自動控制學研究考古題｜歷屆國考試題彙整

下列一閉迴路控制系統，其中ZOH（Zero-order hold）代表使用採樣時間（samplingperiod）T=0.5 秒之數位控制（digital control），透過數位轉類比（D/A）方式去控制受控體s2s12 +，求導輸入與輸出之轉移函數R(z)Y(z)，並寫下輸入與輸出之差分方程式；其中X(z)代表)x(kT 轉換，∑∞=−=0)(X(z)kkzkTx，e=2. 71828 。（30 分）

求下列控制器典範型（controller canonical form）其轉移函數（transfer function），並繪出由輸入至各種狀態變數到最後輸出之等效方塊圖（equivalent block diagram）。（20 分）Txxxtytrtxtxtxdtdxdtdxdtdx]][321[)()(100)()()( 822161 000103 213213 21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡三、考慮如下一閉迴路控制系統，當比例控制器kp 等於1 時，此時系統的阻尼比（dampingratio）為多少？推導此系統最大共振頻率peakω，發生在此處的振幅大小peakM為多少？若以-3 dB 做為此系統的頻寬之估測，系統頻寬的頻率為多少？畫出當比例控制器kp等於10 之波德圖（Bode plot）。（30 分）＋－rykpss 2252 +＋－ryZOHss212 +105年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 代號： 10120 全一張（背面）等別：高考一級類科：機械工程科目：自動控制學研究四、現代控制工程（modern control engineering）的應用中，如果狀態變數可能量測不到，會利用觀察器（observer）或稱估測器（estimator）的方法將系統的狀態進行觀察。假設下列二階系統觀察器所設計的狀態可以收斂，輸入為純量u，其觀察器的誤差極點特徵值（observer error pole）設計為{-50 -50}，求觀察器的增益矩陣為多少？並寫出所建構之觀察器的動態微分方程式。（20 分）[]01C,02B,4-14-2-A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=

求下列轉移函數（transfer function）的控制器典範型（controller canonical form）狀態方程式。（10 分）觀測器典範型（observer canonical form）狀態方程式。（10 分） 632986 2)( 2323 ++++++=sssssssg二、某線性系統之狀態方程式為：uxx⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−= 102110 &⎣⎦xy01=求使閉迴路極點（closed-loop poles）落在j2}2,j22{−−+−的狀態回授增益K。（10 分）試設計狀態估測器極點落在（4,4 −−）。（10 分）將上述控制法則和狀態估測器結合並證明閉迴路系統極點仍為j2}2,j22{−−+−。（10 分） 三、現代控制會利用電腦介面透過零階維持（zero-th order hold）和等時距Δ 對控制輸入u 取樣即Δ+≤<Δ=)1(,)(ktkutuk且只在L,2,1,0,=Δ kk量測輸出y(.)求下列連續時間系統經過此取樣過程得到的離散時間系統狀態方程。（25 分）)()()()()(txctytubtxAtx=+=&四、找出下列一階系統的最佳控制。（25 分）)()(5.0)(tutxtx+=&性能指標dttuTxuJT)(41)(521)(202∫+=容許狀態（admissible）和控制輸入皆無拘束（unconstrained）終端時間T 指定但)(Tx自由，列出控制法則和增益。

請從下列方向說明現代控制（modern control）與古典控制（classic control）的時域 （time domain）差異。（請以兩欄式列表陳述，且每一方向至少各有三項重點。） 受控廠（plant）。（4 分） 控制器（controller）。（6 分） 分析工具（analytical tools）。（10 分）

求下列訊號流（signal flow graph）之轉移函數（不限方法）。（5 分） 求該訊號流所代表的系統可控（controllable canonical）狀態方程式（state equation）。 （5 分） 承上題，求該訊號流所代表的系統可觀（observable canonical）狀態方程式。（5 分） 還有其它的狀態方程式嗎？請說明。（5 分）

某系統的極點（poles）分布如下：0,

−, 2 2 j ± − ，請回答下列子題。 求根軌跡x-軸進入點（break-in point）為何？（5 分） 根 2 2 j + − 離開角度（angle of departure）為何？（5 分） 請畫出其根軌跡。（5 分） 請說明為何共軛根（complex roots）並不影響x-軸上的根軌跡。（5 分） 四、已知一連續線性控制系統方程式如下： ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( t Cx t y t Kx t u t Bu t Ax t x = = + = & 其中 1 × ∈ n R x 為系統狀態， n n R A × ∈ ， m n R B × ∈ ， n l R C × ∈ 為系統矩陣， n m R K × ∈ 為控 制器增益， 1 × ∈ l R y 為系統輸出。 試求加入控制器後之閉路系統方程式。（5 分） 如何使該閉路系統穩定，請用二次李亞普諾夫（quadratic Lyapunov）及最佳化控 制，經由配K 之完全平方，求最佳之K 值。 Px x t x V ′ = )) ( ( , 0 > P ，其中x′為x之 轉置（transpose）。（10 分） 對偶原理（duality）是否亦存在於連續最佳化理論？請說明。（5 分） R(s) Y(s)

4 3 2 1 b3 b2 b1 s 1 s 1 s 1 1a − 2 a − 3 a − 102年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 機械工程 全一張 （背面） ∞ ∞ 五、考慮一控制方塊圖如下： 其中 , ) ( 3 2 1 s K s K K s Gc + + = b as s s G + + = 2 1 ) ( , 0 , , , , 3 2 1 ≥ b a K K K 求系統誤差方程式 ) (s E 。（5 分） 求閉路系統 Y R → 之特徵方程式。（5 分） 假設 0 ) ( = s D ，求 ) (s R 所造成的誤差 step e e :) ( , ramp e , para e 。（5 分） 假設 0 ) ( = s R ，求 ) (s D 所造成的 step y y :) ( , ramp y , para y 。（5 分） R(s) + + + Y(s) G(s) Gc(s) D(s) E(s) -