統計學研究考古題｜歷屆國考試題彙整

假設 ) , ( Y X 兩隨機變數之聯合機率密度函數（joint probability density function）為 1 0 , ) , ( , < < < = y x Cxy y x f Y X ，當 y x, 為其他值時， 0 ) , ( , = y x f Y X 。 計算C 值使得 ) , ( , y x f Y X 為一定義之聯合機率密度函數。（5 分） 試分別求出X 與Y 之邊際（marginal）機率密度函數。（10 分） 試分別求出X 給定Y 之條件期望值（conditional expectation）及條件變異數： ) | ( Y X E 及 ) | ( Y X Var 。（10 分）

假設 n X X X , , , 2 1 L 為一組來自 β β β ≤ < = x x f 0 , / 1 ) ; ( 分配之隨機樣本，其中參數β 未知，n 為樣本數。（每小題10 分，共20 分） 試求參數β 之動差估計式（method-of-moments estimator）。 試求參數β 之最大概似估計式（maximum-likelihood estimator）。

為了解兩政黨對加入跨太平洋夥伴協定（Trans-Pacific Partnership Agreement）的意 向，分別由甲政黨及乙政黨中隨機抽取120 人及100 人加以調查，其中回答贊成的 人數分別為84 人及48 人，如要檢定兩政黨贊成加入跨太平洋夥伴協定的比例是否 相同時，試問： 此檢定的Z 檢定統計量計算出來的值為何？（答案請計算至小數點第二位）（10 分） 又利用此Z 檢定統計量之值計算出來的P-值（P-value）為何？（10 分） 試問在顯著水準 05 .0 = α 下，檢定兩政黨贊成加入跨太平洋夥伴協定的比例是否 相同？（5 分）

某醫療研究部門認為癌症病患存活時間 ) (Y 和病患幸福指數 ) (X 有關，因此收集了30 位病患的資料，得下列統計結果： , 66 30 1∑ = = i ix , 60 30 1∑ = = i iy , 246 30 1∑ = = i i i y x ∑ = = 30 1 2 168 i ix 和 ∑ = = 30 1 2 890 i iy 。 試問如以上述資料建構一簡單線性迴歸模型 ε β β + + = X Y 1 0 ，ε 為隨機誤差項並滿足迴 歸分析之基本假設，試問（所有答案請計算至小數點第二位）：（每小題10 分，共30 分） 迴歸直線 X Y 1 0 ˆ ˆ ˆ β β + = 為何？ 又X 與Y 之樣本相關係數及此迴歸分析中之判定係數（coefficient of determination） 各為何？ 迴歸分析變異數分析表中之F 檢定統計量的值為何？ 104年公務人員升官等考試、104年關務人員升官等考試 104年交通事業公路、港務人員升資考試試題 代號：11430 全一張 （背面） 等 級： 簡任 類科（別）： 統計 科 目： 統計學研究

世願旅遊依其調查結果發現，60%的自由行旅客選擇自網路購買機票，30%藉由旅 行社業者處購買機票，另10%的機票是藉由其他管道購得。由網路購得機票者，其 旅遊主要目的地為歐洲者佔50%；由旅行社業者處購買機票者，其旅遊主要目的地 為歐洲者佔60%。另外，由其他管道購得機票者，其旅遊主要目的地為歐洲者佔 90%。若隨機抽取一位自由行旅客，在給定其旅遊主要目的地為歐洲的狀況下，他 的機票購自網路的機率為何？（10 分）

令Y1 與Y2 之聯合機率密度函數為 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ = 其他 ， ， ， 0 1 0 1 0 ) , ( 2 1 2 1 2 1 y y y ky y y f 求得k 值，使其滿足f 為一機率密度函數。（10 分） 求Y2 之邊際機率密度函數。（10 分） 計算( ) 75 .0 5.0 2 1 ≥ ≤ Y Y P 之值。（10 分）

以簡單隨機抽樣自{1,3,5,7,9}中抽取n=3 的隨機樣本。 若M 代表所選取的隨機樣本之中位數，請寫出M 之相對次數分配表。（7 分） 計算M 之期望值及變異數。（8 分）

根據一項數年前的調查顯示臺北市商辦大樓租金平均每坪為1500 元，世願貿易為 了解此一數據目前的真實狀況，隨機收集了95 間臺北市市中心區商辦大樓的租金 資料，由此資料計算得每坪平均租金為1400 元，標準差為550 元。 在顯著水準為.05 的狀況下，世願貿易可否說先前調查所得的每坪租金已有所改 變。（10 分） 若臺北市商辦大樓真正的租金平均每坪為1450 元，在的檢定條件下，會發生 的型II 誤差(type II error)為何？（10 分） （請接第二頁） 102年公務人員升官等考試、102年關務人員升官等考試 102年交通事業郵政、港務、公路人員升資考試試題 等別(級)： 簡任 類科(別)： 統計 全四頁 第二頁

泉續公司想了解該公司薪資是否因性別不同而有所差異，因此自該公司隨機抽取30 名員工，依以下變數建構一迴歸模型： Y＝月薪（單位：新臺幣萬元） X1＝在該公司之年資（單位：年） X2＝1 為男性，0 為女性 X3＝1 為大學（含）以上，0 為大學以下學歷 D1＝1 為高階主管，0 為其他 D2＝1 為中階經理，0 為其他 D3＝1 為基層主管，0 為其他 （註：一般員工其所有Di 值皆為0，i=1、2、3。） 並得到以下估計結果： 變數 係數估計 估計之標準誤 常數項 18.67 1.37 X1 0.54 0.07 X2 1.20 0.06 X3 0.92 1.25 D1 8.77 1.93 D2 4.42 1.77 D3 2.71 0.42 SSReg=2119 SSTotal=2245 在顯著水準為.05 的狀況下，請回答下列問題： 請完成以下變異數分析表，即填入（甲）至（壬）之空格。（9 分） 來源 平方和 自由度 均方和 F 迴歸 （甲） （丁） （庚） （壬） 誤差 （乙） （戊） （辛） 總和 （丙） （己） 請解釋X2（性別）之估計迴歸係數的意義。（5 分） 該公司以此分析結果是否可說明薪資在性別上的差異？請說明。（5 分） 請說明有那些解釋變數可以刪除及其理由。（6 分） （請接第三頁） 102年公務人員升官等考試、102年關務人員升官等考試 102年交通事業郵政、港務、公路人員升資考試試題 等別(級)： 簡任 類科(別)： 統計 全四頁 第三頁 （請接第四頁） 102年公務人員升官等考試、102年關務人員升官等考試 102年交通事業郵政、港務、公路人員升資考試試題 等別(級)： 簡任 類科(別)： 統計 全四頁 第四頁

投一公正骰子20 次，記錄每次出現的結果，令X 表示出現「點6」的次數，Y 為 出現「點1」的次數。 試寫出（X,Y）的聯合機率分配函數（joint probability mass function），並註 明分配名稱及參數。（10 分） 分別寫出X 與Y 之邊際分配。（10 分） 計算機率P(X = 2 或Y = 5)（僅需列出機率式，不需計算機率值）。（10 分）

設顧客隨機到達某商店的人數為一卜瓦松（Poisson）過程，設平均每10 分鐘有2 人光臨此商店。 計算此商店自開始營業之半小時內無顧客光臨的機率。（10 分） 計算2 小時內至多有10 人光臨此商店的機率。（10 分） （以上僅需列出機率式，不需計算機率值）

欲探討廣告支出與銷售量的關係，隨機抽查10 個樣本，得廣告支出X（萬元）與 銷售量Y 的關係為： Xi 1.5 1.1 1.3 1.6 1.0 1.1 1.3 0.9 1.2 1.4 Yi 99 90 108 118 88 80 91 73 89 103 變數Y 與X 符合簡單線性迴歸模型： 。 ) ,0 ( N ~ X Y 2 i i i 1 0 i σ ε ε + β + β = i.i.d. ， 試計算此報表值，依序於試卷上作答。（10 分） Analysis of Variance Source Degree of freedom Sum of Squares Mean Squares Model 1 1226.93 1226.93 Error    C Total 9 1600.90 利用此完成的報表計算此模型之判定係數R2，及X與Y之相關係數ρˆ ，並分別 說明其含意。（15 分） 依據此報表寫出樣本迴歸線，並以α = 0.05 為顯著水準，試執行此檢定 H0:β1 = 0 v.s. H1:β1 ≠ 0。（5 分） Parameter Estimates Variable Degree of freedom Parameter estimate Prob>|T| intercept 1 28.72 0.0567 X 1 52.57 0.0009

試述統計學中著名的「中央極限定理」（Central Limit Theorem）內容及其應用。 （20 分）