自動控制學考古題｜歷屆國考試題彙整

考慮風力發電系統之發電效率定義為 p wind P C P  (1.1) 其中P是風力發電機所發出之電力， wind P 是風力中所蘊含的能量， 3 1

wind P Av   (1.2) 是空氣密度，A是轉子葉片掃描面積（rotor swept area，若葉片的半 徑是R，此面積即為 2 A R   ），而v 則為瞬時風速（假設吹過整個掃描 面積的風速是均勻的）。在中風速區的控制目的就是要最佳化發電的電 力效率 p C 。一般水平軸風力發電機的電力效率是機組的翼尖速度比 （tip-speed ratio）的函數， R v   (1.3) 此處的是轉子轉速。我們知道電力（發電功率）是轉子扭力與速度的 乘積， aero P    (1.4) 考慮 aero  為風力克服了所有的阻力（含傳動摩擦）所剩餘可以轉動風機 的扭力。考慮此風機在正常操作風速範圍內所可達成的最佳發力效率為 max p C ，而為了達成此最佳發電效率，風機的控制器會輸入一個控制扭力 c 來維持風機在最佳發電效率狀態下操作。此系統為一高度非線性系 統，部分廠商會使用 2 c K    (1.5) 作為 c 的控制邏輯，其中 5

* 1 2 max p C K R    (1.6) 其中 max p C 是風機可達成的最大發電效率、 *是最大發電效率時的翼尖速 度比。由於控制扭力的介入，風機的控制閉迴路系統動態模型成為 1 ( ) aero c J       (1.7) 從(1.1)～(1.7)請說明此風機控制系統的動態響應會進行何種控制，並會 將系統維持在那一個操作點？（25 分） 二、請推導以下方塊圖的系統轉移函數。（25 分） 三、一系統的波德圖如下圖所示， 我們知道此系統之動態在120 Hz 附近有共振，請評估系統還有什麼動 態特性造成此波德圖？（25 分）

請畫出純慣量系統 2 ( ) 1/ G s s  的根軌跡圖。（此系統經常會以一組「零 點與極點的組合」來做穩定補償）（10 分） 承上題，請以根軌跡圖說明此「零－極點組」如何使系統穩定。（10 分） 如果「零－極點組（相位落後補償器）」的極點較靠近原點，會使根軌 跡更向不穩定方向傾斜，使系統更趨不穩定，那麼請說明相位落後補 償器的應用方式是如何？（5 分）

若r 為一脈衝函數（Impulse function），輸入給下列兩個系統， 1( ) H s 與 2( ) H s ； 1

(

) 3 H s s s    ， 2 2 2 4 3 s H s s s     ( ) 。 對於輸出響應位移的穩態值各為何？（10 分） 如果r 改為一步階函數（Step function），則輸出響應位移的穩態值又各 為何？（10 分） 二、下列為一閉迴路控制系統之特徵方程式： 1 ( 4)( 6) 0 s s s k     畫出根軌跡（Root locus）的圖形（含漸近線角度、分離點、中心點、 臨界穩定點等資訊）。（15 分） 如果此特徵方程式變成 2 ( 4)( 6) 10 0 s s s k s      ( ) 畫出根軌跡的圖形（含漸近線角度資訊）。（10 分） 比較說明與在控制器設計的差異為何？（5 分） 三、繪出下列轉移函數（Transfer function）的波德圖（Bode plot）：（20 分）     100 1 0.005 1 0.05 1 0.5 s s s    四、將下列的3 階微分方程式轉換成現代控制的形式（Modern control form）， 其狀態變數（State variable）以可控制性標準型式（Controllable canonical form）或是所謂相位變數型式（Phase variable canonical form）來表示。 12 48 240 y y y y u        X AX Bu    Y CX  求出式中之A、B、C。（15 分） 如果要求系統的閉迴路輸出響應之其中一個極點配置於20  ，同時另 外一個2 階系統之實數部分之極點為2 ，且此2 階系統之阻尼比為 0.5。求此系統的特徵方程式為何？（5 分） 求出所需要之迴授控制u KX  之K 為何？（10 分）

如下圖所示之ㄧ質量為m，長度為2l 之倒單擺（Inverted Pendulum）系 統，以無質量之水平塊的水平移動量x為輸入，旋轉角度為輸出，其中 之初始角度為 o 且初始角速度為零，假設旋轉角度與 o 皆小於5，試 推導該系統於旋轉軸的扭力平衡方程式。（10 分） 繪製以旋轉角度為輸出，且以初始角度量 o 與水平移動量x 同為輸 入之拉式（Laplace Transform）方塊圖（Block Diagram）。（15 分）

一單位負回授系統（unity negative feedback control system），其開路轉移 函數為 2 2 2 ( 1) 10 ( ) 2 10 s K s G s s s        ，K 為增益（gain），試 利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定所需增 益K 之範圍為何。（10 分） 繪製該閉迴路系統之根軌跡圖（Root Locus），且推導其分離角 （Departure Angle）。（15 分）

如下圖之二階系統單位負回授系統，由特定之小振幅方波脈波鏈（square wave pulse train）輸入下，得到很大的正弦波輸出，試 繪製閉迴路系統之波德圖，且標示頻率與增益及相位的關係。（15 分） 說明可以得到了正弦波輸出，該方波脈波鏈的輸入頻率（Hz）應該為 何，增益K 與常數a 的限制條件，輸入與輸出之相位差為何。（10 分）

在ㄧ3D 列印機的閉迴路控制之微處理機程式中，有ㄧ個陣列C[1000]用 於儲存類比數位轉換（Analog-to-digital Converter; ADC）的輸入c(t)資 料，另ㄧ個陣列R[1000]用於儲存使用者輸入的數位資料，另ㄧ個陣列 U[1000]用於儲存輸入數位類比轉換（Digital-to-Analog Converter; DAC）的 輸出u(t)資料，該微處理機中有ㄧ頻率為1MHz 之時脈產生器（Clock）以 同步化該ADC 輸入與DAC 輸出，試舉例說明（每小題5 分，共25 分） 時間t 與第k 個記憶體的關係。 c(t)為何物理量。 u(t)為何物理量。 R[k]為何數值量。 當ㄧ個陣列E[1000]用於儲存誤差E[k] = R[k] C[k]時，如何由E[k]產 生對輸出U[k]之控制。 微處理機 (控制器) 3D 列印機台 DAC ADC ݑ(ݐ) ܿ(ݐ) 時脈 信號

考慮下圖簡化的電動車四分之一模型（Quarter car model）加上車輪，車體 部分（含馬達、驅動器、電池、輪軸等）的質量為 c m ，車輪的質量為 w m ， 車輪含輪軸、馬達轉子對輪軸的轉動慣量為 wI ，考慮車輪只有滾動無滑 動，請推導從馬達輸出扭力（ m ）到車輛速度（v ）之間的系統方程式。 （20 分）

請推導下示方塊圖的轉移函數（Transfer function）。（20 分）

考慮純慣量系統（ 2 ( ) 1/ G s s  ）的控制，請說明是否可以以PID 控制器 （ 1 2 ) ( ) / ( )( c G s K s z s z s    ）將之穩定化，若可以，請寫出所需要的K、 1z 與 2z 。若不可以，請解釋原因。（20 分） ݉௖ ݉௖ ݉௪, ܫ௪ ܨீ ߬௠ ݉௪, ܫ௪ ܨ௧ ܨீ ߬௠ ܥ ܨ௧ ݒ ܩସ ܷ − ܻ ܩଶ ܩଵ ܩଷ + + +

請用Routh-Hurwitz test 決定下列系統特性方程式是否為穩定：

4 3 2 3 3 2 1 0 s s s s s      。（20 分） 五、圖示為一系統的尼可圖（Nichols plot），可看出此系統幾乎沒有邊際相位 （Phase margin）， 吾人想要設計一個相位提前補償器（Phase-lead compensator ） 1 ( ) 1 c aTs G Ts s    來提升系統的邊際相位，請設計一個可以提供到45相角 （Phase lead ）的相位提前補償器，並將最大的相角置於頻率為 1.21 rad/sec 處。（20 分）

某吊車系統的簡化機械模型如下圖，假設吊桿的質量集中於末端，長度 為L，質量為m，驅動吊桿的馬達扭矩為u。軸承之摩擦扭矩可表示為： 3 1 0 θ θ & & c c + ，θ 為吊桿和鉛直線之夾角，重力加速度為g，定義系統輸入 為u 輸出為θ。 推導系統的運動方程式（equation of motion）。（10 分） 若吊桿在 30 = θ 度附近操作，求線性化數學模型和轉移函數並定義其 輸入和輸出。（10 分） 分析此開路系統之穩定性（stability）。（5 分）

有一閉迴路控制系統方塊圖如下： 求使系統穩定之k 的範圍。（10 分） 當k 為何值時系統有一對極點（pole）落在虛軸？（15 分） u g L m θ r(t) c(t)

說明系統G(s)的波德 （magnitude）的漸近線 下圖為滿足上述條件 繪出其相位角。（15

給定一單輸入單輸出（ n R x Ax x ∈ = & 推導此系統的轉移函 說明G(s)無極點零點 當 4 - 3 - 1 0 =     = B A ， 波德（Bode）圖中相位角（phase 線斜率有一對一關係的條件並寫 件系統的波德圖之漸近線，求此 5 分） （single-input single-output）系統的 n n n R C R B R A R u Cx y Bu x × × ∈ ∈ ∈ ∈ = + 1 1, , , , , 函數（transfer function）G(s)=Y( 點對消（pole-zero cancellation） [ ]1 2 1 1 =       = C ， ，求系統轉移函數 e angle）和絕對值 寫出此關係。（10 分） 此系統的轉移函數並 的狀態方程式如下： n × 1 (s) / U(s)。（10 分） 的條件。（5 分） 函數G(s)。（10 分）

考慮下列如圖1 之一閉迴路控制系統。 當k =1 時，輸入R 為3 倍單位步階（unit step）輸入，r(t)=3，求系統 輸出，包括暫態（transient）響應與穩態（steady state）響應的完整解。 （15 分） 若要求系統的輸出誤差為愈小則愈好，k 值的範圍如何設計？有何優 缺點？請選擇3 種不同的k 值，表現在輸入為3 倍單位步階，分別畫 出其輸出的時間響應圖形。（10 分） 圖1

繪出下列轉移函數（transfer function）的波德圖（bode plot）：（20 分） )3 )( 2 ( 5) ( + + + s s s s 如果此轉移函數前方多一個e-Ts，其中T 為時間，試問於上述的波德 圖當中有何影響？（5 分） － Y R ＋ k 4 2 1 2 + + s s

考慮一單位負迴授系統如下圖2，且k 值可正可負；其中 8 6 2) - k( ) ( G 2 + + = s s s s ， 比例控制器為k，試畫出其根軌跡（root locus），並分別標明極零點座標、 實軸上的根軌跡、與虛軸交點、與實數軸匯合（break-in）與分離 （breakaway）點等。（25 分） 圖2

若一單位負迴授系統（如圖2）其前向路徑的控制器分別為⑴正比控制器 KP、⑵正比與微分控制器KP(1+10s)、⑶正比與積分控制器KP ) 1 0 (1 s . + 之 轉移函數，而受控體（controlled plant）之轉移函數為 8) 2)( ( 1 + + s s ，求： 當KP = 100 時，輸入訊號為單位步階輸入，三種不同的控制器所表現 的最終穩態誤差分別為多少？（9 分） 同樣是KP = 100 時，輸入訊號為單位步階輸入，若將正比與微分控制 器改為KP(0.1+s)且正比與積分控制器改為KP ) 1 (0.1 s + ，正比控制器不 變，則三種不同的控制器所表現的最終穩態誤差分別為多少？有何差 別？請說明原因。（8 分） 若上述與的控制器表現不盡理想，設計者決定將KP 調整到1000 時，則三種不同的⑴~⑶控制器所表現的最終穩態誤差分別為多少？ 有何差別？請說明原因。（8 分） R Y Gሺsሻ + -

試說明如下圖之單輸入單輸出（single input single output ）控制系統中， )) ( ), ( ( ) ( t u t g H t y = ，其中 ) (t u 為輸入， ) (t y 為輸出， ) (t g 為轉移函數。 線性系統（linear system）的定義。（10 分） 因果系統（causal system）的定義。（10 分）

對於一如下圖之閉迴路線性非時變（closed-loop, linear, time invariant）系統，當輸入 為單位步階函數（unit step function）即 s s R 1 ) ( = 時，量得其輸出響應於 0 ≥ t 為 [ ] ) 37 60 sin(

5 1 ) ( ) ( 80 1 ° + − = = − − t e s C L t c t ，試問： 當輸入為 1 ) ( = s R 時，其輸出響應為何？（10 分） 當輸入為 2 1 ) ( s s R = 時，其穩態誤差 ) ( lim t e t ∞ → 為何？其中 )] ( [ ) ( s E L t e = 。（10 分） 三、對於如下圖之單位負迴授系統（unity negative feedback control system），且 0 ≤ K ，其 中 2 2 ) 2 )( 1 ( )1 ( ) ( + + + − = s s s s s G 。 利用羅斯表（Routh-Hurwitz Table）推導該系統為穩定時，所需比例增益K 之範圍 為何？（10 分） 試繪製該閉迴路系統對應不同比例增益K 值之根軌跡圖（root locus plot），並標明 極零點座標、實軸上的根軌跡、漸近線角度( A θ )、漸近線與實軸的交點( A σ )、離開 角（departure angle）的對應值。（20 分） G(s) ) (s R ) (s C ) (s E g(t) u(t) y(t) KG(s) ) (s R ) (s C 106年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 全一張 （背面） 等 別：高考二級 類 科：機械工程 科 目：自動控制學

對於一波德圖（Bode Diagram）如下圖之開迴路系統（open-loop system）。 試由大小圖（magnitude plot）判斷其阻泥係數（damping ratioξ ）。（10 分） 寫出開迴路系統轉移函數（open-loop system transfer function）。（10 分） 試決定其增益交越頻率（gain crossover frequency g ω ）與相位邊限（phase margin）。 （10 分） 100 101 102 103 104 Frequency (rad/sec) -180 -135 -90 -45 0 -80 -60 -40 -20 0 20 40 Phase (deg) Magnitude (dB)

將下列的動態微分方程式定義新的狀態變數，表示成現代控制的形式（modern control form）。（20 分）

1 2 1 1 1 ) ( 2

u u y y y y + = − + + & && 2 1 2 2 ) (3 u y y y = − + & u B AX X + = & CX Y = 二、下列一閉迴路控制系統，要求系統輸出的暫態（transient）響應部分，其衰減（decaying） 之速度需要跟暫態響應 t e−衰減速度一樣，甚至更快，則k 值的範圍為何？此時系統 選擇最大的k 值，那特徵方程式的根位在何處？最大的k 值表現在單位步階輸入時， 畫出響應的圖形。（30 分） 三、繪出下列轉移函數（transfer function）的波德圖（bode plot）。（20 分） ) 1.0 1 )( 10 1 )( 100 1( ) 10(1 s s s s + + + +

考慮一開迴路系統的轉移函數 s s s open + = 2 P k ) ( G ，比例控制器為 P k ，畫出根軌跡（root locus）。如果再增加一個前饋補 償器（feedforward compensator）的轉移函數如下： 8 2 ) ( + + = s s s Gcomp 畫出合併的根軌跡，說明增加此前饋補償器是相位領先還是相位落後？解釋此設計 的依據與優點為何？（15 分） － Y R ＋ s k 13 6 1 2 + + s s 105年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 代號：22440 全一張 （背面） 等 別：高考二級 類 科：機械工程 科 目：自動控制學

若 input y 為一脈衝函數（impulse function），求解下列的微分方程式 1 _ output y 2 3 5 2 1 _ + + + = s s s y y input output 如果改變零點的位置 2 3 10 2 2 _ + + − = s s s y y input output 對於輸出的位移響應會有何不同？試畫出兩者的輸出時間響應（response）。（15 分）

直流馬達常用於自動控制系統作為致動器，下圖為直流馬達的繞線簡圖。繪出直流馬達的電樞控制（armature control）系統方塊圖。（15 分）求出馬達轉軸位置（θ ）對輸入電壓（V）的轉移函數（transfer function）。（10 分）假設馬達常數（motor constant）mK ，反向電動勢係數（back electromotive-forceconstant）bK ，θω&=。

狀態空間（state-space）方程式和轉移函數都可以描述同一受控廠（plant）的動態特性。推導下列轉移函數的控制器典範型（controller canonical form）狀態空間方程式。（10 分） 132335 )()()(232+++++==ssssssDsNsG使用這型的狀態空間方程式有何優點？（5 分）什麼條件下由轉移函數所實現的狀態方程式會既可控制（controllable）且可觀測（observable）？（10 分）

下圖為某速度控制系統方塊圖，其中參數sss25.0,1.0,5. 0431 ===τττ計算使系統穩定的增益K 之範圍（321KKKK =）。（10 分）當K 值設為上述範圍最大值的1/3 時求系統安定時間（settling time）。（15 分）

穩定性（stability）分析是設計控制系統最重要的一環，當閉迴路系統的轉移函數已知時可用什麼方法分析，以2 階系統為例說明？（10 分）若只知閉迴路系統的環路轉移頻率響應（loop transfer frequency response）需用何方法，請用此方法分析下列系統之穩定性。（15 分）)4()2()(2ωωωωjjKjGH+−+=111Ksτ+ 33411 K(s)(s)ττ++K2+-R(s)Y(s)111+sKτ)1)(1(433++ssKττLRV+-ia vb+-JBωτ

一個線性系統對於輸入為單位脈衝函數（unit impulse function）之輸出時間響 應（output time response）為 )

sin(

t e t − ，試推導並說明該線性系統對輸入為單位 拋物線函數（unit parabolic function）之：（每小題10 分，共20 分） 輸出時間響應為何？ 該輸出時間響應之拉氏轉換（Laplace transform）為何？ 二、對於如下圖之閉迴路系統（closed loop control system）， 試繪製訊號流程圖（signal flow graph）。（10 分） 推導 ) ( ) ( s R s C 之轉移函數（transfer function）。（10 分） 三、對於一單位負迴授系統 （unity negative feedback control system），其開路轉移函數 為 ) 5 2 ( )1 ( ) ( 2 2 + − − − + = s s K Ks s s G ，K 為比例增益（proportional gain），且 0 ≥ K 。 利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定時，所需比例增 益K 之範圍為何？（10 分） 於系統為穩定之條件下，輸入為單位步階函數（unit step function）時之穩態誤 差（steady state error）ess 為何？（10 分） 試繪製該閉迴路系統對應不同比例增益K 值之根軌跡圖（root locus plot）， 並標明極零點座標、漸近線（asymptotes）與實軸的交點、離開角（departure angle）、重合點（break-in point）的對應值。（20 分） ) (s R H ) (s C As D ) (s E B Js + 1 103年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 全一張 （背面）

對於如下圖之閉迴路系統（closed loop control system）， 其中 ) 2 ( 10 ) 16 ( ) ( 2 2 s s s s s G − + + = 試繪製轉移函數G(s) 之波德圖（Bode Diagram ），頻率範圍為 1 10−~ 2 10 radian/second。（10 分） 試依據奈式穩定準則（Nyquist stability criterion），繪製奈式圖（Nyquist plot）， 並分析K = 1000 時閉迴路系統之穩定性。（10 分） G(s) ) (s R K ) (s C

b2 (?) s 1 s 1 1a −

a − R(s) Y(s) 4

2 1 b2 s 1 s 1 1a − 2 a − b1 R(s) Y(s)

3 2 1 b2 s 1 s 1 1a − b1 (?) 一、在古典控制的測試訊號（test inputs）中，輸入訊號常以步階（step input）、線性 （ramp input）做測試，請問這些訊號對速度系統（即，輸出是速度的speed control systems）做測試時，其物理意義為何？（10 分） 若輸入訊號為連續可微分（continuously differentiable）之f(t)，請問如何與前述測 試訊號結合？（10 分） 二、已知一系統之狀態圖（state diagram）如下所示： 圖一 圖二 圖三 圖一至圖三皆屬等效（equivalent）的訊號流，則圖二及圖三中(?)的增益（gain） 分別為何？（5 分） 試用圖二解釋何以狀態方程式模型（models）不唯一？（5 分） 圖二是狀態圖（state diagram）中屬何種模型（modeling）。（5 分） 試求上示狀態圖之轉移函數（不限方法）。（5 分） 三、有兩個二階的連續系統，皆穩定，其根分別為兩重根及兩共軛根， 採用定性法，試繪出個別之脈衝響應（impulse responses）。（10 分） 脈衝響應提供何種資訊？（5 分） 古典控制中，為何了解一階或二階系統是重要的知識，請說明。（5 分） 102年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 機械工程 全一張 （背面） 四、已知下列轉移函數 0 ,0 ,) )( ( 1 2 2 1 ≥ > > + + K p p p s p s K 假設 0 2 = p ，請畫根軌跡 1p s K + 。（5 分） 承上題，加入 2 p 根，請說明為何根軌跡往右走？（5 分） 零點與極點在左半平面對根軌跡的影響為何？（10 分）

下圖為系統 0 ,) 5 )( 4 )( 2 ( ) ( > + + + = K s s s K s KG 的波特圖（Bode magnitude） 畫波特圖時可用基本的子函數（sub-systems）來理解，請以給定的 ) (s KG 輔以最 核心的數學說明其原理。（10 分） 求上示波特圖之K 值。（5 分） 相位交點（phase crossover）在6～7 red/sec，求使系統穩定的K 範圍（用最近之 整數值求解即可）。（5 分） Bode magnitude 0 -20 -40 -60 -80 -100 10-1 100 101 102 w dB

一控制系統之信號流程圖（signal flow graph）如下圖所示，試求此系統之一閉迴路 轉移函數（closed-loop transfer function）Y2(s)/R1(s)。（25 分）

考慮一控制系統如下所示 ), ( 1 0 0 0 1 0 2 1 2 1 t u x x x x dt d ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 此系統可表示為 Bu Ax x + = & 令系統之輸入為 , ) ( 2 2 1 1 x k x k t u − − = 假設系統之初始條件（initial condition）為 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = 0 ) 0 ( c x c 為常數（constant），並選擇無阻尼自然頻率（undamped natural frequency）為2 rad/sec。 請決定k1 及k2 之值，可使下列之性能指標（performance index）為最小。 ∫ ∞ = 0 dt J Tx x （25 分）

一系統之微分方程式可描述如下 , 2 2 2 u dt du y dt dy dt y d + = + + 定義狀態變數為 y x = 1 , / 2 u dt dy x − = 試求此系統之狀態微分方程式（state differential equation）。（15 分） 試說明此系統是否為可控制（controllable）。（10 分） 99 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 機械工程 全一張 （背面）

考慮一控制系統如下所示 試求k 及a 之值，而可使該系統受到一單位步階輸入（unit-step input）時，其穩態 誤差（steady-state error）為零。（25 分） Y(s) R(s)

給定一個控制系統的特性方程式為 024222 345=++−−+sssss，建立羅斯表（Routh Table）。（15 分）找出特性根在s 平面上的分布情形。（10 分）

考慮如下之微分方程式，y 為輸出，r 為輸入。若令，1xy =2xy =&，3xy =&&，求狀態方程式。（25 分）rydtdydtyddtyd=+++ 332233

考慮一個三階控制系統，如下所示uxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−= 100200 120012 &說明這個系統的穩定性如何。（10 分）令輸入為，則k[xkkku321−=]1，k2，和k3各該為若干，才可使閉迴路系統的特徵根為，，和。（15 分）1−1−1−四、考慮一個抽樣數據系統（sampled-data system）如下所示寫出順向路徑在z 領域的轉移函數。（15 分）找出讓此系統穩定的T 範圍。（10 分）11+sse Ts−−1Y(s)T-R(s)

試說明為何穩定之閉迴路控制系統之極點（poles）必須位於複數平面之左半邊。 （10 分）

直流無刷線性馬達（linear DC brushless motor）之運動方程式可描述如下： V v K Ri i L e = + + & (1) i K F f = (2) v M f F & = − (3) 其中 L（電感） 0028 .0 = H，R（電阻） 5.0 = Ω，Ke（電氣常數） 23 = V/(m/sec)，V（施加 電壓），I（電流），v（馬達速度），F（驅動力），f（摩擦力），Kf（力量常數） 23 = N/A，M（馬達質量） 5.0 = kg， 請畫出速度迴路之方塊圖（the velocity loop block diagram）。（10 分） （提示：輸入V，輸出v） 若摩擦力可忽略，請推導速度迴路之轉移函數（transfer function）（10 分） Hv ) ( /) ( s V s v = 若使用增益（gain）為K 之比例型（P-type）控制器來控制馬達之位移，請推導 閉迴路（closed-loop）之轉移函數；並決定能使系統穩定之K 之範圍。（5 分）

考慮如下之系統：（25 分） 求實軸上之根軌跡（root loci on the real axis）。 計算分離點（breakaway point）。 計算根軌跡與虛軸（imaginary axis）之交點。 畫出全部根軌跡。 計算阻尼比ζ 45 .0 = 之根s1,2 並求此時之K 值。 + R(s) Y(s) 1 1 5 K s + 1 ( 1) s s+ （請接背面） 96 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 代號： 類 科： 機械工程

某轉移函數之漸進對數-大小曲線（asymptotic log-magnitude curve）如下圖所示，若 此系統為最小相位系統（minimum phase system），（20 分） 請估算此系統之轉移函數。 請計算ωg1 與ωg2。 30 0 dB 20 dB/decade ωg1 -20 dB/decade -40 dB/decade ωg2 ω (log scale) 20

1 五、考慮如下之二階系統，（20 分） ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = 3 0 1 0 x& u ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + 1 0 x 2 2x y = 試說明此系統是否為可控制且可觀測（controllable and observable）。 全一張 （背面） 21440