線性模式考古題｜歷屆國考試題彙整
橫跨多種國家考試的線性模式歷屆試題（選擇題 + 申論題）
年份：
統計 8 題
有某組資料如下：
x
1.0
1.0
2.0
3.3
3.3
4.0
4.0
4.0
4.7
y
10.84
9.30
16.35
22.88
24.35
24.56
25.86
29.16
24.59
x
5.0
5.6
5.6
5.6
6.0
6.0
6.5
6.9
y
22.25
25.9
27.20
25.61
25.45
26.56
21.03
21.46
以y 為應變數x 為解釋變數，配適一個簡單線性迴歸模型（simple linear
regression model）。（10 分）
畫出（x, y）的分散圖（scatter diagram）和中所得的迴歸線。你覺得這條迴歸
線適配（a good fit）這組資料嗎？（5 分）
計算中迴歸模型之R2 值。（5 分）
試針對這組資料做一個缺適性（lack of fit）檢定（提示：顯著水準（significance
level）= 5%且
(
)
05
.
73
.3
8
7
=
>
F
Pr
）。（10 分）
某種手工藝製品的工廠為了瞭解4 位工人所生產產品的品質（產品之光亮度）是否
相同而收集了下列數據：
產品光亮度
工 人
A B C D
59.8 59.8 60.7 61.0
60.0 60.2 60.7 60.8
60.8 60.4 60.5 60.6
60.8 59.9 60.9 60.5
59.8 60.0 60.3 60.5
為了判別4 位工人所生產產品之品質是否相同，試定義出一個合適的線性模式
（linear model）來描述此問題。（提示：須詳細定義各參數及所需的假設）
（10 分）
試計算出中線性模式之一列變異數分析表（one-way analysis-of-variance table）
（10 分）
試檢驗這4 位工人所生產產品品質是否相同？（提示：顯著水準（significance
level）= 5%且
(
)
05
.
24
.3
16
=
>
F
Pr
）。（10 分）
在的模式中，誤差（error）變異數之估計值為多少？（5 分）
94 年公務人員升官等考試、94 年關務人員升官等考試試題
科 別： 統計（公務）
全一張
(背面)
三、一個飲料自動販賣機的老闆想研究他的工人在送貨時所需之時間，有統計學家告訴
他這與販賣機所賣物品的種類數及工人送貨時所需的走路距離有關。現有25 組資
料如下：
組別
送貨所需時間y (分)
物品種類數x1
所需走路距離x2 (英呎)
1
16.68
7
560
2
11.50
3
220
：
：
：
：
：
：
：
：
25
10.75
150
若
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
150
4
1
...
220
560
...
3
7
...
1
1
'
X
,
'
Y =(16.68, 11.50,…, 10.75)
且(
)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
=
−
00000123
.
00004786
.
00008367
.
00004786
.
00274378
.
00444859
.
00008367
.
00444859
.
11321518
.
1
'X
X
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
.
337072
44
.
7375
60
.
559
'Y
X
以y 為應變數而x1 和x2 為解釋變數，配適一個多重線性迴歸模型（multiple linear
regression model）。（5 分）
若
629
.
310
,
18
'
=
Y
Y
，則誤差（error）變異數之估計值為多少？（5 分）
試找一個參數
1
β （相對應1x ）的95%信頼區間（confidence interval）。（提示：
(
)
025
.
074
.2
22
=
>
t
Pr
）。（5 分）
若
6.
559
25
1
=
∑
=
i
iy
，則檢定
0
:
2
1
0
=
= β
β
H
對
0
:
1
1
≠
β
H
或
0
2 ≠
β
之結果為何？（提
示：顯著水準 = 5% 且
(
)
05
.
44
.3
2
22
=
>
F
Pr
）（10 分）
試建構一個
(
)
275
,8
2
1
=
=
x
x
y
E
的95%信頼區間。（提示：
(
)
025
.
074
.2
22
=
>
t
Pr
）
（10 分）
考慮一個簡單線性迴歸模式：（每小題10 分，共40 分）
Yi=β0+xi β1+εi，i=1, 2, …, n，
其中E(εi)=0，Var(εi)=σ2，Cov(εi，εj)=0，i≠j。
試求β0 和β1 的最小平方估計量b0 和b1。
試證
中求出的b0 和b1分別為β0 和β1的最佳線性不偏估計量(best linear unbiased
estimator (BLUE))。
假如Var(εi)=σ2 更改為Var(εi)=σ2ωi，試求β0 和β1 的加權最小平方估計量bw0 和
bw1。
試問
中求出的bw0和bw1 是否分別為β0 和β1 的最佳線性不偏估計量？（請回答並
證明之）
假設
Y1=α1+α2+ε1，
Y2=2α2+ε2，
和
Y3= -α1+α2+ε３，
其中εi(i=1, 2, 3)是互相獨立且來自於N(0, σ2)分配。試導出對於檢定H：α1=2α2 的檢
定統計量及其在H 之下具有何種分配。（20 分）
假設Yi=βxi+ui，xi > 0(i=1, 2, …, n)，其中ui=ρui-1+εi 和εi是互相獨立且來自於
N(0, σ2)分配。假如βˆ 是β 的最小平方估計量，則試證當ρ>0 時，Var(βˆ ) > (
∑
=
n
i
ix
1
2
2 /
σ
)。
（20 分）
當真正的模式是E(Y)=β0+β1x+β2x2+β3x3 時，卻假設被要求的線性模式是
E(Y)= β0+β1x。現在假如我們利用在x= -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 中Y 的觀測值去估計
被要求的線性模式中β0和β1，則試求β0和β1的估計量之偏差(bias)。（20 分）