結構分析考古題｜歷屆國考試題彙整

如圖所示，一根複合軸是由一支外徑90 mm、內徑60 mm 的銅管，套在 相同長度、直徑為60 mm 的實心鋼軸上組成的。兩個構件的兩端被剛性 固定在一起。已知鋼材的E = 208 GPa，銅材的E = 91 GPa，兩材料的波 松比（Poisson’s ratio）均為0.3。若鋼材的容許剪應力為100 MPa，而銅 材的容許剪應力為60 MPa，試求此複合軸所能承受的最大扭矩。（25 分）

AD 為木質梁構件，其斷面如圖示，由A 點鉸接及水平CE 鋼纜支撐。 AD 構件分別於B 及D 點受垂直載重作用。試求解AD 構件B 點及C 點 的最大壓應力。（25 分） 90 mm 60 mm L T 4L 銅管 實心鋼軸 E C 4 m A 6 m 4 m 4 m 4 m 6 kN 3 kN B D

如下圖所示之剛架，B 點為鉸接，各桿件之EI 值為常數。剛架受圖示載 重作用，請利用傾角變位法（Slope-Deflection Method）求桿件之節點彎矩， 並繪製剪力圖及彎矩圖。（未依指定方法作答，整題以零分計。）（25 分）

如下圖所示桁架，請繪製該桁架CI、CD、DI、IJ 及FL 桿件的影響線。 （25 分） P A E B 4 m 4 m 4 m C D P 4 m 6 @ 6 m = 36 m A G B C D F 8 m H I J K L E

下圖中，彈性圓管A，其勁度（stiffness）為 Ak ；彈性圓管B，其勁度為 Bk ，圓管A 與圓管B 以剛性基板連接。基板與蓋板間有彈力常數為k 之 線彈簧連接。未施加外力P 時，蓋板與圓管A 有間隙。施加外力P 使 間隙密合，且圓管A 及圓管B 均產生壓縮量。求平衡時，圓管A 及圓 管B 的壓縮量 A 、 B ，以及A 點與B 點之向下位移 A D 、 B D 。（20 分）

均勻厚度之開口薄壁梁，截面如下圖所示，其厚度為t，此截面受到剪力 10 kN  V 作用。設 80 mm  a 、 100 mm  h 、 15 mm  t ，則剪力中心S 與 o 點之距離e =？（20 分） 10 kN/m 8 kN/m 15 kN 10 kN 4 m 6 m 6 m D E B C A

如下圖所示之桁架結構，各桿件的彈性模數E 均相同。AB、AC、BD 及 CD 桿件的斷面積為2A，AD 及BC 斜桿的斷面積為A。若因施作瑕疵， AB 桿短了0.02 L，BD 桿件長了0.01 L。請以諧合變位法（Method of Consistent Deformations）求各桿件的內力。（未依指定方法作答，整題以 零分計。）（25 分）

如下圖所示之剛架，A 點為固接支承，C 點及E 點為鉸接，各桿件之EI 值均相同。剛架受圖示載重作用，請利用傾角變位法（Slope-Deflection Method）求桿件之節點彎矩MAB、MBA、MBC、MBD、MDB 及MDE；並繪 製剪力圖及彎矩圖。（未依指定方法作答，整題以零分計。）（35 分） 3L C D 4L A B

繪製圖梁的剪力圖與彎矩圖，並說明最大剪力值與最大彎矩值。（20 分） 圖

如圖的桁架係由A-36 鋼棒所製，每一棒材皆為直徑40 mm 的圓形截 面實心圓鋼棒。試求不會產生構件挫曲所能施加的最大外力P 為何？構 件兩端皆為銷接。 210[GPa] E  ， 250[MPa] Y  。（20 分） 圖

如圖所示，纜繩承受載重，若P=3 kN，試求距離y；纜繩BC 的 拉力。假設纜繩是完全柔性而且不會伸長的，忽略纜繩本身的重量。（限 定使用切過BC 的斷面法，使用其他方法，不計分數）。（30 分） 圖

如圖所示，假設EI為常數，求出作用在斜柱剛架所有桿件的桿端彎矩。 （限定使用傾角變位法，使用其他方法，不計分數）。（30 分） 圖

有一平面應力元素受應力如下圖(a)所示，當此元素逆鐘向旋轉20後， 其應力狀況如下圖(b)所示。假設此應力元素之彈性模數E = 25 GPa，柏 松比v = 0.2，請計算應力 x 、 y 及此元素在x 及y 座標系統下之應變 x 、y 、xy  。（20 分） 提示： x y x y x ' xy cos2 sin2

2       , x y x 'y' xy sin2 cos2 2      圖 二、有二薄管壁梁之斷面如下圖(a)及(b)所示，試計算各梁斷面剪力中心S 之 ey 及ez 值。（20 分）

如下圖所示之平面剛架結構，a、d、e、n 點為鉸支承，c 點及m 點為鉸 接，各桿件有相同之彈性模數E 與慣性矩I，且EI = 250000 kN-m2。不 考慮各桿件的軸向變形，求ab 桿件的端點彎矩、此結構系統之撓曲應變 能、b 點及c 點垂直位移。（30 分） 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m 12 kN 12 kN 12 kN 12 kN a d c b e n m 圖

如下圖所示結構，承受垂直集中載重32 kN，a 點為固定端，e 點為鉸支 承，b 點為鉸接，點d 連接一軸力桿件de，桿件de 彈性模數E 與斷面 積A 之乘積為EA = 62500 kN，而桿件ab 及bd 有相同之彈性模數E 與 慣性矩I，且EI = 60000 kN-m2。若不考慮桿件ab 及bd 的軸向變形，求 a 點固定端反力（含彎矩）、de 桿件軸力、c 點及d 點垂直位移。（30 分） 3m 4m 3m 3m 4m 32 kN a d c b e

一彈性均勻鐵軌以強力扣件固定於間距為75 cm 之軌枕，鐵軌之降伏應 力為360 MPa，若其張應力及壓應力安全係數分別為1.5 及3.0。材料彈 性模數為200 GPa，膨脹係數為1.5 × 10–5/℃。假設軌道固定軌枕時之溫 度為24℃，若扣件間完全無滑脫，試求該軌道之安全溫度範圍。（25 分）

一8 m 長，上下不對稱斷面之I 型懸臂梁承受一均布載重15 kN/m（如 圖一(a)所示，斷面尺寸則如圖一(b)所示。今在其自由端點施加一具偏心 距e 之軸向壓力1500 kN。（25 分） 試求可使梁斷面不產生張應力之最小偏心距。 另求出前述最小偏心距時梁斷面之最大壓應力值。 B A e 1500 kN 8 m 15 kN/m 圖一(a) 圖一(b) 20 cm 40 cm 20 cm 50 cm 40 cm 15 cm

如下圖二所示之一靜定剛架結構系統ABCD，其中A 端為鉸支承、D 端 為輥支承。AB、CD 桿長4 m，撓曲剛度為2EI，B 節點承受一向右集中 載重30 kN。BC 桿桿長6 m，撓曲剛度則為EI，承受一向下之均布載重 10 kN/m。（25 分） 試求此系統之撓曲應變能（strain energy）。 另請以單位載重法或其他任意方法求C 節點與D 端點水平變位之比 值。 圖二

一對稱剛架系統ABCDE 具四根桿件以直角相接，各桿長度皆為L，彎 曲剛度皆為EI。現於C 節點承受一集中載重P 如下圖三所示。試求各 端點彎矩及C 節點垂直變位。（25 分） 圖三 6 m D 2EI EI 30 kN A B C 10 kN/m 4 m 4 m 2EI P L EI D A B C EI EI EI E 45o L L L

，見圖二，忽略自重）（30 分） 圖二 3 m 6 m 3 m 6 m 6 m 10 kN/m q q a b 一根勁度相當剛硬（假設無限剛度，不會變形）之桿件ACDB，在A 端 為鉸支承（hinge support），如圖三所示，並在C 與D 處與兩支完全相同 之細長立柱上端銷接（pin connection），兩支立柱下端為鉸支承。每個立 柱具有撓曲剛度EI。請繪製構件之挫屈平衡圖，詳細說明會使該兩支細 長立柱體系崩塌（collapse）的B 處載重Q 為何？[假定發生崩塌（collapse） 是因兩支細長立柱連續發生側潰（或挫屈，buckling）]（20 分） 圖三 一個桁架，係由垂直水平與傾斜桿件所組成（見圖四）。假定傾斜桿件只 能承受張力。解出各桿件內力，並標示於桁架桿件。（忽略自重）（30 分） 圖四 4@ 4     4P 8P 12P

倒T 型斷面如下圖所示 受彎矩M = 20 kN•m 應力。（25 分）

如下圖所示，請繪出所 D 支承垂直反力，E 力，BG 桿件力。（ G 5 m A B C 門職業及技術人員高等考試建築 技師（含第二次食品技師）考 試不動產經紀人、記帳士考試 材料力學與結構學） 座 試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題 或英文作答。 示。b = 200 mm，a = 300 mm，tw = ，角度θ= 45∘。請計算該斷面最 所示桁架結構下列影響線：A E 支承垂直反力，F 支承垂直 25 分） G 12@5 m=60 m C D E M θ y a z b tw tf O 築師、 考試暨 試試題 座號： 題上作答者，不予計分。 20 mm，tf = 25 mm。 面最大之拉應力與壓 A 支承垂直反力， 直反力，BC 桿件 F

請利用力法(諧和變位法)計算C 點支承反力，並繪製桿件BC 的彎矩圖。 下圖各桿件之EI 均相同。（25 分）

請利用力矩分配法計算各桿件端點力矩。桿件EI 值比例標示於下圖。 （25 分） 10 m 10 kN A 10 m B D EI 3EI C E F EI 2EI 2EI 10 m 5 m 6 m 2 kN/m A 8 m B C 8 m

如下圖為量測三方向應變之應變座（45° strain rosette），已知量測之三個 應變讀數為εa = 218μ、εb = 36μ 與εc = 62μ，受測體材質為鋼製彈性模數 E= 200 GPa、波松比ν = 0.3。 求出該量測位置平面上的主軸應變（ε1與ε2）與主軸的方向角度θp。（10 分） 計算此位置上對應的平面內主軸應力（σ1與σ2）及絕對最大剪應力（τabs. max）。 （10 分）

考慮一受壓的理想化柱系統，由兩根剛性桿（桿ABC 和桿CD）以一旋 轉彈簧（βR）鉸接合於C 點，並由一線性彈簧（k）及銷支承簡單支撐 如下圖所示，桿的長度尺寸如圖示，外力P 施加於A 點。 當線性彈簧勁度無窮大（k = ∞），計算此系統的臨界挫屈載重Pcr（以βR 表示）。（10 分） 當彈簧係數間的關係為 2 18 7 kL βR = ，計算臨界挫屈載重Pcr（以βR表示）。 （10 分） D k P A B C βR L/2 L/2 L/2

考慮細長的鋼纜具有低撓曲勁度、可忽略自重及軸向不會伸張的特性 時，受拉力的鋼纜可視為理想之橫向完全柔軟而軸向為剛性的張力構 件。分析下列兩個包括鋼纜所組成之靜定結構系統： 如圖(a)之鋼纜系統的主索由五根垂直支索控制其平衡位置的幾何輪 廓。施工過程先由四根支索皆維持固定之3 kN 之拉力後，再由中跨C 索調整索力P 使獲得下垂量hc。已知P = 4 kN 時，hc = 7.5 m；試求A 端錨定反力之水平分量，以及B 端繩張力T 的理論值。（10 分） 如圖(b)所示之吊橋系統中，假設間距1 m 之均勻分布吊索使主纜呈現 的下垂輪廓可以拋物線函數近似，中跨hB = 4 m；試求主纜錨定反力 之水平分量、H 鉸接點剪力，並大略繪製梁DHE 之彎矩圖（可看出 變化趨勢即可）。（15 分） 若於圖(b)所示橋梁DHE 全跨16 m 上，除7 kN 與9 kN 的集中載重外， 再額外增加1 kN/m 之分布載重；試述主纜錨定反力與梁DHE 上最大 彎矩如何改變？（例如：研判變化的倍數）。（5 分） 圖(a) 圖(b)

鋼梁具均勻斷面性質，撓曲剛度EI，梁深h，左端為固接，右端彈簧支 撐條件如各圖所示。 如圖(a)所示，梁上下表面溫度不同（Tu > Tb），假設溫度梯度線性變化， 膨脹係數α；試以贅力法（柔度法）求解B 點的位移。（10 分） 如圖(b)所示，梁受均布載重w 作用；試以傾角變位法求解B 點的位 移與傾角。（20 分） 圖(a) 圖(b) 端點旋轉彈簧勁度 垂直移動彈簧勁度

請畫出下圖三鉸橋型剛構架之支承A 的水平反力（Ax）與垂直反力（Ay），及E 點剪 力（VE）的影響線（Influence line），並分別標示出C、D、E、F 及G 點之值。（25 分）

一雙材料之複合材料桿件，兩材料之彈性模數（modulus of elastic）分別為E1 與E2， 其矩形斷面積為2b × 2b（如圖示）。此桿件兩端受一偏心距為e 之壓力P 作用。若 此時桿件僅受均勻的軸壓應力（無撓曲應力（flexural stress））作用。試求分別作用 於兩材料的軸力P1 與P2，及偏心距e。（25 分）

某矩形斷面梁受偏心載重P 作用如下圖(a)所示，其斷面如圖(b)所示。已知其剪力彈 性係數G 為75 GPa，波松比（Poisson's ratio）v 為0.333。若某垂直段面上A、B 兩 點之應變分別為   350 A  ，   70 B   。試求此偏心距d (mm)及作用力P (kN)之值。 （25 分） 3 m 5 m C D E F G A B Hinge 5 m 5 m 5 m (b) d 25 mm 90 mm P d A B 15 mm 45 mm 30 mm (a) E2 E1 b b 2b e e P P b b L 106 年專門職業及技術人員高等考試 建築師、技師、第二次食品技師考試暨 普通考試不動產經紀人、記帳士考試試題 全一張 （背面） 等 別 ：高等考試 類 科 ：土木工程技師 科 目 ：結構分析（包括材料力學與結構學）

下圖桁架其材料彈性係數E 為200 GPa，所有桿件之斷面積均為150 mm2，於D 點施 加P = 4 kN 力作用。試求出此桁架之總應變能U，並利用求出之應變能計算D 點之 垂直位移δD (mm)。（25 分） A G F E 0.5 m 0.5 m 0.5 m B P C 30° D

如下圖所示之桿件ad（斷面積A，楊氏係數E，總長L 3 ），未施力前ad 桿右邊與固 定端存在空隙Δ，今在桿件b處與c處施加軸力P ，已知P 力作用下，ad 桿之d 端 已接觸右邊固定端，已知 EA PL 3

= Δ ，求ad 桿件在b點處之位移及作用在b點處之P 力 所作的功。（答案請以P，L，E 及A表示出）（25 分） L L L Δ P P a b c d 二、如圖(a)、圖(b)所示之二個應力元素，圖中所示之 0 > τ 且圖(a)中所示之正向應力σ ， 其值為 τ σ 2 = ，求出各別應力元素所對應之主應力 1 σ ， 2 σ ，

σ （答案請以τ 表示出）， 又若二個應力元素為線彈性等向性材料，其楊氏係數為E，柏松比為ν ，求出各別應 力元素所對應之主應變1 ε ， 2 ε ， 3 ε 。（答案請以τ ，E 及ν 表示出）（20 分） σ σ τ τ τ 三、如下圖所示之剛架，由ab，bc及cd 三根構件組成，三根構件長均為L，撓曲剛度均 為EI ，剛架之a 端與d 端為固定端，構件bc在跨度中央處承受彎矩 o M 作用，求固定 端a 處之反力及繪出此剛架之變形圖。（30 分） 2 / L L a b c d 2 / L o M 圖(a) 圖(b) 105年專門職業及技術人員高等考試建築師、 技師、第二次食品技師考試暨普通 考試不動產經紀人、記帳士考試試題 全一張 （背面） 等 別： 高等考試 類 科： 土木工程技師 科 目： 結構分析（包括材料力學與結構學）

如下圖所示之ab，bc及de三根梁，梁長均為L，撓曲剛度均為EI ，其中梁ab與 梁bc在b處為鉸接，而在鉸b處有一線性彈簧（彈簧常數k ）與梁de相接在e端， 已知梁ab受一集中力P作用，且固定端c 處有一向下之沉陷量Δ。假設 3 /) 3 ( ˆ L EI k = ， 請以P，Δ，k 及kˆ表示出彈簧所受之內力。（25 分） k L a L c d e Δ P 2 / L 2 / L b

如圖所示桿件由兩不同斷面桿件組成，兩端固定，在相連點b 受軸向拉力P=50 kN 作用。求各桿件應力與施力點b 點位移。E=200 GPa。（25 分）

如圖所示一8 公尺長簡支梁承受均佈載重3 kN/m。T 型斷面如右圖所示。求所受最 大拉應力與壓應力。E=200 GPa。（25 分）

一組合斷面由材料A 與材料B 組成。材料A 部分斷面為100 mm×150 mm，材料B 部分斷面則為100 mm×10 mm。材料A、B 之容許應力分別為15 MPa 與80 MPa。 材料A、B 之彈性係數E 值分別為20 GPa 與160 GPa。求該斷面對中性軸z 軸之容 許彎矩值。（25 分） 3 kN/m 8 m P 2m 4m A1=200mm2 A2=100mm2 b a c y z mm 150 mm 10 mm 100 O y 80 mm 80 mm 25 mm 160 mm C z 25 mm 104年專門職業及技術人員高等考試建築師、技師、第二次 食品技師考試暨普通考試不動產經紀人、記帳士考試試題 全一張 （背面）

如圖所示梁結構A 為鉸支承，C、D 為滾支承。於B 點承受30 kN 集中力並承受支 承C 到D 之均佈載重1 kN/m。求支承A 之轉角。方法不拘，可利用所附梁變形公式。 （25 分） 附圖：梁變形公式 EI qL B A 24 3 = = θ θ EI L M EI L M 0 B 0 A 6 , 3 = = θ θ EI PL B A 16 2 = =θ θ M0 P 2 L 2 L q A y A θ B θ B x L C D 20m 10m 10m A B 30kN 1kN/m

由甲乙兩種不同均質彈性材料製成之AB 及BC 圓斷面桿連接固定於A、C 兩端間， 如圖1 所示。甲材料長40 cm，斷面直徑6 cm，彈性模數200 GPa，熱膨脹係數 1210-6/℃；乙材料長80 cm，斷面直徑3 cm，彈性模數150 GPa，熱膨脹係數 1510-6/℃。假設各桿內原無殘留應力，現：  若溫度升高30℃，試求甲乙兩種材料桿件之軸向應力。（15 分）  若AB 及BC 間之連接視同剛接，材料之挫曲安全係數為2.1，則當溫度升高多少 度時，其中有一桿件會先達到容許挫曲應力？（10 分）

一矩形斷面木材桿條寬24 cm，高12 cm。現以此桿條製作一長3 m 之懸臂梁，梁上 承受一垂直向均佈載重q = 8 kN/m。因恐單層木材條桿的強度不足，而於適當位置 自下方黏膠貼附一至兩層相同斷面但不同長度之木條（如圖2 所示）。若木材容許 彎曲應力allowable = 10 MPa，容許剪應力 allowable = 0.5 MPa。木材接著層面黏膠之 容許剪應力 allowable = 0.4 MPa。試求恰好可滿足各項容許應力需求之最大長度L1 及L2。（25 分） 103年專門職業及技術人員高等考試建築師、技師、第二次 食品技師考試暨普通考試不動產經紀人、記帳士考試試題 全一張 （背面） 24 kN/m 2EI E D A B C 24 m 12 m EI EI 2EI 12 m 12 m F G 24 m 12 m 12 m EI EI 24 kN/m 2EI E D A B C 24 m 12 m EI EI 2EI 12 m 12 m F G 24 m 12 m 12 m EI EI 2EI EI D 30 kN 2 m 2 m A B C 6 m 10 kN/m 圖3

如圖3 所示之一度靜不定剛架結構系統ABC，其中A、C 端均為鉸支承。AB 桿長 4 m，撓曲剛度為2EI，桿中央D 節點承受一水平向集中載重30 kN；BC 桿長 6 m， 撓曲剛度則為EI，承受一垂直向均佈載重10 kN/m。  試使用任意一種「力法」（force methods）求所有端點反力。（20 分）  請繪出剪力及彎矩圖。（5 分） 附註：使用「變位法」（displacement methods）不予計分。        

一三跨連續對稱剛架橋梁ABCDE 承受一垂直向均佈載重24 kN/m 如圖4（a）所示， 其中C 為對稱軸節點。各構件之長度與彎曲剛度皆標示於圖中。現若將C 節點行為 由連續變更為鉸接，其餘則維持原設計，如圖4（b）所示。試分別分析此兩種剛架 系統，計算比較C 節點之變位。（25 分） 圖4（a） 圖4（b）

有3 根桿件所組合成之結構如圖一所示，點B 及點D 為鉸支撐，點C 為固定支撐， 點A 為鉸節點。假設所有桿件行為皆為線彈性，且彈性模數E、橫斷面面積A 及慣 性矩I 皆相同。如A 點有一向上之P 力作用。 C 點之彎矩為何？計算每根桿件所受之軸力為何（請註明其為拉力或壓力）？ （15 分） 如P 力持續增加，計算第一根桿件挫屈時所對應之P 值為何？（10 分） 圖一

有一簡支梁受一集中載重P=4 kN 如圖二所示，梁橫斷面由100 mm 寬150 mm 高 之木材及100 mm 寬8 mm 高之鋼所組成，木材斷面中含有一30 mm×30 mm 之正 方形開孔。如木材之彈性模數EW=10 GPa，鋼之彈性模數ES=200 GPa，假設所有 材料行為皆為線彈性。 此組合梁所受到之最大彎矩Mmax 為何？（5 分） 計算此組合梁中性軸之位置。（5 分） 計算木材之最大彎矩應力σW 及鋼之最大彎矩應力σS，並述明其為拉應力或壓應 力。（15 分） （註：計算最大彎矩及最大彎矩應力時以絕對值為參考標準。） 梁橫斷面尺寸：mm 圖二 102年專門職業及技術人員高等考試建築師、技師、第二次 食品技師考試暨普通考試不動產經紀人、記帳士考試試題 類 科： 土木工程技師 全一張 （背面）

考慮一靜定穩定之平面剛架結構，如圖三所示，該剛架之節點A 為鉸支撐，節點E 為滾支撐，且BC 和CD 二構件均承受每單位水平長度（m）具1.25 kN 大小之均佈 載重。 試求節點A 和節點E 處之支承反力為何？（15 分） 試繪構件BC 沿構件長度方向之剪力圖與彎矩圖。（10 分） 圖三

考慮一超靜定非均勻梁結構，如圖四所示，該梁之兩端均為固定端，構件AB 和 BC 之彎矩剛度分別為常數3EI 和EI，且在點B 處承受一集中力矩MO 作用。 試以傾角變位法求解各構件之端點彎矩，節點B 之傾角和位移？（15 分） 試繪該梁之剪力圖和彎矩圖。（10 分） 圖四

假設材料為均向性與線彈性。楊氏係數E = 50 GPa，包生比（Poisson’s ratio）ν = 0.25。 在一個受外力的平面應力問題，某一點的應力大小為σxx = 140 MPa，σyy = 20 MPa與 σxy = 80 MPa： 求此點的主應力；（10 分） 求此點的剪應變γxy與正應變εxx。（10 分） P A B C D E L L L L

圖一為一平面梁。D 點受一垂直力P。其中C 點為鉸接（hinge），各段梁的EI 值 相同，並為常數。限以共軛梁法（conjugate-beam method）求： D 點的轉角與垂直變位；（10 分） C 點的轉角。（10 分） 註：本題若使用其他方法，整題以零分計。答案以P、L、E 及I 等表之。 圖一

圖二為一平面剛架。b點受18 kN的水平力，而bc段則承受垂直均佈載重w = 4.8 kN/m。L = 5 m，E = 200 GPa，Iab = 2 I，Ibc = I = 5 × 106 mm4： 限以傾角變位法（slope-deflection method）求各端點彎矩；（20 分） 利用之結果，畫此剛架的彎矩圖。（10 分） 註：本題若使用其他方法，整題以零分計。 18 a b c L L w 圖二 101年專門職業及技術人員高等考試建築師、技師、第2次 食品技師考試暨普通考試不動產經紀人、記帳士考試試題 代號：00160 類 科： 土木工程技師 全一張 （背面）

圖三為一平面梁。梁長Lab = 2L，Lbc = L，Iab = 1.5 I，Ibc = I，而E值則相同。支承c 下陷Δ： 限以直接勁度法求支承b 與支承c 的轉角；（20 分） 利用ab 的元素勁度矩陣與之結果，求b 點的彎矩。（10 分） a b c 圖三 註：本題若使用其他方法，整題以零分計。答案以L、Δ、I 與E 表之。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 4 6 12 . 2 6 4 6 12 6 12 2 2 2 L L sym L L L L L L I E 元素勁度矩陣如下： ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 4 6 12 . 2 6 4 6 12 6 12 2 2 2 L L sym L L L L L L I E 元素勁度矩陣如下： 元素勁度矩陣如下： x y 1 3 4 2 . .

如圖所示之兩端固定的桿件，由二種材料組成，其斷面相同，斷面積為A。材料①之彈 性模數（elastic modulus）為E1、柏松比（Poisson’s ratio）為υ1、熱膨脹係數（thermal expansion coefficient）為α1、長度為L，材料②之彈性模數為E2、柏松比為υ2、熱膨脹 係數為α2、長度為L。假設此桿件溫度均勻上升∆T，試求： 端點A、C 之反力。（10 分） 中點B 之軸向變位。（15 分） B A C L L ① ②

如圖所示之桁架，桿件AD與桿件CD垂直，桿件AD與桿件BD之夾角為β，B、C位 於同一高程，桿件AD的長度為L，此桁架承受一向下載重P。假設所有桿件為同一 種材料且斷面相同，其斷面積為A、彈性模數為E、降伏應力（yield stress）為σs。試 求： 彈性範圍內所有桿件之內力。（10 分） 彈性極限載重Pe。（5 分） D 點水平、垂直之最大彈性變位。（10 分） B C D β A L P 99年專門職業及技術人員高等考試建築師、技師 考試暨普通考試不動產經紀人、記帳士考試試題 類 科： 土木工程技師 全一張 （背面）

如圖所示之矩形斷面的簡支梁AB，承受向下的均佈載重w，梁AB之中點C有一圓桿 CD支撐，CD桿之二端為鉸接。梁AB的長度為8 m，梁斷面高h = 60 mm，寬b = 20 mm，CD桿的長度為5 m，直徑d = 10 mm。假設所有桿件為同一種材料，材料彈性模 數E = 200 GPa，允許正向應力σallow = 600 MPa，安全係數n = 3。 試求允許載重wallow。（20 分） 試求載重wallow引致之C點垂直變位。（5 分） B C D A w 4 m 4 m 5 m

如圖所示之半剛接（semi-rigid）構架，B 點為半剛接，AB 桿、BC 桿的長度分別為 L，BC 桿中點承受一向下的集中載重P。假設B 點以彈性束制之抗扭彈簧模擬半剛 接，彈簧與彎矩之關係為線性，彈簧勁度k = αEI/L，EI 為常數。 試以傾角變位法（slope deflection method）求端點A、C 之反力。（10 分） 試繪此構架之軸力、剪力、彎矩圖，並繪其彈性變形曲線。（10 分） 試分別討論當α→∞及α→0 之結構行為，並分別求其端點A、C 之反力。（5 分） L B P C L/2 L/2 A k

有一圓形套管長25 cm，內徑7 cm，外徑8 cm，施一外力P產生均勻壓應力，圓形套 管內有一同心之實心圓棒，其直徑為4 cm，在未施力時，此實心圓棒與上端剛性板間 有0.3 mm之間隙，假設套管與圓棒的彈性係數與降伏強度均分別為2.0×106 kgf / cm2與 4200 kgf / cm2，請回答下列問題：（每小題5 分，共20 分） 請算出套管降伏時施加的力量Py。 此系統所能承受最大力量Pu。 施加的力量剛達到Pu時的變位。 請繪出施加力量P 與變位的關係圖。 P B T T T B L （請接背面）

有一結構其構件及節點自由度編號如下圖，鋼纜及兩端均為鉸接，其斷面 性質為：A1 = A3 = 10 cm2，A2 = 25 cm2，I2 = 100 cm4。所有構件（含鋼纜）的彈 性係數均為E = 2.0×106 kgf / cm2，請寫出消除邊界條件後之勁度矩陣。（20 分） 4m 8m 98年專門職業及技術人員高等考試建築師、技師、消 防設備師考試、普通考試 二次消防設備士考試暨特種考試語言治 ：00160 類 科： 全一張 （ 不動產經紀人、記帳士、第 療師考試試題 代號 土木工程技師 結構分析（包括材料力學與結構學） 背面）

下圖之剛構架在a, c, e 均為鉸接，請計算a, e 兩點的反作用力。（20 分） 4m 3m 0.5 tf / m d b c 3m 4m 1 tf / m a e 2 tf / m

下圖中之彈性梁在C 點有一旋轉彈簧，請計算B 點的變位（10 分）請計算D 點 的轉角。（10 分） EI B P C D L EI k = 4 L 4 L 2 L A

下圖桁架之底部ab, bc, cd, de四桿件在組合完成後升高溫度30℃，其熱膨脹係數為α = 12×10-6 cm / cm /℃，一個32 tf的載重作用於b點，假設c支承預估最後會向下位移 5 cm（包括溫度、載重及下沉共5 cm），所有桿件L / A =1 m / cm2，彈性係數E = 2.0×106 kgf / cm2，請計算各桿件的力量。（20 分） 4@12m=48m 32 tf 16m e d c b a B C D

長為L 之複合圓柱是由鋼（steel）之外管及鋁（Aluminum）之內管所組成，外管之 內徑2R，厚度t；內管之外徑2R，厚度t，此複合圓柱之兩端為固定端，在內部承 受均佈壓力P = 0.8 MPa 作用，且整個複合圓柱均受到溫度升高ΔT = 100℃作用， 如圖一(a)、(b)所示。假設t = 0.02R，且內外管之包森比皆為v = 0.3，其它材料性質 如下： 楊氏模數 熱膨脹係數 外管（Steel） Es = 210 GPa αs = 1×10 -5/°C 內管（Aluminum） EA = 70 GPa αA = 2×10 -5/°C 由於t << R，故可視為平面應力情況，亦即，半徑方向的應力 r 與切線方向應力  σ 及軸線方向（z 方向）應力 z 比起來小很多，因此忽略 r 之應力；且應力  σ 及 z  皆可視為常數。求外管之切向應力 s   ，z 向應力 zs  ，及內管之切向應力 A   ，z 向 應力 zA  。（20 分）

如圖二(a)之結構，ABCD 為剛性桿件，由B 點及C 點的BE 鋼索及CF 鋼索支撑， 而在D 點有外力P 作用。BE 及CF 鋼索之截面積皆為A；長度皆為L；楊氏模數 皆為E；兩者皆為理想塑性材料，其應力~應變關係如圖二(b)所示。當D 點的位移 E L y D   4  時，開始卸載（unload），求卸載後BE 鋼索及CF 鋼索之殘留應力。 （20 分） 圖一(a) 圖一(b) 圖二(a) 圖二(b) 97年專門職業及技術人員高等考試建築師、技師考試暨普通考試記帳士考試、97年第二次 專門職業及技術人員高等暨普通考試消防設備人員考試、普通考試不動產經紀人考試試題代號：00160 等 別：高等考試 類 科：土木工程技師 科 目：結構分析（包括材料力學與結構學） 全一張 （背面）

下圖三剛結構架各桿件之EI 值相同，於c 點受外力P，試用傾角變位法求a,b,c 點 之彎矩（不計桿件之軸向變形）。（20 分）

下圖四(b)車輪組間距均為5 m，且各車輪荷重均為10 N，通過下圖四(a)之桁架， 試求HC，HG 桿之最大桿應力。（20 分）

下圖五梁A、B 兩端固定，EI 值均勻，不計梁之軸向變形，試以矩陣法： 求C 點之勁度矩陣（Stiffness matrix）。（10 分） 若P =0，M =300 kN-m，求A、B 端之彎矩。（10 分） 10N 10N 10N 10N 10N 10N 5@5m 1 2 3 4 5

H G A B C D E 4@10m 10m F 圖四(a) 圖四(b) A L 2L B C M,θ P,Δ 圖五 圖三 a L b c P 2L L d 60° 60°

如圖一所示，一簡支梁承受一組移動輪載重通過，試求： 此組移動輪載重之合力大小及其距離P1 點之位置（6 分） 此簡支梁所承受之最大彎矩（14 分）

如圖二所示，一簡支梁（EI=constant）承受一分佈載重，其最大強度w0 為120 kN/m，試求： 此梁中AB 段之彈性曲線方程式（equation of the elastic curve）（10 分） 此梁之最大撓度及其A 端支承之轉角（10 分）

如圖三所示，桁架各桿件之斷面積均為A，楊氏彈性模數均為E，限以結構矩陣變 位法（displacement method），試求： 此結構之勁度矩陣（stiffness matrix）（10 分） 此結構C 點處之變位（10 分） L B

A C P P 3 3 4 (a)桁架在C 點受水平力P 及垂直力P 作用 L B 4 A C r1 r2 3 3 4 (b)桁架之自由度示意圖 圖三 96年專門職業及技術人員高等考試建築師、技師、法醫師考試暨普通考試記帳士考試、96年第 二次專門職業及技術人員高等暨普通考試消防設備人員考試、普通考試不動產經紀人考試試題 代號：00160 類 科： 土木工程技師 全一張 （背面） 10 m B A C D 5 m 8 m 10 kN 圖四 L B A P1 C P2 L/2 EI=constant 圖五 四、如圖四所示，構架（frame）各桿件之慣性矩均為I，楊氏彈性模數均為E，試求各 桿件之桿端彎矩及A、D 兩處之支承反力（方法不拘）。（15 分）

如圖五所示，一懸臂梁之EI=constant，限以卡氏第二定理（Castigliano’s second theorem），試求： 此梁之總應變能（total strain energy）（假設構件僅考慮彎矩之效應）（10 分） B、C 兩處之垂直變位（△B 及△C）及其相對應之柔度矩陣（flexibility matrix） （15 分）

如圖所示之桁架，假設AE＝常數，其材料之降伏應力為 y σ 。 試以位移法（displacement method）求各桿內力。（10 分） 試求彈性極限載重Py 以及Py 引致之D 點變位δ 。（10 分）

所示之梁，假設EI＝常數。 試以共軛梁法求B 點之轉角及變位。（10 分） 試繪此梁之剪力圖及彎矩圖。（10

如圖所示之剛接門型構架，假設EI＝常數，忽略梁之軸力效應試以結構矩陣法求此 構架允許側位移之彈性臨界載重（elastic critical load）Pcr。（20 分） 95年專門職業及技術人員 高等考試建築師、技師考試暨 普通考試不動產經紀人、地政士考試試題 代號：00160 類 科： 土木工程技師 全一張 （背面）

如下圖所示之簡支梁，長度為L，一端點承受一集中力P，另一端點承受一集中彎 矩M，假設EI＝常數。試求： 最大變位的位置。（10 分） 最大變位。（10 分）

敘述或解釋下列名詞：（每小題5 分，共20 分） 梁彎曲之基本假設 波松比（Poisson’s ratio） 扭轉剛度（torsional rigidity） 彈性模量（elastic moduli） P y x EI M L M

如下圖所示為一梁AB，端點A為固定端，端點B由一彈性常數為k之彈簧支承，今有 一大小為一單位之集中力作用於梁上，當該集中單位力由端點A漸序移動至端點B時 ，試以諧和變形方法(the method of consistent deformations)求解該彈簧力之影響線函 數Fs(x)為何？（20 分） B C k k P P D 0.5L 0.5L A L

如下圖所示為一平面剛架結構，各桿件之彎曲剛度均為EI，節點B 和C 分別由一 彈性常數為k 之彈簧連結(令

6 L EI k = )，桿件AB 和CD 之中點分別受一大小為P、方 向向左之水平力作用，試求節點B 和C 之水平側位移為何？彈簧之受力為何？各桿 件之端點彎矩為何？試以： 傾角變位法(the slope-deflection method)求解（15 分） 彎矩分配法(the moment-distribution method)求解（15 分） 1 k B A x L C 94 年第二次專門職業及技術人員檢覈筆試試題 類 科： 土木工程技師 全一張 （背面） 料力學及結構學） A B k P 三、如下圖所示為一半圓弧平面剛架，半徑為R，該剛架之彎曲剛度為EI，材料為線性 彈性材料，端點A 和B 間以一彈性常數為k 之彈簧連結，該彈簧未受力時長度為 2R，節點B 受一大小為P、方向向右之水平力作用，試求： 彈簧之受力為何？（15 分） 節點B 之水平位移為何？（15 分）

如下圖所示為一平面桁架結構，於節點A處受一大小為P、方向向下之垂直力作用， 桿件AB和AC之橫截面積均為A0。若已知A點之水平位移為ΔAx(向左)，垂直位移為 ΔAy（向下），試依以下之條件分別計算該桁架結構之應變能U為何？（註：將U以 ΔAx、ΔAy、A0、a、E、B表示之） 假設該桁架各桿件係由線性彈性材料製成，楊氏係數為E。（10 分） 假設該桁架各桿件係由非線性彈性材料製成，其應力-應變關係為 C 60° A B P ε B σ = ，B為 常數，此關係對拉伸與壓縮均相同。（10 分） θ a R

如圖五所示之鋼索-鋼桿系統，鋼索連接於鋼桿斷面之重心，鋼桿斷面為長方形， 高度 = 100 mm，寬度 = 50 mm。已知鋼桿之彈性模數E = 210 GPa，降伏應力 y σ = 210MPa。試求此系統能承受之臨界載重（critical load） cr W 。（20 分） p x y L 圖四 0.1m W x 2.75m y 15° 圖五

如圖所示，有一矩形斷面懸臂樑在自由端承受一集中載重，該樑斷面係由兩種不同金屬材料緊密 接合而成，材料之彈性模數分別為E1 ＝7.0×103 kN/cm2與E2 ＝2.1×104 kN/cm2。（25 分） 求該樑斷面之最大彎矩應力，最大剪力流。 假設剪力所造成之變形可以忽略不計，求該樑自由端之轉角（θB）。

1°靜不定平面桁架受一集中載重如圖示，桿件AE = 3.5×105 kN，求桁架桿件ad、bd、cd 之內力。 （25 分）

有一拋物線形對稱三鉸拱拱頂為C 點，拱之幾何形狀可以拋物線方程式表示，假設A 點、B 點 之水平反力、垂直反力為H、VA、VB，D點座標（x = 0.25L, y = 0.75h）如圖示。（25 分） 試繪A點垂直反力（VA）與B 點垂直反力（VB）之影響線，請標明其方程式。 試繪水平反力（H）之影響線，請標明其方程式。 試繪D點之彎矩（MD）影響線，請標明其方程式。 拋物線方程式y = f (x) = (4h / L2) (xL − x2 )，h = 0.2L 九十三年專門職業及技術人員 律師、會計師、建築師、技師 社會工作師、土地登記專業代理人檢覈筆試試題 代號：30430 類 科： 土木工程技師 全一張 （背面） 4.0 m 4.0 m 20 kN a b c 25 kN/m

有一平面剛架承受一均佈載重如圖示，以傾角變位法（slope deflection method）分析該平面剛架， 假設已選定未知變位為b 點之轉角（θb）與c 點之水平位移（∆），EI＝3.33×108 kN-cm2，請回答 以下問題。（25 分） 以傾角變位公式寫出剛架構件之端點彎矩Mab、Mba、Mbc（必須以θb與∆為參數）。 將含未知變位θb與∆之結構平衡方程式改寫成矩陣方程式 [A]2×2 [X]2×1 = [B]2×1。其中 [ ] 2 2 22 21 12 11 2 2 × × ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = a a a a A [ ] 1 2 1 2 × × ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∆ = b X θ [ ] 1 2 2 1 1 2 × × ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = b b B

L L 1 2 4 L

試判斷下列結構之穩定性 (stability) 與靜定性 (static determinacy)。（每小題5 分） 構架 (Frame) 構架（桿件接頭為剛接） 構架 桁架 複合結構 (Trussed Beam)

如圖所示為一等截面開口平面圓環，其抗彎剛度為EI，受一對集中力P 作用。假設 該環為線彈體材料，不計圓環內剪力與軸力對位移的影響。試用卡氏第二定理求圓 環的張開位移為何？（25 分）

如圖所示之梁，圖中抗彎彈簧剛度k=αEI/λ，α 為一正數。試以密合條件法求支點反 力，並討論當α→∞及α→0 之行為。（25 分）

下圖構架試求各支承點反力及E 點桿端彎矩。（25 分） P P R φ w k λ EI=常數 A D G E F B C 10K 18K 6 ft 18K 6 ft 9 ft 9 ft 5 ft 4 ft a, b, c 在同 一直線上

試求下圖構架之反力並繪各桿件之彎矩圖，C 為中間鉸，A 及E 為鉸支承。 （25 分）

一圓盤自重為W＝1300KN，半徑為r＝2 m，置於斜面上，以一水平圓斷 面直桿支 ，處於平衡狀態，如圖所示。已知AB 桿彈性係數E＝210GPa ，降伏應力σy＝240MPa，A、B 點均為鉸接（hinge），桿長L＝2 r。設圓 盤與斜面間有充分之摩擦，且AB 桿不計重。若考慮安全係數n＝2.0，試 求AB 桿最小設計斷面直徑。（25 分） A L B C r

試用斜角變位法(Slope-Deflection Method)，求下圖所示梁中D 點的位移及轉角。 EI=常數。（25 分）

斜面斜率 2 r 30ft 40ft A B C D E 2 k/ft 3 k/ft 15ft 10ft 20ft 30ft 九十一年第二次專門職業及技術人員 檢覈筆試試題 代號：0430 類 科：土木工程技師 全一張 （背面） 律師、會計師 建築師、技師 社會工作師 土地登記專業代理人 三、圖中的桁架各桿件面積均為A。以直接勁度法求節點4 的位移與桿件34 的內力，其中E＝200GPa，L＝4 m，A＝400 mm2。（25 分） 註：桁架元素勁度矩陣 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 2 2 2 2 2 S CS C S CS S CS C CS C L AE ~K 2 式中 C＝cos θ，S＝sin θ。 四、如圖所示兩端固定之平面半圓環，其在環頂處C 點受集中力P 作用。該 環軸線的半徑為R，抗彎剛度為EI，不計剪力與軸力對圓環變形的影響。 試用卡氏第二定理求C 點之內力？（25 分） A R B P C