.600 m H  5

簡易的偵錯原則為殘差（residual）3倍中誤差原則。一距離觀測6次如下： 30.123、30.125、30.122、30.124、30.129、30.121 m。 求此距離之最或是值。（10分） 以3倍中誤差原則判斷30.129 m是否為粗差（outlier）。（15分）

0.300 m H  2

0.200 m H  5 試列出間接平差觀測方程式、設計矩陣A、權矩陣P 及法矩陣N（無需 求解）。若採用條件平差進行解算，試問會有幾個條件式？（25分） 三、偶然誤差係起因於人類感官、儀器極限或受自然環境因素所引起，且誤 差無法立即發現或改善，每個觀測值必伴隨著偶然誤差，而其大小、符 號和統計機率有關。試列出四項偶然誤差之特性。（25分） 四、今以三種測距儀器A、B 與C，分別觀測一距離3次、3次與4次，得平均 值 50.15 m A  、 50.13 m B  及 49.99 m C  ，儀器觀測精度分別為 2 cm A   、 3 cm B   與 2 cm C   ，試求該段距離之平均值(m)與中誤差 (cm)。（25分） h3 h2 h1 h5 h4

已知標準差σU = 2、σV = 1 和σUV = ‐1。隨機變數U、V 和X、Y 的關係為 ቂX Yቃ= ൤U -V V U൨ቂA Bቃ， 其中A=3 和B=‐2。試求隨機變數X、Y、U、V 的變方-協變方矩陣。（25 分）

假設觀測向量為 ，其方差- 協方差矩陣為 ，試求觀測量x、y 及z 的標準差及其協方差 [ T z y x X = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ] ⎡ 0.0 1.0 - 4.0 ∑ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = XX 5.0 2.0 0.0 2.0 2.0 1.0 - xy σ 、 xz σ 及 yz σ 。（25 分）

假設誤差服從常態分配，若95%信賴區間的極限誤差為20 公分，試求 50%信賴區間的或然誤差。（25 分）

有一矩形宗地長（L）、寬（W）的觀測數據如下表所示，試求該矩形之 面積及其標準差。（25 分） 矩形宗地之長、寬觀測數據表 長（L） 寬（W） 觀測次數 5 4 觀測量（m） 248.47 120.46 248.58 120.53 248.52 120.43 248.41 120.55 248.49

有一測量驗收規定：「驗收標準：建置方（乙方）測量所得的點位位置 與驗收方（丙方）測量所得的點位位置之較差不得超過下列限制：較差 均方根誤差10 公分，最大較差20 公分。丙方須驗收5%以上的點位， 其中95%的點位位置要通過前述的驗收標準，乙方的建置成果方為合 格」。今乙方共建置了1900 個點。丙方隨機抽驗其中110 個點，並提供 了下面這些資料：110 個點中的10 個點的位置較差介於8 至10 公分之 間，95 個點的位置較差介於10 至20 公分之間，其餘5 個點的位置較差 均超過20 公分。試分析丙方所提供的驗收資料是否合於前述規定，以 及據此是否可知乙方通過驗收？（25 分）

已知3 點的觀測數據，如下表所示。若欲用此3 點的數據擬合拋物線方 程式y = ax2+b。表中之y 為觀測值，假設其間互不相關而且是等權。試 以最小二乘法間接觀測平差法，求參數a、b 及其標準差。（25 分） 已知3 點的觀測數據表 點號 A B C x 1 2 3 y 7.50 20.50 42.00

以下列數據迴歸一條直線y = a x + b，其中y 為觀測值，x 為已知值： x 8 10 ‐5 ‐15 y 10.65 10.67 10.35 10.20 假設所有觀測量等權獨立不相關，試以最小二乘法估計參數a、b 和其 標準差。又參數a 是否為有效參數？請具體說明之。（可能的統計門檻值： z0.05=1.64，z0.025=1.96，t2,0.05= 2.92，t2,0.025= 4.303，t4,0.05= 2.132，t4,0.025= 2.776） （25 分）

有一扇形的土地（如下圖所示），測量了該扇形的圓心角θ、半徑r 及圓 弧長L；有關觀測值及觀測精度，如下表所示。試以最小二乘法間接觀 測平差法求該扇形面積及其標準差。（25 分） 扇形土地的觀測值及觀測精度表 參數 觀測值 標準差 圓心角θ 30° 6′′ ± 半徑r 38.00 m 02 .0 ± m 圓弧長L 20.00 m 02 .0 ± m 扇形土地示意圖 圓心角 半徑 圓弧長

一長方體之長邊觀測量和標準差為a = 80.00±0.08 m，寬邊觀測量和標準 差為b = 50.00±0.05 m，高觀測量和標準差為c = 10.00±0.02 m。試求長 方體體積和邊長總和，以及兩者之標準差（或稱中誤差）。（25 分）

請說明何謂參數相關（correlated）？可由那個統計指標得知參數之相關性？並請說 明如何利用該指標來判定參數之相關性高低。（25 分）

假設A、B 兩點高程差已知（100 mm；正確無誤差）。利用兩台不同精 度水準儀分別對A、B 兩點進行7 次高程差觀測，每次觀測的真誤差為： 第一組：5 mm、-3 mm、-2 mm、1 mm、2 mm、-4 mm、1 mm 第二組：-4 mm、2 mm、1 mm、-8 mm、2 mm、5 mm、2 mm 試求這兩組觀測量的精度指標，包含標準差、平均誤差以及或然誤差， 並依據各精度指標分別說明那組觀測精度較高？（25 分）

如下圖所示之角度測量，假設各角度觀測量（a1~a5）不相關且等權，請進行平差計 算，並列出平差後各角度之估計值以及相對應之改正數。（25 分）

利用一台經緯儀對一垂直角分別進行五組觀測，五組觀測分別進行2、 3、4、3、2 測回。各組觀測垂直角的平均值分別為 0 1 0 1 10 1 ′′ ′ ° = l 、 6 1 0 1 10 2 ′′ ′ ° = l 、 2 1 0 1 10 3 ′′ ′ ° = l 、

假定某一物理量y 是由隨機觀測量 1x 與 2 x 之線性組合而成，其關係式可寫為 9 2 1 + + = bx ax y ，且已知 8 = + b a ， 0 1 1 . x ± = σ ， 5 0 2 . x ± = σ 。請決定適當之a 與b 數 值使得y 之隨機誤差能最小化。（25 分）

1 0 1 10 4 ′′ ′ ° = l 、 8 1 0 1 10

請解釋在平差問題中自由度（degrees of freedom）之意義以及其與觀測量個數間的關 係。此外請說明自由度越高，則平差解算後之成果精度是否必然越佳？（25 分） 正北 各角度觀測量 a1 = 23.56° a2 = 56.89° a3 = 33.13° a4 = 80.42° a5 = 90.02° 正東 a1 a2 a3 a4 a5

′′ ′ ° = l 。假設以1 測回觀測垂直角的標準差為單位權標準差（1 測回與2 測回的權分別為 1 和2）。試列出各組垂直角平均值的權，並求加權平均值、後驗單位權 標準差、加權平均值之標準差。（25 分） 四、若高程（h）和時間（t）的關係符合二次多項式： 2 ct bt a h(t) + + = 。請 利用以下數據估計二次多項式的係數（未知參數估值）、後驗單位權中 誤差、未知參數估計值中誤差、各觀測量最或是值及其中誤差（假設t 無誤差，高程觀測量（h）等權不相關）。（25 分） t（年） -2 -1 0 1 2 h（cm） 11.8 8.9 10.3 15.1 23.8

某一距離重複觀測四次，分別為：32.540 m、32.480 m、32.460 m 及32.520 m，試求 其平均誤差、或是誤差及中誤差為何？（20 分）

今有一水準測量各段水準線長分別為 km 3.3 1 D = 、 km 4.6

設某角的三個觀測值及其中誤差分別為 2 2

D = 、 km 6.5

5 2 40 ′′ ± ′′ ′ o 、

D = ，假設 水準測量的高程差變方和距離成正比，且每公里觀測高程差的中誤差為σ1km，則各段 高程差的中誤差分別為？又分別以D1、D2 及D3 的中誤差為單位權中誤差，則各高 程差的權分別為何？（20 分） 二、今有x、y 兩觀測量，其中誤差分別 x σ 、 y σ ，請分別繪出下列誤差橢圓： y x σ σ = 且相 關係數為零； y x σ σ > 且相關係數為零； y x σ σ < 且相關係數為零； y x σ σ = 且相關係數 為0.5； y x σ σ = 且相關係數為-0.5。（20 分） 三、攝影測量中之光束法平差其目的為將相片之外方位參數與共軛點之物空間坐標同時 解算。若今拍攝照片為m 張，其共軛點數量為n 個，試求此平差系統之觀測量、未 知數、多餘觀測量之數量。（20 分）

8 2

間接觀測平差之函數模式為 AX V L = + ，其隨機模式為 1 2 0 2 0 − = = ∑ P σ Q σ LL LL ，此模型 稱為高斯馬可夫模型，依高斯最小二乘法理論，請推導未知數最或是值。（20 分）

2 40 ′′ ± ′′ ′ o 、 1 4 2 5 2 40 ′′ ± ′′ ′ o ， 現取1′′ ± 為單位權標準差，求三個觀測值的權、該角最或是值及其中誤差為何？（20 分） 三、如下圖，在P 點等權測量PQ 兩點間的斜距S 共四次，分別得S1、S2、S3 及S4，並 等權觀測PQ 兩點之垂直角共三次，分別得α1、α2 及α3，請詳細列式及說明計算高 程差H 之最或是值及其中誤差。（20 分） 四、假設有觀測值L1 的權P1 為3，其變方σ1 2 為4，且知觀測值L2 的變方σ2 2 為2，試求 其權P2 及協因數（權倒數）Q11 及Q22。（20 分） 五、如下圖，BAF 為一直線，於A 點依序對B、C、D、E 及F 各方向做角度觀測，各角 度觀測值分別為α1、α2、α3、α4、α5 及α6，試以間接平差求解，列出觀測方程式V=AX-L 中，各矩陣之諸元素。（20 分） Q S P H α B A F E D C

設隨機變數X1、X2、X3 與X4 不相關，且其中誤差分別為8 mm、6 mm、4 mm 與 2 mm，求函數 4 2 1 3 4 1 2

1 1 8 1 F X X X X + + + = 的中誤差。若隨機變數X1、X2、X3 與 X4 分別為16、12、8 與4 公尺，則函數F 之最或是值與相對精度分別為多少？ （20 分）

什麼是多餘觀測？為什麼要有多餘觀測？（20 分）

測量外業蒐集的觀測量（如角度、距離、高程差），通常均假設其為隨機變量（random variable），請論述： 如何判斷蒐集的觀測量為隨機變量？（10 分） 如果不是隨機變量，則通常會呈現那幾種型態？（5 分）各應該如何處理？（10 分）

如圖一所示之三角網，邊長b 由基線a 及水平角α 、β 、γ 、δ 計算得之，觀測量及 其標準誤差如下：a＝231.243 m±0.012 m、α ＝66°12´30〞±10〞、β ＝48°08´20〞±10〞、 γ ＝44°17´05〞±10〞、δ ＝54°27´05〞±10〞。假設各觀測量之間互相獨立，請計算b 及其標準誤差。（20 分） 圖一

已知電子測距儀甲的規格為±（5 mm + 10 ppm），以甲量得距離S 為1091.235 m，若 甲儀器的對點誤差為± 3 mm，反射稜鏡的對點誤差為± 4 mm，則： 請說明甲儀器規格中的10 ppm 意義。（5 分） 請計算甲量測S 的測距誤差。（10 分） 若另以電子測距儀乙測得S 為1091.251± 0.015 m，請依據甲、乙的測距結果計算S 的最或是值（加權平均值）。（5 分）

甲、乙各自獨立解算下列聯立方程式： ቐ 3x－2y = 3.8 4x + y = 9.2 2x + 3y = 6.9 甲的結果為（x = 2.1；y = 0.9），乙的為（x = 1.9；y = 1.1），則： 甲、乙何者解算結果較佳？請論述你的理由。（10 分） 如果 f = x + 2y ，請計算f 值及其協因素（cofactor）Qf。（20 分）

觀測成果中為什麼一定含有偶然誤差？能否將其消除？如何處理？（20 分）

如果量得矩形的長為L，中誤差為 σ௅，以及寬為W，中誤差為 σௐ，假設L 與W 獨 立不相關，請列式說明如何獲得： 矩形面積A 的中誤差 σ஺。（10 分） 矩形面積A 與矩形對角線 S = ඥL2 + W2 的相關係數 ρ஺ௌ。（15 分）

如圖二所示，P(x, y)代表點位坐標，P(x, y)由觀測量α 、r 計算得之，觀測量及其標準 誤差如下：α ＝56°12´30〞±10〞、r＝331.243 m±0.012 m。假設各觀測量之間互相獨 立，請計算x、y 及其標準誤差並計算x、y 之間的相關係數。（20 分） 圖二

某ㄧ水準點高程之六個觀測量及其權重如下表： 高程（m） 權重 高程（m） 權重 高程（m） 權重 123.345 3 123.340 1 123.336 4 123.342 2 123.338 5 123.343 3 請計算此水準點六個高程觀測量之加權平均值及加權平均值之標準誤差。假設權重 等於2 之觀測量其相應之標準誤差為0.030m 且權重與標準誤差之平方成反比。（20 分） b a x,y) ( r P Y X

若有一塊圓形土地，其半徑及其中誤差分別以x 及 x σ 代表之（單位為m ）。假設 m x 15 .5 3 = 、 m x 05 .0 ± = σ ，試計算此塊圓形土地在1/500 地圖上的面積及其中誤差。 （25 分）

測量觀測量，如水準尺讀數（m）或方向讀數（deg），會被認為是隨機變量，其常 有專屬離散的權重或有專屬連續的機率密度函數。試列式並陳述該隨機變量之期望 值與標準差參數。（20 分）

對地面上A、B 兩點的平面距離AB，利用儀器分四天施測，每天測量之平均距離及 其中誤差分別為 m m 12 0.0 14 0. 01

於換算平面直角坐標時，先後將方陣 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2

± 、 m m 10 0.0 11 0. 01 3 ± 、 m m 06 0.0 05 0. 01 3 ± 及 m m 15 0.0 24 0. 01 3 ± 。假設中誤差為 m 15 0.0 ± 時所對應距離的權值為1，試計算AB 距離的加權平均值及其中誤差。（25 分） 三、對地面上C、D 兩點之間的平面距離CD，利用儀器進行4 次觀測，得到該距離的4 個 獨立觀測值 [ ]

2 1 2 1 2 3 與方陣 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 2 3 2 3 2 1 相乘。 試列出方陣乘積之結果。（10 分） 列出第小題結果的逆陣，並驗證其正確性。（10 分） 三、獨立且等權觀測平面五邊形頂點內角，得 ） （deg iθ 於此i = 1, 2,…, 5。 列出內角總和與理論值間閉合差項。（8 分） 以條件觀測平差法求解每觀測角度之殘差。（12 分）

3 2 1 , l , l , l l L = ，假設各觀測值之間互相獨立，而且其精度皆為 0 σ 。如果 以xˆ 代表CD 距離的最或是值，試利用最小二乘法原理，推導計算xˆ 的數學公式。（25 分） 四、有一個平面直角三角形ABC，若A 點為xy 坐標系統的原點，其坐標為 ) 0.0 ,0.0 ( （假 設無誤差）；AB 位於x 軸上，B 點的坐標為 ) 0.0 , (x ， ABC ∠ 為直角，AB 及BC 為兩 個互相正交的直角邊，AC 為斜邊，C 點的坐標為 ) , ( y x ，上述平面坐標的單位皆為m。 為了求得C 點坐標 ) , ( y x 的最或是值，所需的觀測量及其中誤差有：AC 邊及其中誤差 為 m m 030 .0 120 . 50 ± ，BC 邊及其中誤差為 m m 040 .0 240 . 30 ± ， CAB ∠ 及其中誤差分 別為 0 1 4 2 2

重複兩次（含）以上獨立測量某水平角或某斜距或儀器高等參數。於不等權情況下， 明列最小二乘參數平差解答。（20 分）

36 ′′ ± ′′ ′ ° 。試利用間接觀測平差法，計算C 點坐標 ) , ( y x 及其中誤差。（25 分）

一組平面縱橫坐標（N, E）和另一組直角坐標（U, V）之間非共線的同名控制點有 K（≥3）個。倘若Ni 坐標軸朝正上方，Ui 坐標軸方位角為φ ，今藉（A, B）平移、 λ 尺度及φ 旋角參數，以相似轉換將起始（Ni, Ei）坐標計算為成果（Ui, Vi）坐標。 詳列本相似轉換應用公式。（10 分） 承上列小題，僅視成果（Ui, Vi）擁有獨立的隨機坐標誤差。當採用間接觀測平差 模式時，試明列2K×4 設計矩陣中各個元素。（10 分）

甲、乙兩人分別以測距精度±(3 mm + 2 ppm)之電子測距儀觀測同一段直線距離，已 知該距離大約為250 公尺，其中甲直接觀測該段距離5 次後取平均值作為該段距離 之最或是值，乙則將該段距離均分為五段分別觀測，再予以加總後作為該段距離之 最或是值。假設各次觀測值皆為獨立且不相關，請比較兩人所得距離最或是值之品 質高低。（25 分）

分別於A、B 兩個已知點（坐標如表1）架設電子測距儀與反射稜鏡，往返檢測A、B 的水平距離（假設往返檢測獨立不相關），得到結果如表2，則：  依據表2，請以直接觀測平差法計算此段檢測距離最可能值（或稱最或是值）的 標準誤差（或稱中誤差）。（5 分）  若電子測距儀出廠檢定的測距精度為3 mm + 2 ppm，並假設反射稜鏡與儀器的檢 定對點誤差均為1.5 mm，請以誤差傳播法計算此段檢測距離最或是值的標準誤 差。（10 分）  請論述比較 與 最或是值的標準誤差計算結果之意義。（10 分）  依據表2 檢測結果的最或是值，其與已知距離之間是否存在差異?請論述差異的 可能原因。（10 分） 表1 表2 點號 縱坐標（m） 橫坐標（m） 檢測水平距離（m） A 110.000 630.000 A 到B（往） 100.040 B 170.000 550.000 B 到A（返） 100.030

在下圖中，某人欲求定A、B、C、D 四個方向間之水平夾角，各觀測值分別如列表 所示，並假設觀測值精度相等且彼此獨立不相關： 請計算此次觀測之多餘觀測數。（5 分） 請以最小二乘法進行平差計算，求得各觀測量之改正數、改正後觀測量以及改正 後之水平夾角值。（20 分）

在測量的觀測作業中，請論述：  多餘觀測量的意義。（5 分）  一段距離若僅以電子測距儀施測1 次得S電子測距（公釐等級），請論述此結果。 （5 分）  延續 ，若另以個人步幅方式加測1 次得S步幅（公寸等級），請論述此步幅測距 結果對於整體測距成果的意義。（10 分）

若以同一設備重複觀測一長方形建築物基地寬度與長度各8 次，得下表之數值，請 計算該基地之寬度、長度與面積之最或是值以及標準差。（25 分） 1 2 3

若已知          z y f y x f z x f 3 2 5

2 3 3 2 1 ，向量 T z y x ] [ G  的變方-協變方矩陣              4 1 0 1 3 1 0 1 2 DG ，請計算：  向量 T f f f ] [ F 3 2 1  的變方-協變方矩陣DF。（15 分）  f2 與f3 的相關係數。（5 分） 四、假設兩段無刻劃的繩索長度分別為 1 與 2  ，若量測得其函數關係為          m 03 . 90 4 m 96 . 49 3 m 05 . 10 2

2 1 2 1 2 1       ，請以最小二乘法計算 1 與 2 長度的最或是值以及其標準誤差 （或稱中誤差）。（25 分）

寬度(m) 12.30 12.31 12.29 12.28 12.32 12.25 12.33 12.27 長度(m) 25.93 25.86 25.75 25.80 25.88 25.82 25.89 25.90 四、某人由A、B、C 三個已知點觀測至一未知點K 之水平距離，欲藉此以間接觀測平 差法解得該未知點平面坐標。假設已知點坐標分別為 ) , ( A A y x A 、 ) , ( B B y x B 、 ) , ( C C y x C ，距離觀測與標準差為 AK S AK S AK σ ± = 、 BK S BK S BK σ ± = 、 CK S CK S CK σ ± = 。 請列出線性化間接觀測平差方程式V = AX - L 之各矩陣與向量（V、A、X、L） 之維度大小與內容元素。（20 分） 請列出題平差計算過程所需要的權矩陣。（5 分） O A B C L1 L2 L3 L4 L5 水平角 觀測值 L1 25°30'40" L2 20°20'20" L3 23°10'45" L4 45°50'55" L5 69°01'55" D

設 A ∠ 的三個觀測值及其標準差分別為: 0.3 0 3 1 5 40 ′′ ± ′′ ′ o 、 0.6 6 3 1 5 40 ′′ ± ′′ ′ o 、 0.9 6

觀測誤差可分為那幾種類型？並請詳細說明對不同種類之觀測誤差所採用的處理方 法。（20 分）

1 5 40 ′′ ± ′′ ′ o ；如果取 0.9 ′′ 作為單位權的標準差，求三個觀測值的權（10 分）、 A ∠ 的加權平均值X（10 分）及其標準差 X σ （5 分）。 二、在圖1 中，BM1～BM3 為已知水準點，其高程分別為51.845 m、95.697 m 及73.288 m， 假設無誤差；A、B 為待測點。1～4 代表水準路線編號，箭頭指示施測方向。路線 1～4 的觀測高程差及其標準差，依序為 m 007 .0 m 128 . 26 ± 、 m 010 .0 m 873 .6 ± 、 m 008 .0 m 852 . 10 ± − 及 m 006 .0 m 552 . 11 ± 。利用間接觀測平差，求A、B 兩點的高 程及其標準差。（25 分） 圖1、水準測量路線示意圖

已知測站點坐標X 和Y 的中誤差分別為 cm X 0.5 ± = σ ， cm Y 0.4 ± = σ 。若已知X 和Y 的協變方 2 0. 10 cm XY ± = σ ，試寫出向量 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = Y X Z 的變方-協變方矩陣 Z D 和計算X 與Y 的相關係數 XY ρ 。（20 分）

如果邊長S 、方位角α 及其相應標準差已知，分別為 m 005 .0 m 00 . 500 ± 及 0 0. 05 0 0. 30 0 3 42 ′′ ± ′′ ′ o 。求坐標增量 α = Δ sin S X 、 α = Δ cos S Y 及其變方－協變方矩陣 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ σ σ σ σ Δ Δ Δ Δ Δ Δ 2 Y Y X Y X 2 X 。（25 分）

如圖一，在A點等權觀測 B A、兩點之垂直角α 共六次，分別得 5

在圖2 中，A、B、C 三點在一直線上，測出了AB、BC 及AC 的距離，分別為 L1 = 190.40 m、L2 = 203.16 m 及L3 = 393.65 m；3 段距離觀測值的權分別為P1 = 2、 P2 = 4 及P3 = 6。利用間接觀測平差法，求AB、BC 及AC 距離的平差值及其相應 標準差。（25 分） 圖2、A、B 及C 距離觀測示意圖

3 2 1 α α α α α 、 、 、 、 及 6 α ，並等權測量 B A、 兩點間的斜距S共五次，分別得 4 3 2 1 S S S S 、 、 、 及

S ，請詳細 列式說明計算水平距D之最或是值及其中誤差。（20 分） 圖一 四、等權觀測各角度其觀測值分別為 5 4 3 2 1 α α α α α 、 、 、 、 及

α ，如圖二所示。 分別以間接平差及條件平差求解，試回答以下問題： 請列出間接平差觀測方程式 L AX V − = 中， L X A V 、 、 、 各矩陣大小及其諸元素。（10 分） 請列出條件平差條件方程式 0 = +W BV 中， B、V、W 各矩陣之大小及其諸元素。（10 分） 圖二 五、已知間接平差之觀測方程式為 L AX V − = ，試依最小二乘法並引入權矩陣P，推導 出未知數X=(ATPA)-1ATPL 之計算式。（20 分） S A B D α C 2 α 1 α 3 α 4 α 5 α 6 α O A D B

試列舉3 個例子證明測量觀測量含有不可避免的誤差；（13 分）並說明誤差對觀測量 的影響。（12 分）