電磁學考古題｜歷屆國考試題彙整

請將直角座標系統的x、y、z 用球座標系統的R、與來表示。（10 分） 請將球座標單位向量ˆR a ，用直角座標的ˆxa 、ˆ y a 與ˆza 來表示。（10 分） 寫出磁場強度、向量磁位、體電流密度、極化向量與傳輸線之相位常 數(β)的物理單位。（10 分）

在自由空間中，有兩條無窮長且均勻的線電荷，其線電荷密度為。如圖 一(a)所示，兩根半徑為a 的圓形截面、對稱且平行的導線，其軸心間距 為d，兩導線上帶有大小相等、方向相反的電荷。假設導線的半徑a 遠 小於導線軸心的距離d（即d ≫a）。請計算：（每小題8 分，共16 分） 此兩條導線的單位長度電容值（capacitance per unit length）。 根據上述結果，請求出圖一(b)所示結構的單位長度電容值。該結構為 一根半徑為a 的細導線，平行放置於一塊接地的導體平板。介質為空 氣，導線軸心與導體平板的垂直距離為h（且h ≫a）。 圖一(a) 圖一(b)

一傳遞高頻訊號的同軸電纜：內導體的半徑為a，外導體的半徑為b，兩 導體的厚度可忽略；在內外導體之間，充斥介電常數permittivity 為ε， 導磁係數permeability 為μ0 的介電質；同軸電纜總長度為L。 請詳細推導同軸電纜單位長度的電容大小。（15 分） 請詳細推導同軸電纜單位長度的電感大小。（15 分）

請詳述電磁場（包括電場強度、電通量密度、磁場強度、磁通量密度） 在兩介質交界處的邊界條件：介質1 為介電質dielectric、介質2 為介電 質；介質1 為介電質、介質2 為完美導體。（30 分）

在三維直角座標軸x, y, z 中，一根導電率為σ 的金屬棒，其被彎成一個 平坦的90°圓形，其內半徑為a、外半徑為b，厚度為t，如圖二所示。 請計算此金屬棒在內半徑為a 與外半徑為b 處的兩個垂直表面之間的電 阻值。（16 分） 圖二 z x y t a b 27670

畫出電偶極的結構並標示相關的參數，（5 分）並推導出該電偶極在空間 中所產生的電位為何？（5 分）電場為何？（10 分）

一個電流迴路呈現為三角形，其型狀為邊長a 的正方形的一半，如圖三 所示。該迴路中有穩定的電流I 流動，周圍介質為空氣。請計算在正方 形第四個頂點處（點P）的磁通密度向量࡮ሬሬ⃗，包含大小與方向（流出紙面 或進入紙面）。（20 分） 圖三

在無損耗簡單介質（相對介電常數relative permittivity 為4，相對導磁係 數relative permeability 為1，導電率為0）中，有一均勻平面波朝z 方 向傳遞，已知其磁場強度 y y H  H a ，Hy 為頻率為100 MHz 的弦波函數， 當 0 t 且 1/ 8(m) z  時有最大值 4( ) 10 A/m  。請詳細推導此均勻平面波磁 場強度與電場強度的瞬時表示式。（20 分）

如下圖，一段有限長（A 點到B 點）的導線，則在距離為r 的觀測點P 的位置，其磁通量密度為何？（10 分）

在史密斯圖（Smith Chart）的單位圓中（正規化阻抗z r jx   ），試畫 出 1 r 跟 1 x 的軌跡分別為何？（10 分）請自行畫在一個單位圓內， 並標示清楚刻度。 若有一顆1 nH 的電感，則其在史密斯圖上的頻率響應之軌跡為何？ （5 分）該軌跡亦需要標示隨著頻率增加，則線上的點所移動的方向。 同上，若是一顆1 pF 的電容，則其在史密斯圖上的頻率響應之軌跡為 何？（5 分） z 18030

有一電路，包含一個內阻為50 Ω，能產生電壓為10 V，頻率為300 MHz 的訊號產生器；訊號產生器連接一長度為2 公尺，阻抗為50 的傳輸線； 傳輸線末端接上一阻抗為(30 40 )Ω j  的負載。請詳細推導此電路中的相 位常數、傳輸線連接負載處的反射係數、傳輸線上電壓的表示式。以及 若要讓負載端接收到最大的平均功率，其阻抗應設定為多少？（20 分）

兩段串接的無損耗傳輸線如圖四所示，分別連接至一個時變電壓源與一 個複數負載阻抗。根據電路中所給的各項參數，請求出兩段傳輸線交界 處的輸入阻抗（Zin1, Zin2），最後，請求出傳送至負載的實數功率。（24 分） 圖四

有一波動方程式為( , ) cos( 2 ) V x t t x   ，則其波速及行進方向為何？（5 分） 電磁波極化定義為何？（5 分） 若有一個左手橢圓極化電磁波入射至一個理想的金屬平面，則反射的 電磁波為何種極化？（5 分）試說明或證明之。（5 分）

請寫出高斯定律、安培定律與法拉第定律的微分形式，並說明其物理意 義。在上述定律的基礎上，馬克士威（Maxwell）補充一項，使電磁理論 得以完整。請指出馬克士威所補充的項目，並說明為何需要加入該項。 （註：自由空間中介電係數為ߝ଴，導磁係數為 ߤ଴，體電荷密度為，電 流密度向量為ࡶ⃗，位移電流向量為ࡰሬሬ⃗，電場強度與磁通密度分別以向量ࡱሬ⃗ 與࡮ሬሬ⃗表示，向量微分運算符號為 સ ሬሬሬሬ⃗）（24 分）

一線性極化之均勻平面電磁波 0 ˆ z ya E e    E 傳播於有損介質，其導磁係 數、介電係數及導電係數分別為, ,   ε 。 在何條件下，此一介質可視為低損耗介電材料（Low-Loss Dielectrics）？ （5 分） 若介質滿足低損耗介電材料（Low-Loss Dielectrics）的條件，試推導傳 播常數 j      ，並得出衰減常數及相位常數。（10 分） 試求出在低損耗介電材料內傳播的相速度 p u 及本質阻抗 c 。（10 分）

自由空間中沿著z 軸無窮長均勻線電荷，其線電荷密度為。 （每小題15 分，共30 分） 用庫侖定律，計算在點 (1, 0, 0) P m  的電場。 用高斯定律，計算在點 (1, 0, 0) P m  的電場。

一個無限平面導體的電流薄片（current sheet）在x z 平面上且其電流密 度為 ˆ(A / m) s sx J J   。（每小題10 分，共20 分） 以右手定則，判別磁場H  在點 1 (0, 2, 0) P m  和點 2 (1, 3, 0) P m   的方向。 已知在點

有一均勻橫向平面電磁波，其磁場強度為 9 0 cos(3π 10 10π ) ˆy H a t z    H (A/m)，在一無窮大的介質內傳播，傳播介質的導磁係數為 0 ，介質常 數為 rε ，時間單位為秒，長度單位為m，試問： 此均勻橫向平面電磁波之相速度。（5 分） 傳播方向的單位向量。（5 分） 傳播介質的介質常數 rε 。（5 分） 此均勻橫向平面電磁波之電場強度E。（10 分）

(0, 5, 6) P m  的磁場大小為4 (A / m)，求電流密度 sJ 。 三、在߳= 9߳଴且 0    的無損耗介質中，電磁波的電場是 10 ˆ ( , ) 40cos(2 10 ) (V / m)

將一個半徑為a 的金屬球置於一個半徑為b的金屬球（b a  ）內部，兩 球的球心重疊。假設內金屬球的電位為 ab V ，內金屬球上的總電荷為Q， 外金屬球的電位為0，兩金屬球之間填充介電係數為ε 的介電質，試求此 球形電容的表示式。（25 分）

一有損雙導線傳輸線，其單位長度串聯電感為L，單位長度串聯電阻為 R，單位長度並聯電容為C，單位長度並聯電導為G，電壓相量為V z( )、 電流相量為I z( )。（每小題5 分，共25 分） 試繪出該傳輸線一小段Δz之等效電路圖。 應用克希荷夫（Kirchhoff）電壓定律及電流定律推導時間諧波（Time harmonic）傳輸線方程式。 推導電壓相量V z( )及電流相量I z( )各自滿足的波動方程式。 求解電壓相量V z( )及電流相量I z( )。 推導傳播常數及特徵阻抗 0 Z 與傳輸線分布式參數（R, L, G, C）的關係。

E z t x t kz        。 已知߳଴ 9 1 10 (F / m) 36    ， 7 0 4 10 (H / m)      。 （每小題10 分，共30 分） 求此電磁波的波數k 。 求電場E  的相量（phasor）表示式E 。 利用馬克斯威爾方程式，求磁場H  的相量表示式H 。 四、有一個金屬波導內部填充未知介電係數的介質，設其內有橫電波傳播， 且其磁場z 的分量如下： 10 100 cos( )cos(3 10 221 ) (A / m) 3 z H x t z       。 波導x 方向及y 方向的尺寸為 3 , 2 a cm b cm   。 （每小題10 分，共20 分） 求此模態的號碼。 求波導內部相對介電係數。

針對下圖的簡單傳輸線（長度為l ）電路，其中電壓源 cos( ) g o v V t   ， 內阻為 o R ，傳輸線的特性阻抗 o o Z R  ，負載電阻 L o R R  ，欲求解負載 電壓 Lv 。 若基於電路學求解 Lv 時，請寫出其針對該傳輸導線的基本假設，並寫出 導線上任一點（參考平面C-C'處）的電壓 C v ，以及負載電壓 Lv 。（9 分） 若基於電磁學求解 Lv 時，請寫出其針對傳輸導線的基本假設，並寫出 導線上任一點（參考平面C-C'處）的電壓 C v ，以及負載電壓 Lv 。（16 分）

自由空間中有一個半徑為b之球形電子雲，其固定之體電荷密度(C/m3)為 0 ρ , 0 R b    ，及ρ 0, R b  ，請計算空間中任一位置之靜電場強度 E 與電通密度D，及在R b  區域內儲存之靜電能。（25 分）

空氣中有一電荷q，距離r 處之電位ܸ= ௤ ସగఢబ௥，現若將另一電荷ܳ，從無 窮遠處移至距離r 處，則所需能量為ܷ= ܸܳ= ௤ொ ସగఢబ௥，此能量即為保持此 二電荷距離為r 之能量，或稱該二電荷相關之靜電能U。如圖一所示，現 於空氣中有八個正電荷(1)~(8)，電荷量均為q，分布於邊長為a 之正立方 體的八個頂點，於正立方體中心處放置一負電荷，電荷量為Q。 試推導中心處負電荷Q 與八個正電荷q 相關之總靜電能ܷି。（10 分） 推導八個正電荷q 相關之總靜電能ܷା。（10 分） 由正電荷與負電荷之總靜電能ܷ= ܷା+ ܷି觀點，寫出此九個電荷位置 成穩定分布之條件式。依據此條件式，推導中心處負電荷Q 之電荷量。 （5 分） 圖一

如圖二所示，上下平板均為邊長a 之正方形導體，上平板有非常小的傾斜 角度θ，兩平板左邊之最短距離為h，假設平板面積夠大使得邊緣效應可 以忽略，試求電容C 之大小。（25 分） 圖二 37570

下列是有關向量和向量場特性的探討與證明： 如果兩個向量A  和B  ，針對另外一個特定向量D  的投影滿足下列的關係： A D B       D  請問這是否可以推論A B    ？（2 分） 如果你在子題的答案為非，設A B C      ，請找出一個 0 C   的例子 （可以透過畫圖呈現），並說明C  必須滿足何種特性或關係。（10 分） 如果兩個向量場 , , A x y z  ( )和 , , B x y z  ( )的散度，滿足下列的關係： A B     請問這是否可以推論A B    ？（3 分） 如果你在子題的答案為非，設A B C      ，請找出一個向量場 , , 0 C x y z   ( ) 的例子，並說明C  必須滿足何種特性或關係。（10 分）

如圖所示，為一同軸纜線且為無損耗，內導體半徑為c，外導體半徑為 a，兩導體間充填兩種介質材料，其介電係數分別為 1及 2 ，若內導體流 出電流為I 並經外導體流回。 應用安培定律，求0 r a   處之磁通量密度B 的分布。（10 分） 求此同軸纜線之單位長度電感值L。（15 分）

有一由完全導體組成的金屬空腔，a = 4 cm，b = 2 cm，L = 6 cm，如圖三 所示。 計算空腔內未填充任何材料情況下的最低共振頻率。（15 分） 若有一電性材料填滿整個空腔，此電性材料不導電。若測得之最低共振 頻率為3 GHz，求此電性材料之介質常數߳௥。（10 分） 圖三

在下圖的結構中，一對經由外部電壓源充電且充有正負電荷Q  的3 維立體 的電容極板，在其周圍建立了電場E  ，其周圍材料的導電率和介電係數 ε 皆為常數，請問其經由材料漏電的電流I 為多少（用 Q、 、ε 等表示）？ （25 分） 注意，針對此流經表面S 向外的漏電流I，其所帶走的電荷將由外部的 電壓源（沒有畫出來）所穩定補充供應。 Hint: J E     & S I J ds      

如圖所示，為a b 矩形波導管，中間充以空氣，考慮 2 a b  ；及a b  兩 種情況，試計算並依序列出TE01、TE10、TE11、TE02、TE20、TM11、TM12、 TM22 各模態的截止頻率（請用主模態的截止頻率表示）。（25 分） b ߝ1 ߝ2 c a b x 18030

一線性極化均勻橫向平面電磁波，從介質1(߳ଵ, ߤଵ)垂直正向入射至介質 2(߳ଶ, ߤଶ)，如圖四所示。其中入射平面諧波(Incident wave)之電場相量۳࢏與 磁場相量۶࢏、反射平面諧波(Reflected wave)之電場相量۳࢘與磁場相量۶࢘ 及穿透平面諧波(Transmitted wave)之電場相量۳࢚與磁場相量۶࢚。 寫出入射平面諧波之電場相量۳࢏與磁場相量۶࢏、反射平面諧波之電場 相量۳࢘與磁場相量۶࢘及穿透平面諧波之電場相量۳࢚與磁場相量۶࢚的表 示式。（15 分） 列出在兩介質交界處之電場及磁場的邊界連續條件。（5 分） 求解上述邊界條件，得出反射係數Γ及穿透係數τ的表示式。（5 分） 圖四 z

考慮一個沿著z 軸方向傳播的平面波，其電場只有x 分量且其表達式為 0 ( ) jkz x E z E e  ，其中 0 E 是電場的幅值，k   ε 是波數。請計算其對 應磁場H  的表達式，並說明其磁場分量的幅值 0 H 與電場分量幅值 0 E 之 間的比值，以及磁場分量的相位 H 與電場分量相位之間的關係。（25 分）

一橫向平面分布均勻之電磁波，磁場強度 9 0 3 1 ( )cos[3π 10 5π( 3 )](V/m) ˆ η ˆ 2 2 x z E a a t x z      H ，傳播於無窮大的 介質內，其傳播之介質之導磁係數為 0 μ ，本質的阻抗為η，介質的常數 為rε ，長度之單位為m，時間之單位為秒，請問： 平面電磁波所在的傳播介質之介質常數rε 。（10 分） 橫向平面電磁波於此均勻環境下之電場強度E。（15 分）

一球形電容器由兩同球心之金屬球面所組成，這兩金屬球之半徑分別為 a 及b，a < b，外金屬球接地，而內金屬球之電位為V଴，V଴為常數。試 求在這兩金屬球面空間中之電位分布。（25 分）

如圖一所示，有一位於x-y 平面之半圓線電荷分布，其線電荷密度為。 試求在z-軸上任意點（0, 0, z）之下列物理量： 電位（V）。（8 分） 電場強度（E）。（12 分） 圖一

考慮一半徑為R 的圓球，其球心置於原點，其外部電荷為零，內部電荷 分布為 0 ( ) ( / ) r r R    ， 0 為一常數。（每小題10 分，共20 分） 計算在r R  處的電場。 計算在r R  處的電場。

有關介電材料（dielectric）中的靜電場，試寫出並申論在線性（linear） 且無方向性（isotropic）的介電材料中電場強度Eሬ⃗（electric field intensity） 與電通量密度Dሬሬ⃗（electric flux density）之關係式。（10 分）

試求出下列結構之互電感（mutual inductance）： 空氣中一無限長直導線與其附近之一直角三角形導線，如圖二(a) 所示。（10 分） 空氣中一無限長直導線與其附近之一等腰三角形導線，如圖二(b) 所示。（10 分） a y x P(0, 0, z) (a) (b) 120° 60° d d d + b d + b 圖二  z

考慮一條沿z 軸擺放的細導線，其半徑為零，從z 延伸到z ， 沿著細導線流通電流 (amp) I ，從z 流向z 。計算在 0 ( , , ) ( ,0,0) x y z x  處的磁場。（10 分） 考慮一條細導線，其半徑為零，將該細導線繞成封閉環狀，環的半徑 為a，並將該環擺放在xy 平面上，其圓心位在原點。沿著環流通電流 (amp) I ，若以右手大拇指平行z 軸方向，則電流繞右手其餘四指方向 流通。計算在z 軸上的磁場。（10 分）

如下圖之靜磁迴路中，該環狀鐵心（ferromagnetic toroid core）有N 匝線 圈，該鐵心之permeability 為μ，該環平均半徑為ݎ଴，具圓形剖面，半徑 為a，而a<< ݎ଴，及一窄小的air gap ℓ୥。今有一穩態電流（steady current） ܫ଴流入該線圈，ܫ଴為一常數。 推導在環狀鐵心中的磁通密度（magnetic flux density）Bሬ⃗及磁場強度 （magnetic field intensity）Hሬሬ⃗。（12 分） 推導在air gap中的磁場強度Hሬሬ⃗。（9分） 證明在air gap的磁場強度遠大於在環狀鐵心內的磁場強度，如μ >> μ଴。 （4分） （註：忽略air gap 的邊緣磁場（fringe field）） ℓ୥ r0 I0 I0

如圖三所示，有一介電物質其形狀是由部分圓柱幾何曲線（粗線部分） 所定義出的，其介電係數為ε 。根據下列情況，試求其物理量： 如果置於 0  面及   面的導體，其電位分別維持在 0 V  及 0 V V  ， 求該結構的電容值為何？（10 分） 如果該介電物質改為一導電物質，其導電係數為，其電位的邊界條 件與相同，求該結構的電阻值為何？（10 分） 圖三 純量函數f 之梯度運算（gradient）在圓柱座標的表示式為： 1 ˆ ˆ ˆ f f f f z z               拉普拉斯方程式（Laplace’s equation）在圓柱座標的表示式為： 2 2 2 2 2 2 1 1 0 V V V V z                          1  2   , ε  0 

在xy 平面下方(z 0)  為介質一，介電係數及導磁係數為 1 1 ( ) , ε 。在xy 平 面上方(z 0)  為介質二，介電係數及導磁係數為 2 2 ( ) , ε 。一平面波自下 方入射，其磁場表達式為 0 ˆ x z jk x jk z i H yH e   ，在介質一產生一反射波，其 磁場表達式為 0 ˆ rx rz jk x jk z r H y RH e   ，在介質二產生一折射波，其磁場表達 式為 0 ˆ tx tz jk x jk z t H y TH e   。 推導入射波、反射波、折射波的電場表達式。（10 分） 列出入射波、反射波、折射波的波數向量色散條件。（5 分） 從在z 0  的邊界條件推論相位匹配條件， x rx tx k k k   。（5 分） 從在z 0  的邊界條件推出反射係數R 和折射係數T 的表達式。（10 分）

證明time harmonic 平面電磁波Eሬሬሬ⃗= aሬ⃗୶E଴eି୨୩୸−aሬ⃗୷jE଴eି୨୩୸為一圓形極化 波，更進一步證明該圓形極化波在無損耗介質中傳播時之瞬時 （instantaneous）Poynting 向量為一常數，與時間及傳播距離均無關。（25 分）

如圖四所示之一矩形波導管，其內部之電磁場（電場E 及磁場H）如下 列式子所給定：   0 2 ˆ sin sin 2 b y E C t z x b                  2 2 ˆ ˆ sin sin cos cos 2 b y y H C t z y C t z z b b                         其中C 為常數，為相位常數， 2 f    且f 為激發頻率。假設波導管 的四面金屬牆均為理想導體，試求出四面內牆上的面電荷密度（surface charge density）及面電流密度（surface current density）。（24 分） 圖四

將兩片無限大的金屬平板平行於yz 平面擺放，使該兩片金屬板的x 坐標 分別為 0 x 及x a  。當TE（transverse electric）波模態在兩片金屬板間 傳播時，令其電場為 0 ˆ sin( ) z jk z x E yE k x e  。 從邊界條件推論 xk 的可能解。（5 分） 推導對應的磁場表達式。（10 分） 推導對應的複數（complex）Poynting 向量z 分量的表達式。（10 分） 推導使複數（complex）Poynting 向量z 分量為實數時的頻率條件。（5 分）

如下圖，一具有功率P 之電磁波由傳輸線1（Line 1）經由a – a'節點輸 入傳輸線2（Line 2），其特徵阻抗（characteristic impedance）ܼ଴為300 Ω， 及傳輸線3（Line 3），其特徵阻抗值為100 Ω，試計算導入傳輸線1 之 反射功率，與導入傳輸線2 及3 之功率。（15 分） Z0 Z0 Z0

一右手圓形極化平面波可用下列相量（phasor）來表示， 0 ˆ ˆ ( ) ( ) j z E z E x jy e     其中為相位常數。若該平面波正向入射在位於 0 z  的理想導體牆， 試回答下列問題： 決定其反射波的極化。（4 分） 找出該理想導體牆上感應的電流。（6 分） 寫出總電場以正弦參考時間（sine time reference）為基礎的瞬間表 示式。（6 分） ϵ0, μ0 x = a y = b x z y

請證明馬克斯威爾方程式以及勞倫茲力公式隱含了庫倫力定律：換言 之，請首先推導一個點電荷q1 存在時所產生的電場（過程中請使用高斯 定律求解），接著引入另一個點電荷q2，計算其所受電力。（25 分） [提示]：馬克斯威爾方程式 v D     且D E    B E t      又勞倫茲力為F qE qu B        0 B D H J t          

於真空（介電係數permittivity

已知球座標單位向量ˆ ˆ ˆ ˆ sin cos sin sin cos R x y z a a a a         ， 請證明位置 ˆ ˆ ˆ ˆ y z x R a a a Ra x y z    （10 分） 證明向量恆等式 0 A       ‧ （10 分）

如圖所示，三個半徑均為a 的平行圓柱形導線，其彼此間距為d，假設 d a  ，試求導線間每單位長度的相互電容C10、C20 及C21。（20 分） d d 2a 0 1

針對在+z 軸上的一點P，原點和點P 間的距離d=6，請回答下列有關圓 柱坐標和球坐標的問題： 寫出圓柱坐標的符號表示，寫出P 點的圓柱坐標值並說明此答案之意 義。（7 分） 請問點P 處的圓柱坐標基底向量ˆr 的方向是否確定或唯一？請詳細說 明理由。（6 分） 寫出球坐標的符號表示，寫出P 點的球坐標值並說明此答案之意義。（6 分） 請問點P 處的球坐標基底向量ˆ的方向是否確定或唯一？請詳細說明 理由。（6 分）

9 2 1 C 36 10 Nm o    ）中，二金屬球半徑為a 及b，以金屬細線長度為d ( , ) d a d b   相連，其電荷量為Q。 推導細線上之庫倫力F。（10 分） 已知 10 1 cm, 2 cm, 1 m, 10 C a b d Q      ，計算細線上之庫倫力F 值。 （5 分） 二、一同軸線其內外金屬導線半徑為a 及b，其間為空氣（介電係數εo），已 知單位長度l 之內外金屬導線帶有電荷量 l Q 及 l Q  。 推導內外金屬導線間( < ) a r b  之電場 ( ) E r 大小及電位差 a b V V V   表 示式。（10 分） 推導單位長度之電容值 l l Q C V  。（5 分） 若同軸線外金屬導線半徑b 為固定，推導內金屬導線半徑a 值，使電 場 ( ) E a 為最小，且推導此時之單位長度電容值Cl。（10 分）

畫出電偶極（electric dipole）結構及其電力線分布，並寫出在計算電 偶極結構時，假設的前提為何？（8 分） 畫出磁偶極（magnetic dipole）結構及其磁力線分布，並寫出在計算磁 偶極結構時，假設的前提為何？（8 分） 上述的電力線與磁力線分布最明顯的差異為何？（4 分）

二、在xy 平面上，有一條N=10 匝導線的長方形迴路並串聯一個電阻  30 R  ，該迴路於x 方向的長為   0.6 m 及y 方向的寬為   0.2 m ，左 下角位於坐標原點，迴路中通過的磁通密度為    0 ˆ = cos ω β T za B t x   B ， 其中   0

如圖，有一個無窮大的平面電流分布（朝出紙面方向，ˆz 方向），其面電 流密度為 ˆ s K zK   ，且 s I K W  （單位：A/m），請利用安培定律求電流分 布上下兩側區域（y>0 和y<0）的磁場H  。（5 分） z x y 6 P I O W x y K  面電流 分布 37870

下圖斜線表示環形鐵心線圈（toroidal coils）橫切面，含有N 數線圈，並 通有電流I，計算此線圈之磁通量，已知電流I = 1A、線圈數目N = 2000、 a = 10 cm、b = 20 cm、h = 10 cm 及導磁係數 7

如下圖，有一球狀電子雲分布在0 R a   的區間內具有體電荷密度 ρv=1/R。而在電子雲的外部時（即R a  時），其體電荷密度ρv=0。請求 出分別在0 R a   與R a  的電場強度及電位分布。（20 分） ρv 18030

T B   ，角頻率   7 ω=5 10 rad/s  ，試求迴路電流為何。（20 分） 三、試論述均勻平面電磁波在低損耗介電材料（Low-Loss Dielectrics）與良 導體（Good Conductors）中之傳播常數、本質阻抗與相速度等特性， 並分析兩種材料之不同。（20 分）

有關傳輸線不連續處（底下以終端負載為短路為例）的電壓反射係數的 推導，如圖所示設入射波為 z oI e   ，反射波為 z oI e   ，則在短路負載處 （z=0）的終端條件為： 0 o o L V V V      ⑴ o o L I I I     ⑵ 一般認為這兩個終端條件乃是基於z=0 處的克希荷夫電壓定律以及電流 定律；請證明⑴和⑵兩式直接和底下z=0 處的電場邊界條件以及磁場邊 界條件相關： 1 2 0 t t E E   ⑶ 1 2 2 ˆ ( ) 0 s K n H H H            且 ⑷ 亦即，請由⑶式推導出⑴式。（10 分） 請由⑷式推導出⑵式。（10 分） [提示]：請利用圖及圖，想像傳輸線上的電流I 是源自一個無窮大的平面電流 中寬度為W 的一段電流，故推導過程中可以忽略邊緣效應。 z oI e    z oI e    VL IL Zo z=0 z z=-d 短路 ＃1,空氣 ＃2,金屬 Zo I y=0 y=h W ＃2,金屬 I y=0 ＃1,空氣 ˆn 0, 0 E H        y=h . . . . . . . . . 37870

10 H/m o      。（20 分） 四、於真空中，一金屬圓環半徑a，導磁係數μo，受正弦平面波磁場入射， 波長為 a  。 當此金屬圓環如何相對與入射平面波磁場B（或H）放置，使金屬圓 環產生之電動力（electromotive force）最大，並以原理或繪圖說明解 釋。（10 分） 推導該金屬圓環感應之電動力振幅。（10 分）

如下圖（a），開關S 在t=0 導通電路。而在傳輸線z=0 與z=l 的前5 μs 線 上電壓變化分別如圖（b）與圖（c）。試求V0、Rg、RL與週期T。（20 分） （a） （b） （c）

如圖所示，考慮一特徵阻抗為R0，長度為之無損傳輸線，波傳播速度為 u，負載端（z ）接一電容CL，於時間t = 0 時，將開關按下，接上一 內阻亦為R0 之直流電壓源V0，試求負載端之暫態電壓vL（t）。（20 分）

如圖所示的簡單交流電路，電源 8cos( ) sv t   （volt），電阻R1=3 Ω，電 阻R2=5 Ω，該迴路位於xy 平面上，且迴路面積為2 m2，請問： 若不考慮法拉第感應定律，請寫出克希荷夫電壓定律（KVL）的表示 式，且分別求橫跨在R1 和R2 上的電壓v1 和v2，以及電流i。（7 分） 若納入法拉第感應定律，且設前述迴路電流對應的磁通密度B  為均勻 的且 0 ˆ cos( ) B zB t    （Tesla），求其對應的磁通量Φ 以及感應電動勢 vemf。（4 分） 承，重畫此時的等效電路，並重新計算電壓v1 和v2（納入vemf 疊加 後的貢獻）。（10 分） 承，請寫出此時的克希荷夫電壓定律的表示式，並比較它和的差 別之處。（4 分） x y v2 v1 R1 R2 8cos( ) sv t  

於空氣中，一正弦平面波頻率f，入射電場Ei 垂直照射一金屬導體平板， 其導電率（conductivity）及導磁係數μo。 寫出金屬導體平板之表面電阻Rs 及金屬導體平板單位面積吸收之平 均功率Ps。（5 分） 已知頻率f = 100 MHz，入射電場大小Ei = 1 V/m，金屬導體平板之導電 率 7 =5.8 10 S/m   ，空氣 o =120   p （本質阻抗intrinsic impedance），計 算金屬導體平板之表面電阻Rs及單位面積吸收平均功率Ps值。（5 分） 推導金屬導體平板之衰減係數α。（5 分） 已知金屬導體平板厚度l = 50 μm，計算該入射平面波於金屬導體平板 之相對衰減量dB 值。（5 分）

有一均勻平面電磁波  ( , ) cos( )     z E x t a bt cx a 在μ=μ0 傳播。試求其頻率、 波速、相對介電系數（εr）及 ( , )  H x t 。（20 分） V0

有一均勻橫向平面電磁波在一無窮大的介質內傳播，其電場強度為 E 9 0 ˆ = sin 2 10 5 3 5 3 y a E t x z               （V/m），傳播介質的導磁係數 為 0 μ ，介質常數為ϵr，時間單位為秒，長度單位為m，試問： 此均勻橫向平面電磁波之相速度 p u 及傳播介質的本質阻抗η。（10 分） 磁場強度H。（10 分） V0+ R0 iL 0 z  R0 z  CL vL + _ t _

已知向量磁位能（magnetic vector potential） ( ) A r 和電流密度（current density）( ) J r 之關係式為 3 0 ( ') ( )= ' 4 ' J r A r d r r r          ，其中r為場位置，'r為源 位置， 0 為導磁係數（permeability），積分係對應於所有空間，且當 'r   時，( ) J r 較1 'r趨近於零，證明以下三小題。  ( )=0 A r   i 。（8分）  3 0 3 ( ') ( ') ( )= ' 4 ' J r r r A r d r r r               。（6分） 

若真空中有一帶有均勻線電荷密度 l之無窮長導線，求解此導線所建 立之電場。（10 分） 如圖一所示， 0 x  及 0 z  之區域為完美電導體且表面之電位為零，若 題之線電荷以平行y 軸之方式通過座標點（ 0x ,0, 0z ），求解導線外 （ 0 x  及 0 z  ）之電場。（15 分） 圖一

試推導向量三重積恆等式Aሬ⃗×൫Bሬ⃗×Cሬሬ⃗൯= k1Bሬ⃗+k2Cሬሬ⃗，求得k1與k2為何？（15分）

0 ( )= ( ) A r J r       。（6分） 二、於真空中有一點帶正電荷 8 2 10 Q    庫倫及另一點帶負電荷 8 4 8 10 Q    庫倫，其距離為 100 d  公分。 畫出此兩點電荷於一直線上，並標示此直線上之電場為零位置，且予 以說明。（8分） 計算此電場為零之位置。（12分）

如圖二所示， 1 2 B B   、 及

兩個半徑分別為R1和R2的球形導體以一條金屬細導線連接，假設兩個導體 球相距甚遠使得球形導體上的電荷分布可以視為均勻分布。若兩個導體 球的總電荷量為Q，試求： 兩個球形導體上個別的電荷量。（8分） 兩個球形導體表面的電場強度。（7分）

於空氣中有一球形水滴，半徑為0.1 mm，帶有電荷，其承受電場100 V/m 之電力和反承受之重力相同。 計算水滴之電荷值。（10分） 計算水滴電荷產生之電場值。（5分） 已知空氣被打穿之電場為 6 V/m 3 10  ，此水滴是否承受此電荷？（5分）

B  為磁通量密度，若各層物質之相對介磁係數 （relative permeability）為定值且各層間之平行介面上無表面電流存在， 說明

如圖之磁路系統，在中央分支鐵心有N = 200匝的線圈，流入I = 3 A之穩態 電流，該鐵心的橫截面積為S = 10-3 (m2)且相對導磁係數為μr = 5000，試求： 中央分支磁通量∅0及兩邊分支磁通量∅1。（10分） 中央分支鐵心磁場強度(H0)f、空氣間隙磁場強度(H0)g及兩邊分支鐵心 磁場強度H1。（10分）

以下係有關真空內之馬克士威方程組。 分別寫出以積分形式及微分形式之馬克士威方程式組，於其中各微分 形式方程式旁邊寫出對應之定律名稱。（8分） 於小題之微分形式馬克士威方程組中，可由其中兩項旋度（curl）相 關方程式及連續方程式，證明另兩項散度（divergence）相關方程式。 （8分） 以穩態弦波及複數形式寫出於小題之微分形式馬克士威方程組。 （4分）

與 1之關係式與 2 無關。（15 分） 圖二 完美電導體 導線 ( , , ) 三、如圖三所示，一無窮長之直導線上有靜電流1 0I A I  ，直導線旁有一長 方形導線環，若長方形導線環上串接兩個電阻值皆為R之電阻且導線環 以等速度 0 ˆ yu  u a  遠離直導線，忽略導線本身電阻，計算長方形導線環上 之電流 2I 。（20 分） 圖三 四、一於真空中傳播之平面波電場相量（phasor）表示式為 2 ˆ 120 (V/m) i j z y e     E a  假設 0 z  之區域存在一介電常數 4 r 之無損耗（lossless）介電質 （ 0    ），若此波於 0 z  邊界入射： 計算在 0 z  邊界反射與透射係數。（8 分） 寫出透射波（transmitted wave）之電場及磁場相量表示式。（10 分） 計算透射波之複數波印亭向量（complex Poynting vector）。（7 分）

在自由空間中有一平面電磁波，其電場相量Eሬ⃗൫Rሬ⃗൯= Eሬ⃗0e-jk⃗·Rሬ⃗及磁場相量 Hሬሬ⃗൫Rሬ⃗൯= Hሬሬ⃗0e-jk⃗·Rሬ⃗，Eሬ⃗0及Hሬሬ⃗0為常數向量，k⃗為波數向量，Rሬ⃗為位置向量，應 用Maxwell方程式，證明Eሬ⃑⊥Hሬሬ⃑，k⃑⊥Eሬ⃑，k⃑⊥Hሬሬ⃑以及自由空間本質阻抗 η0 = E0 H0 =ට μ0 ϵ0 = 120π (Ω)。（25分）

於真空中內有兩個正弦平面波，沿正z 方向傳播，其入射電場以 1 ( , ) i E z t  及 2 ( , ) i E z t  表示，入射方向相同ˆ ik ，頻率及相位相同（即 1 2 1 2 , i i f f E E     ），此兩個正弦平面波均為圓極化，但極化方向相反。 寫出各圓極化平面波之入射電場向量表示式，並畫出直角座標，標示 各入射電場向量、各極化方向及入射傳播方向ˆ ik 。（8分） 寫出完整之入射電場向量表示式。（2分） 若 1 2 ( , )= ( , ) i i E z t E z t   時，此完整之入射平面波極化為何？若 1 2 ( , ) ( , ) i i E z t E z t    時，此完整之入射平面波極化為何？（2分） 當小題之兩個圓極化平面波正向垂直入射一無限大金屬面，其導電 係數（conductivity）= ，寫出各圓極化平面波之反射電場 1 ( , ) r E z t  及 2 ( , ) r E z t  表示式，並於小題之同一圖上畫出各反射電場向量，標示各 極化方向及反射傳播方向ˆ rk 。（4分） 寫出完整之全部（含入射及反射）電場向量表示式，此為行進波或駐 波？（4分）

一長5 公尺之無損耗之傳輸線（ 0 50 Z  ），分隔傳輸線金屬之介電質 為空氣（ 1 r）。當操作頻率為150 MHz 時，若線之一端接上 (20 40) L Z j   之負載，計算從另一端看入之輸入阻抗。（15 分）

一無損傳輸線的特徵阻抗為R0 = 50 Ω，長度為，連接另一條特徵阻抗為 0 R，長度為，以負載阻抗ZL = 40+j10 (Ω)匹配，試求達成匹配條件所需 的特徵阻抗 0 R及長度各為多少。（25分）

如圖所示，將一個半徑為a 的金屬球置於一個半徑為b的金屬球（b a > ） 內部，兩球的球心重疊。假設內金屬球的電位為 0 V ，內金屬球上的總電 荷為Q，外金屬球的電位為0，兩金屬球之間填充介電係數為 1ε 的介電質。 推導兩金屬球間的電場分佈表示式。（5 分） 推導兩金屬球間的電位分佈表示式。（5 分） 將Q 表達為 0 V 、 1ε 、a 及b的函數。（5 分） 推導外金屬球內側的電荷密度表示式。（5 分） 推導兩金屬球間的電容表示式。（5 分）

已知靜電場為保守場，即 0 = ⋅ ∫    d E C ，若將歐姆定律 E J   σ = 代入，可得 0 1 = ⋅ ∫    d J Cσ 。試申述其意義？（25 分）

一均勻薄帶電圓盤位於自由空間x-y 平面上，其半徑為b，若圓盤的面 電荷密度為 sρ 。求圓環盤中心軸（z 軸）上任一點之電位V 與電場強度 E G 。（請自行選取適當座標系統作答）（20 分）

已知自由空間裡之球對稱電場分布為 ܧሬԦ = ቊܽԦோܴߩ଴/（3߳଴）, ܴ< ܾ ܽԦோߩ଴ܾଷ/（3߳଴ܴଶ）, ܴ> ܾ 求算 分別在ܴ< ܾ及ܴ> ܾ之電位ܸ及電荷密度ߩ௩。（20 分） 儲存於電場之能量ܹ௘。（5 分）

一片厚度為h之磁性材料（導磁係數為 1 µ ）置於兩片平行金屬板之間， 兩片金屬板長度為 0 L 、寬度為 0 W ，並於 0 z L = 處以第三片金屬板相連。 兩片平行金屬板於 0 z = 處分別接到一直流電流源之兩端，電流源之電流 為 0I 。假定金屬板上的電流密度均勻，金屬板之間的磁場也均勻。 列出兩片平行金屬板內側的電流密度表示式。（6 分） 列出金屬板之間的磁場表示式。（6 分） 列出金屬板之間的總磁通量表示式。（6 分） 推導此一金屬板包夾磁性材料結構的電感表示式。（7 分） 0 V 1ε a b 0 W h 0L 0I 1 µ z x y

向量為 zz y y x x R ˆ ˆ ˆ + + =  為原點至任何位置之位置向量，試求封閉面積分 s d R S   ⋅ ∫ ，其中積分封閉面積為一半徑3，高度6 之封閉圓柱面，如圖1 所示，圖中點Q 之直角座標為（3, 4, 5）。（15 分）  ) 4 sin( )

一同軸電纜由兩同軸導體組成，內導體為半徑a 之實心導線，外導體為 半徑b 之空心導體柱，其厚度可忽略不計，兩導體間之填充媒質的介電 係數（permittivity）為ε ，若內導體相對於接地外導體之電位為 0 V 。求 兩導體間之電位分布V、電場強度E G 、電通密度D G ，以及每單位長度之 電容值C。（請自行選取適當座標系統作答）（20 分）

關於自由空間之靜磁場 磁通密度滿足∇∙ܤሬԦ = 0，說明其代表之物理意義。（5 分） 應用安培定律之微分式，證明克希荷夫（Kirchhoff）電流定律。（5 分） 以磁位ܣԦ表示，令ܤሬԦ = ∇× ܣԦ，代入安培定律，進一步令∇∙ܣԦ = 0，給 定電流密度ܬԦ時，推導ܣԦ須滿足之方程式，並說明何以我們可以要求 ∇∙ܣԦ = 0。（10 分） 利用求得之方程式，與靜電學Poisson 方程式比較，將ܣԦ表以ܬԦ之積 分。（5 分）

如圖所示，一段長度為z ∆的傳輸線的等效電路，其單位長度的電容為 C 、單位長度的電感為L，電壓分佈為( , ) V z t 、電流分佈為( , ) I z t 。 請應用Kirchhoff 電壓定律及電流定律推導( , ) V z t 及( , ) I z t 的一階聯立 方程式。（10 分） 求解上述聯立方程式推導出 ( , ) V z t 及( , ) I z t 各自滿足的二階波動方程 式。（10 分） 列出( , ) V z t 的通解，並代入一階聯立方程式得出( , ) I z t 對應的表示式。 （5 分）

cos( ) , , ( z y e z y x f x π π − = ，試求封閉路徑線積分   d f C ⋅ ∇ ∫ ，其中積 分封閉路徑為邊長3 之正方形封閉路徑，如圖2 所示。（10 分） 圖1 圖2 z x y P1(3, 0, 0) P4(3, 0, 3) P3(3, 3, 3) P2(3, 3, 0) Q x y z 6 3 O 三、圖3 為一對半徑均為a 行雙導線單位長度電容

一平行板電容器，其板面積為10 cm2，兩板相距0.2 cm，其間填充一種 相對介電係數為 2 rε = 及電導率為 5 4 10 σ − = × S/m 之媒質。為維持電流 穩定地通過媒質，在兩板間外加一120 V 之電位差。求媒質之電場強度 E G 、體電流密度J G 、功率密度p，以及電阻R。（請自行選取適當座標系 統作答）（20 分）

一角頻率߱之均勻平面波ܧሬԦ = ܽԦ௫ܧ଴݁ିఊ௭傳播於有損介質，其導磁係數、 介電係數及導電係數分別為ߤ、߳、ߪ 在何條件下，此一介質可視為良導體？下列子題均假設良導體成立。 （5 分） 推導其傳播常數ߛ= ߙ+ ݆ߚ，得出衰減常數、相位常數之表示式。（10 分） 以銅為例，ߪ= 5.8 × 10଻ S/m、ߤ= ߤ଴、߳= ߳଴，求算在3 MHz 時之 本質阻抗大小、相速度。（10 分） 26870

如圖所示，兩片平行金屬板構成一個導波管，兩片金屬板間填充介電係 數為 1ε 、導磁係數為 0 µ 的介電質。假設導波管內部的電場為 0 ( ) 0 = j t k z E yE e ω −  。 將電場代入Faraday’s law，推導出導波管內部的磁場表示式。（5 分） 列出電場振幅與磁場振幅的比值。（5 分） 列出兩片平行金屬板內側的電流密度表示式。（5 分） 列出兩片平行金屬板內側的電荷密度表示式。（5 分） 列出功率密度 * S E H = × 表示式。（5 分） L z ∆ C z ∆ z z z + ∆ z x y 0 1 ( , ) µ ε

圖4 所示，考慮長度為 其特徵阻抗為R0 = 50 壓15 V，其內阻為Rg 開關按下，試求在傳輸 何？並繪出其電壓波形 Vg(t) 15(V) 0 t 1(μs) a 之平行圓柱形導體，圓心相距 容 ) 2 / ( cosh 1 0 a D C − = πε 。（25 分） 圖3 為400 m 之傳輸線，電波傳播時間 Ω，輸入端（0 m）加上時間為期 = 25 Ω，負載端（400 m）為短路 輸線中間（200 m）在 s t µ 8 < 的電 形。（25 分） 圖4 D a a Rg R0 = 50(Ω) Vg(t) + － 0 200(m) 26130 距為D，試證明此平 間延遲為 s T µ 2 = ， 期 s µ 1 之方形脈波電 路，在t = 0 時，將 電壓波v（200, t）為 400(m)

一導體如下圖所示，位於x-y 平面上，並載有電流20 A。若在此區域中， 磁通密度B G 為1.25 z aG T，求該導體所受之作用力F G 。（20 分） B G 為1.25 z aG T y x

有一50 歐姆傳輸線之單位長度電阻、電感、電導、電容分別是ܴ、ܮ、ܩ、ܥ， 吾人可推導出其傳播常數滿足ߛ= ߙ+ ݆ߚ= ඥሺܴ+ ݆߱ܮሻሺܩ+ ݆߱ܥሻ，當 ܴ/ܮ= ܩ/ܥ時， 求算ߛ之表示式。（5 分） 說明為何此條件下，稱為無失真傳輸線。（5 分） 若ܥ= 0.1 nF/m、ܴ= 0.06Ω/m，求算ܮ、波行進之相速度、及單位長 度衰減dB 數。（15 分）

在完美的介電性媒質內，有一電場 cos( ) x E t kz a ω = − E G G V/m，其中E 為 峰值，而k 為常數，若該介電性之介電係數為ε ，以及磁導率為μ ，求 該區域內之電通密度D G 、磁通密度B G 、磁場強度H G ，以及波印亭向量S G （Poynting vector）。（20 分）