電磁學與電磁波考古題｜歷屆國考試題彙整

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b R a         。 如下圖有一個理想金屬做成的中空（ε0, μ0）波導，其橫切面為a×b 的矩 形，且2b>a>b，而金屬本身的厚度可忽略。如果此金屬波導必需在單一 模態（Single mode）的條件下工作，請證明其可操作的頻率範圍落在 0 0 1 2a  與 0 0 1 2b  之間。（10 分） 如下圖有一個由N 個電偶極（Electric dipole）所組成的線性陣列天線， 假設每個相鄰電偶極之間的間隔距離d 都等於二分之一波長（d=λ/2， λ 為電磁波的波長），且彼此之間的電磁場不會互相耦合與干擾。如果饋 入到每個電偶極上面的電流之振幅皆相同，且每個相鄰電偶極的電流之 間的相位差（Phase difference）都保持為ξ，則該線性陣列天線輻射電場 的主波束（Main beam）與天線陣列所排列之方向，就會形成一個夾角， 如下圖。而、ξ、d 與λ 會滿足關係式：cos()= d    與β= 2 ，因此只 要改變ξ，就可以改變。（每小題10 分，共20 分） 如果 2   （或90 度），則ξ 之值應該等於多少？ 如果

  （或60 度），則ξ 之值應該等於多少？ 如下圖，有一個均勻平面電磁波 ) 6 8 ( )ˆ

ˆ 3 ( ) , ( z x j i e z x z x E       在z=0 處， 從第一個區域（真空：ε1=ε0 且μ1=μ0）中，入射到第二個區域（ε2= 0 16 9 且 μ2=μ0）。（每小題10 分，共40 分） 求出在第一個區域中的入射電磁波之波長λ。 求出在第一個區域中的入射電磁波之角頻率ω。 在第一個區域中，會有反射波嗎？需證明你的觀點。 求出在第二個區域中，穿透波的電場 ) , ( z x Et  之數學表示式。 將總電量為Q 的靜電荷，均勻地散布在半徑為R 的空心球的薄球殼上， 假設球殼的厚度可以忽略。請證明在球內部的空心處，任何一點的電場 強度都是0。（10 分） z z z z t t i r

一段長度為L 的均勻無損傳輸線特性阻抗為Z0，傳播常數為 j    ，其中 β為相位常數。一個頻率為f 的正弦電壓源V0與傳輸線的輸入端（z = 0） 連接，傳輸線的末端（z = L）連接一負載阻抗ZL。請回答下列問題： 請寫出傳輸線上電壓V(z)與電流I(z)的數學表達式，以及負載端（z = L） 的電壓與電流數學表達式。（6 分） 若負載阻抗ZL = （即開路），求負載端的電壓波反射係數和輸入端 （z = 0）的輸入阻抗Zin。（6 分） 證明在情況下，輸入阻抗Zin 與傳輸線長度L 之間滿足 Zin = 0 cot( ) jZ L   的關係式。（6 分） 解釋中關係式的物理意義。（7 分）

本題探討利用馬克斯威爾方程組推導自由空間中的電場波動方程式，以 及其求解的過程，最後計算出其傳播波速。 請利用馬克斯威爾方程組（如以下提示）推導電磁波電場在自由空間 中的波動方程式。（10 分） 在一維平面波的假設，亦即 ˆ ( , ) x E xE z t   ，請化簡中的波動方程式。 （5 分） 驗證函數 ( ) x E pt qz  是中波動方程式的解，只要兩個參數的比值p q 滿足某一特定關係式（亦即波速），並求出波速的數學表示式。（10 分） 〔提示〕： ･馬克斯威爾方程組： 0 E    （在自由空間無電荷） B E t      0 B    0 0 E B t        ε ･向量恆等式： 2 ( ) ( ) A A A      

本題考慮在均勻磁場中的電流導線與電流迴路所受的磁力與磁力矩問題。 一段長度L 且載有穩定電流I 的導線，假設該導線置於均勻磁場B  中， 已知導線上微量長度dl 所受的微量磁力可表示如下： m dF Idl B      請推導出導線所受的總磁力 m F  數學式。（3 分） 如圖一所示，一個邊長為L 的正方形電流迴路（電流為I）置於均勻 磁場 0 ˆ B B y   中。請計算左、右兩段導線（AD與BC）所受的磁力，並 證明其大小相等且方向相反。（8 分） 繼續子題，請計算上、下兩段導線（CD與AB）所受的磁力，再計 算這四段導線所受磁力的合力與合力矩。（14 分） 〔提示〕：力矩的公式 r F      圖一 0 ˆ B y

考慮純量場 ( ) G E    ，其中是任意可微分之純量場，且 2 0   （稱 為調和函數）；又E 是靜電場，滿足 0 E    。假設某一區域V 是邊長 為a 的立方體，該立方體的邊界外表面為S，且假設邊界S 上電位為 零，請計算純量場G 在區域V 的體積分值 V G dv  。（25 分） 〔說明〕：必須利用以下散度定理和電磁學基本定律等進行推導與計算， 否則不予計分。 ･散度定理： V S Adv A ds         ･電場與電位的關係：E    ･靜電場滿足高斯定律： 0 0 E       （設區域V 內無電荷） ･向量恆等式： ( ) E E E           2 ( )         

半徑為ܴ的圓球之球心置於原點，其內外部電荷皆為零，僅r = R有一薄 層表面電荷，其密度ߩ௦（coul/mଶ）為一常數。 推導在r ＜R處的電場表達式。（10 分） 推導在r ＞R處的電場表達式。（10 分）

半徑為ܴ的無限長圓柱導線軸心沿z軸擺放，其外部電流為零，內部電流 均勻分布，密度為ܬ̅(ݎ) = ݖ̂ܬ଴（amp/mଶ），ܬ଴為一常數。 推導在r ＜R處的磁場表達式。（10 分） 推導在r ＞R處的磁場表達式。（10 分）

xݕ平面下方（ݖ< 0）為真空，介電係數及導磁係數為（߳଴, ߤ଴）。xݕ平 面上方（ݖ> 0）為理想導體（ߪ→∞）。一平面波自下方入射，其電場表 達式為ܧത௜= ݕොܧ଴݁ି௝௞ೣ௫ି௝௞೥௭。 推導反射波的電場表達式。（5 分） 推導入射波及反射波的磁場表達式。（10 分） 推導在ݖ= 0的表面電流分布。（5 分） 推導在ݖ< 0的複數波印亭向量（complex Poynting vector）。（10 分）

將電流矩量為ݖ̂ܫ଴ℓ的赫茲偶極（Hertzian dipole）置於原點，其所產生的 遠場分別為ܪഥ(ݎ̅) = ߶෠௝௞ூబℓ ସగ௥݁ି௝௞௥sinߠ, ܧത(ݎ̅) = ߠ෠ߟ଴ ௝௞ூబℓ ସగ௥݁ି௝௞௥sinߠ，其中ݖ̂、 ߶෠和ߠ෠分別為ݖ方向、߶方向和ߠ方向的單位向量，ߟ଴= ඥߤ଴߳଴ ⁄ 。 推導複數波印亭（Poynting）向量ܲത表達式。（5 分） 計算總輻射功率的時間平均值〈ܲ௥௔ௗ〉。（10 分） 計算Hertzian dipole 的輻射電阻ܴ௥௔ௗ。（5 分） 推導Hertzian dipole 的輻射指向性（directivity）ܦ(ߠ, ߶)，表示為ߠ與߶ 方向的函數。（5 分） 計算輻射指向性的最大值ܦ୫ୟ୶。（5 分）

如圖所示，考慮有限長傳輸線，其特徵阻抗為R0 =50 ，波傳播速度為 u，傳輸線長度為，輸入端（z = 0）加上直流電壓源V0 = 2 V，其內阻 RS = 25 ，負載RL = 75 ，在t = 0 時，將開關按下，設T 為信號經 過整條傳輸線所需時間， 試繪出輸入端（z = 0）的電壓波形vS（0 ≤ t ≤ 5T）。（10 分） 試繪出負載端（z =）的電壓波形vL（0 ≤ t ≤ 5T）。（10 分） 試求t →∞時，負載端（z =）的電壓vL（t → ∞）為何。（5 分）

考慮一段傳輸線長度為1/4 波長，特徵阻抗R0 為60 ，負載阻抗RL 為 30 ，負載端電壓為2 V，試求輸入端之阻抗，電壓。（20 分）

一平行極化均勻橫向平面電磁波，從介質1 至介質2 以斜角入射於平面 介面，介面兩邊之介電係數及導磁係數分別為(ε1,μ0)及(ε2,μ0)，並且εଵ> εଶ，其中μ0亦為空氣之導磁係數。如果入射角θi、反射角θr及穿透角θt， 為平面介面法線與平面波進行方向之夾角， 試求反射係數Γ∥。（10 分） 試求穿透係數߬∥。（10 分） 試求入射之臨界角θc。（5 分） 若入射角θi大於臨界角θc時，試求其波數向量k⃑，並說明其物理意義。 （5 分）  vL vS

有一均勻橫向平面電磁波，其電場強度為 E=aොxE0 cos ቂ2π൫4×108t+2√3y-2z൯+ π 3ቃ（V/m），在一無窮大的介質內傳播， 傳播介質的導磁係數為ߤ଴，介質常數為ϵr，本質阻抗為η，時間單位為秒， 長度單位為m，試問： 此均勻橫向平面電磁波之相速度。（5 分） 傳播方向的單位向量。（5 分） 傳播介質的介質常數ϵr。（5 分） 此均勻橫向平面電磁波之磁場強度۶。（10 分）

一平行兩條金屬線之截切面如圖一所示，每條金屬線單位長度電荷量分 別為 lQ 及 lQ  ，半徑a，兩條相距 ( ) D D a  ，周圍係空氣介質係數 o。 推導兩條金屬線之電場大小包含由 lQ 產生之 ( ) E r  及由 lQ  產生之電 場 ( ) E r  、M 點與M '點之電位差 ' M M V V V    及單位長度電容 lC 。 （12 分） 推導兩條金屬線之單位長度電能 el W 及吸引力 lF 。（8 分） M l Q r D ' M l Q  E E ( ) o  空氣 a 圖一

一半徑a 圓形單線圈內流有電流I，推導於單線圈中心距離z 位置M 點之磁場大小 zB ，如圖二所示，周圍係空氣導磁係數 o 。（10 分） 此半徑a 圓形單線圈共連接N 圈成為螺線管，其長度b，螺線管流有 表面電流密度J = NI/b，如圖二所示，推導於螺線管線圈中心距離z 位 置M 點之磁場大小 zB 。（10 分） M z a NI J b  0 z  b 1  2  z B M z a I 0 z  r  I I I r a a z z B z ( ) o  空氣 圖二

一長方形金屬導波管如圖三所示，其內為空氣，傳播模態 10 TE 之磁場為 10 10 sin 0 cos j z x y j z z j a x H A e a H x H A e a                   推導導波管內部四面金屬壁之表面電流密度 SJ 。（8 分） 請說明於那面金屬壁可挖窄槽及位置，於窄槽內放入探針量測電磁特 性，而不影響導波管內 10 TE 傳播模態，並畫出導波管之表面電流分布 及窄槽位置。（12 分） y ( , ) o o   空氣 a x z b 0 圖三

一無損失傳輸線其負載 100 L Z  ，於傳輸線之 1.5 VSWR  ，計算傳輸線 之特徵阻抗 0 Z 。（20 分）

如圖四所示，距地面h 高有一線性天線平行於地面，傳播波長為，電 流I 流入紙張方向，且地面為平面完全導體。 畫出映像天線（image antenna）位置及其電流方向。（10 分） 推導線性天線之最小高度h，使天線最大輻射於角度，並予以說明。 （10 分） I  h 圖四

2 c m n f a b                標示截止頻率最低的三個TEmn 模態之模態指數( , ) m n 。（6 分） 標示截止頻率最低的三個TMmn模態之模態指數( , ) m n 。（6 分） 計算僅一個模態可傳播的最低頻率 min f 和最高頻率 max f 。（6 分） 推導具有最低截止頻率的模態在頻率為 min f f  時的群速 gv 表示式。 （7 分） a b 圖二所示，一平面波自介質(1) 入射，該入射波的電場為   9 0

1 ˆ ˆ cos 6 10 10 3 2 2 iE E x z t x z                  。（每小題5 分，共25 分） 計算頻率f (Hz)及波長(m)。 計算折射角 r。 計算反射係數。 推導反射波的電場表示式。 推導折射波的電場表示式。 圖二 圖三所示為一傳輸線，開關S 於 0 t  時關閉。（每小題5 分，共25 分） 計算負載端( ) z 的電壓波反射係數 L 。 計算電源端( 0) z  的電壓波反射係數 S 。 計算在 / 2 z  ， 3 μs t  時的電壓。 計算在 / 2 z  ， 3 μs t  時的電流。 計算在 / 2 z  ，t 時的電壓。 圖三 (2) y x z 0 0 (1.5 , )   60 ik iE 120  0 60 , 1μs Z T    z  0 z  40  0 t  S 100 V 0 0 ( , )   (1)

請扼要回答以下問題：（每小題5 分，共40 分） 一電荷Q在一金屬牆圍成之空間內慢慢移動，在金屬牆外可否使用一 電場儀表量得此電荷之移動？ 一點電荷Q位於兩無限大金屬平行板之間，如下圖所示，畫出其對應 之影像點電荷。 Q 兩平行導線之電流為同向（其兩電流均流入紙張方向）及反向（其左 導線電流流入紙張方向，而右導線電流流出紙張方向），如下圖所示， 分別畫出其磁場等效線及方向。 同向 反向 一金屬圓環上有電流I，其外以封閉表面S（含左半表面S1及右半表面 S2）包圍，如下圖所示，通過此表面S 之磁通量是否為零？原因為何？ S1 I S2 一圓柱型軟鐵長線圈，相對導磁係數μr = 5000，每公尺匝數Nl= 1000， 通過電流I = 1 A，計算該線圈內部之磁場強度H、磁通密度B、磁化強 度M，並標示單位。 均勻金屬中有一穩態電流，金屬之導電係數σ 且無內電場源，寫出穩 態電流相關之馬克斯威公式。 Q 一正弦平面電磁波可傳播於兩種不同介質，介質係數分別為ε1 及ε2， 波長分別為λ1 及λ2，而導磁係數同為μ0，寫出λ1 及λ2 之比值。 一無損失傳輸線之電壓駐波比VSWR = 1.1，計算所對應的反射係數大小。

於真空中有一無損介質區（介質係數ε、導磁係數μ、厚度d），如下圖 所示，以一正弦平面波（頻率f0、傳播常數 0 k ）垂直正向入射，其電場 相量 ) ( 1 z E i 、磁場相量 ) ( 1 z H i 1i E 1i H o k d ( , ) o o ε µ ( , ) ε µ ( , ) o o ε µ 入射區1 介質區2 穿透區3 z x y 寫出入射正弦平面波之頻域電場相量 ) ( 1 z E i 及磁場相量 ) ( 1 z H i ，依據馬 克斯威公式寫出 ) ( 1 z E i 與 ) ( 1 z H i 之數學表示式，且將 ) ( 1 z H i 以 ) ( 1 z E i 及 0 0 0 ε / μ = η 表示，其中 0 η 之物理意義為何？（10 分） 寫出不同區域之入射及反射電場相量及磁場相量，可在答案紙上重劃 本題圖以清楚表達各相量。再寫出入射區1 及介質區2 介面（z = 0） 與介質區2 及穿透區3 介面（z = d）的電場相量與磁場相量之邊界條 件數學式（一共含4 式）。（15 分） （說明：本題之各區電場與磁場相量係以下標i 與r 分別表示入射及 反射。入射電場相量正規化為 ° ∠0 1 ，而入射區1 中反射電場相量正規 化為反射係數Γ，穿透區3 中穿透電場相量正規化為穿透係數T。） 設介質區之厚度d 為二分之一波長（d = λ / 2≠λo/ 2），重寫出介質區2 及穿透區3 介面（z = d）電場相量及磁場相量之邊界條件數學式（一共 含2 式）。由此二式比值得知 η η / 0 式，再代入入射區1 及介質區2 介 面（z = 0）邊界條件數學式之比值，推導反射係數Γ。再代入介質區 2 及穿透區3 介面（z = d）邊界條件數學式，推導穿透係數T。說明 為何此二分之一波長厚之介質區2 可適用於雷達罩？（15 分）

一無損失傳輸線其特徵阻抗 Ω = 75 0 Z 。 當該傳輸線接負載 Ω = 75 L Z 時，其正向傳播之平均功率 dBm 0 = + P ， 繪出只有正向傳播之集總等效電路，含信號源 dBm 0 = + P 及 Ω = = = 75 0 L g Z Z Z ，由此計算負載之電壓相量值 + V 。（5 分） 承上子題，將負載改為ZL = 100 Ω，繪出集總等效電路（含Zg = Z0= 75 Ω 及ZL = 100 Ω），計算信號源之電壓相量值Vg，並計算負載端之反射 係數 L Γ 、入射電壓 + L V 、反射電壓 − L V 、負載電壓VL 及負載消耗之平均 功率PL。（15 分）

如圖所示，一垂直極化電磁波自介質一（medium 1）（ 0 0

, ε ε μ μ = = ） 入射至介質二（medium 2）（ 0 0, ε ε μ μ = = ），其入射波數向量為 z x k z k x k ˆ ˆ 1 + = ，穿透波數向量為 z x k z k x k ˆ ˆ 2 + = ，自由空間的波數為 0 0 0 ε μ ω = k 。（每小題5 分，共20 分） 請計算臨界角。 若入射角為60°，請將 x k 表示為 0 k 的函數。 請將 zk 表示為 0 k 的函數。 當電場強度（E ）降至1/e 且在 + = 0 z 時，請計算電磁波在介質二中 沿z 軸前進多長距離。 二、一位於原點的電流赫茲偶極矩量（Hertzian Dipole）為 AIzˆ ，輻射磁場為 θ π φ sin 4 ˆ 0 jkr e r I jk H − = A ，輻射電場為 θ π ε μ θ sin 4 ˆ 0 0 0 jkr e r I jk E − = A 。 （每小題5 分，共20 分） 請計算坡印廷向量（Poynting Vector）的時域平均值。 請計算總輻射功率。 請計算輸入電阻。 請將方向性增益表示為θ 的函數。 1k 2k 1 θ 2 θ ) , ( 2 medium 0 0 ε μ ) 2, ( 1 medium 0 0 ε μ x z E

如圖所示為一微小段傳輸線，其中L 為每單位長度的電感，C 為每單位 長度的電容。 使用電流定律（KCL）及電壓定律（KVL），推導兩個以 ) (z V 和 ) (z I 的 一階耦合微分方程式。（7 分） 承上題之 ) (z V 及 ) (z I 之一階微分方程式，推導出其二階微分方程式。（6 分） 請解出 ) (z V 和 ) (z I 的通解（General Solution）。（7 分）

如圖所示，兩個點電荷 q + 和q −位於z 軸上，相距為d。 請計算 ) , , ( z y x P 的電位（Electric Potential）分布函數Φ 。（6 分） 假設 2 1 r r d 與 << ，且正比於q、d，請計算中電位分布（Φ ）的近似 式。（7 分） 請從中的電位分布（Φ ）計算對應的電場分布（E ）。（7 分） z y x ) , , ( z y x P q + q − ( ) 2 ,0,0 d ( ) 2 ,0,0 d − r 1r 2r θ z z Δ + z ) ( z z V Δ + ) (z V ) ( z z I Δ + z LΔ ) (z I z CΔ

如圖所示，一鐵心（ 0 000 , 10 μ μ = ）由一線圈（ 000 ,1 = N 匝）驅動，線 圈中的驅動電流為I。沿鐵心內部的路徑（ 3 2 1 P P P ）長度（lc）為50 cm， 氣隙（ 1 3P P ）長度（la）為2 cm。 假設鐵心內部的磁通量密度B 為2 Tesla (weber/m2)，請計算氣隙內的 磁場強度 a H 。（6 分） 請依中的參數計算所需電流I 的數值。（7 分） 將氣隙以鐵心填滿，構成一個封閉的鐵心迴路，假設沿鐵心迴路內部 的磁通量密度保持為B = 2 Tesla，請計算所需電流I 的數值。（7 分） la 000 ,1 = N 匝 I 1P 3P 2 P

有一電場 z y x a z xy a xz a yz ˆ ) 3 ( ˆ ˆ     E ， 試問此電場可否為一靜電場？ （8 分） 試求此電場內的電荷分布。 （7 分）

在一圓半徑為a 之內接六邊形封閉迴路通以電流I，如圖所示，試求其中心點的磁 通密度B。（15 分）

如圖所示，假設金屬軌道在x 方向可無窮延伸，軌道上串聯一電阻R，空間分布著磁 通密度 0 ˆ B az  B ，另有一長h 之滑動導線，以 斜放於軌道上，並以速度 v a v xˆ   在 軌道上滑行，試求軌道與滑動導線所圍成的封閉迴路上的電流大小及方向。（15 分） （請接背面） 2' 1' R 1 2 V0 h 45° 106 年專門職業及技術人員高等考試 建築師、技師、第二次食品技師考試暨 普通考試不動產經紀人、記帳士考試試題 全一張 （背面） 等 別 ：高等考試 類 科 ：電子工程技師 科 目 ：電磁學與電磁波

如圖所示，考慮有限長傳輸線，其特徵阻抗為R0，波傳播速度為u，傳輸線長度為， 輸入端（ 0  z ）加上直流電壓源V0，其內阻為R0，負載端（   z ）加入電容性負載， 電容值為CL，在t = 0 時，將開關按下，試求流入負載端的電流波 ) (t iL 為何？並繪出 負載端的電流波形。（20 分）

一真空入射平面波，其電場以向量可表示為 z j y x i i e aj a E     ) ˆ ˆ ( 0 E ，其中 c   ， 0 0 1 ε c   ，在z = 0 處有一完全導體平面，入射波正向入射於該完全導體平面，試問： 入射 ？（6 分） 反射波之極化 ？（6 分） 感應於完全導體之瞬時表面電流密度 ) (t s J ？（8 分）

當一無損耗傳輸線的一端短路，距端點30 公分處量到的阻抗為j100Ω，若該端斷路 時，則距端點30 公分處之阻抗變為-j25Ω，則該：（每小題5 分，共15 分） 傳輸線的特性 ？ 若端點阻抗為 75Ω，此時端點的反射係數為何？ 電壓駐波比 （VSWR）為何？ 0  z CL R0 V0 vL iL   z R0 ϵ

馬克斯威爾方程式（Maxwell’s Equations）中之法拉第定律（Faraday’s Law）的積分 表示式（Integral Form）如下：∫ Φ − = ⋅ C m dt d d E lv v ，其中Ev 為電場強度（Electric Field Intensity Vector），lv d 為微量長度變化（Differential Length-Change Vector），C 為封閉 路徑（Closed Contour）， m Φ 為垂直交鏈封閉路徑(C )所封閉之開面（S：Open Surface） 的磁通量（Magnetic Flux），t 為時間。請用法拉第定律詳細推導證明：靜電位 （Electrostatic Potential） ∫ ⋅ − =

1 21 P P d E V lv v (V)與起迄兩端點（End Points：1P 及 2 P ）中 間之路徑選擇無關（Path-Independent），只與起迄兩端點之選擇有關。（10 分） 二、有一勻質介質媒介（Homogeneous Dielectric Medium），介質之絕對介電常數（Absolute Permittivity）為ε ，其內體積電荷密度（Volume Charge Density）為ρ。於直流（D.C.） 及穩態響應（Steady-State Response）條件下，請詳細推導證明靜電位（Electrostatic Potential, V ）滿足以下之Poisson’s Equation： ε ρ − = ∇V 2 。（10 分）

馬克斯威爾方程式（Maxwell’s Equations）中之磁通不滅定律（Law of Conservation of Magnetic Flux）的微分表示式（Differential Form）為 0 = ⋅ ∇Bv ，Bv為磁通密度（Magnetic Flux Density）， A B v v × ∇ = ，Av 為向量磁位（Vector Magnetic Potential）；於靜磁 （Magnetostatic）條件下，安培電路定律（Ampère’s Circuital Law）的微分表示式為 J H v v = × ∇ ，Hv 為磁場強度（Magnetic Field Intensity）， H B v v μ = ，μ為勻質導磁媒介 （Homogeneous Magnetic Medium）之絕對導磁常數（Absolute Permeability），Jv 為於 導磁媒介內流動之體積電流密度（Volume Current Density）。於選取Coulomb Condition ： 0 = ⋅ ∇Av 之條件下，請詳細推導證明Vector Poisson’s Equation ： J A v v μ − = ∇2 。（20 分）

有一實際變壓器（Real Transformer）之一次側（Primary Winding）與二次側（Secondary Winding）的小信號交流電感（Small-Signal A.C. Inductances）如下：1L 為二次側開路 （Open-Circuited）時一次側所量測到之自感（Self-Inductance）， 2 L 為一次側開路時 二次側所量測到之自感， SC L ,1 為二次側短路（Short-Circuited）時一次側所量測到之 電感。 2 1L L k M = 代表一二次側間之互感（Mutual Inductance），其中k 為一二次側 間之磁通耦合係數（Coupling Coefficient of Magnetic Flux）。請根據量測到之 1L ， 2 L ， SC L ,1 詳細推導k 之數學表示式。（10 分） 105年專門職業及技術人員高等考試建築師、 技師、第二次食品技師考試暨普通 考試不動產經紀人、記帳士考試試題 全一張 （背面） 等 別： 高等考試 類 科： 電子工程技師 科 目： 電磁學與電磁波

當一單頻弦波平面電磁波（Time-Harmonic Plane Electromagnetic Wave）於一無源勻 質良導體（Source-Free, Homogeneous, Good Conductor）中傳播，導體之絕對介電常 數（Absolute Permittivity）為ε ，絕對導磁常數（Absolute Permeability）為μ，導電 係數（Conductivity）為σ ，單頻弦波平面電磁波之時間角速度（Angular Velocity）為 ω，而且 1 >> ωε σ ；電波傳播常數（Propagation Constant）為 c jk j = + = β α γ ，α 為衰 減常數（Attenuation Constant），β 為相位常數（Phase Constant）， c ck με ω = ， ) 1( ωε σ ε ω σ ε ε j j c + = + = 。請詳細推導證明此導體之集膚深度（Skin Depth, δ ）為 ωμσ α δ 2 1 = = (m)。（10 分）

有一有損耗之傳輸線（Lossy Transmission Line），其終端負載阻抗為 L Z ，傳輸線特徵 阻抗（Characteristic Impedance）為 0 Z ，傳播常數（Propagation Constant）為 β α γ j + = ， α 為衰減常數（Attenuation Constant）， λ π β 2 = 為相位常數（Phase Constant），λ 為波 長（Wavelength），實體長度（Physical Length）為l，從負載端經由傳輸線實體長度l 後所見之輸入阻抗為 ) (l in Z 。 請問輸入阻抗 ) (l in Z 之數學表示式為何？（10 分） 當負載為短路（Short Circuit）時，所量到輸入阻抗 sc in in Z Z , ) ( = l ；當負載為開路（Open Circuit）時，所量到輸入阻抗 oc in in Z Z , ) ( = l ；請詳細推導證明傳輸線之特徵阻抗 oc in sc in Z Z Z , , 0 = (Ω )，（5 分）傳播常數 oc in sc in Z Z j , , 1 tanh 1 − = + = l β α γ ( 1 m−)。（5 分）

電磁波波導（Waveguide）內可以存在不同的傳播模態（Propagating Modes），每一傳 播模態均有一截止頻率（Cutoff Frequency），請問此截止頻率之物理意義（Physical Meaning）為何？（10 分）

天線指向性（Antenna Directivity）與天線增益（Antenna Gain）之關係為何？（10 分）

一獨立之導體球，半徑為b，今在此球殼外塗上一層厚度為d，相對介電常數為 r ε 的介電體。試求其電容為若干？（20 分）

如下圖所示，一長且直的導線平行於一長方形之導線迴路，它們上面均載有電流。 試求： 它們之間的互感為若干？（15 分） 作用於該長方形導線迴路之力大小為若干？吸引力或排斥力？（15 分）

一點電荷Q 位於一大型接地導電平面上方高度為h 處。試求： 在地表面感應之面電荷密度為若干？（10 分） 作用於該點電荷之力大小為若干？吸引力或排斥力？（10 分）

一均勻之電場平面波 ) 6 ( cos 25 . 94 ) , ( z t a t z E x + = ω r r 伏特/公尺在自由空間傳播。 試求： 該平面波之傳播速度（公尺/秒）、角頻率（徑/秒）、及波長（公尺）各為若 干？（18 分） 磁場 ) , ( t z H r 之相量形式表示式。（6 分） 介質中平均功率為若干瓦/平方公尺？（6 分） h x y I1 I2 a b b

兩個無限長之同軸圓柱面半徑分別為r = a 與r = b（b > a），此兩同軸圓柱面上帶 有表面電荷密度分別為ρa 與ρb 之電荷，試求： 空間各部分之電場強度E。（10 分） 若要使得電場強度E 在r > b 區間消失，a、b、ρa 與ρb 之關係為何？（10 分）

空間中兩條平行導線，導線之半徑同為a，兩條平行導線之距離為D（D>>a），試求： 兩條平行導線間每單位長度之電容。（10 分） 兩條平行導線間每單位長度之電感。（10 分）

四方型無損耗（lossless）金屬導波管5 公分× 4 公分，中心填充空氣，試求： 當信號頻率為5 GHz，何種TE 與TM 模態波可傳輸通過？（10 分） 就中，最低模態之波導波長（guided wavelength）為何？（10 分）

圖一表示一傳輸線系統，Z0 為無損耗傳輸線特性阻抗（characteristic impedance）及 負載，傳輸線長度為l，E 為信號源電壓，z 為座標。當開關S 為開路時，傳輸線處 於穩態。S 於t = 0 時關上成為短路，t 為時間。設T 為信號經過整條傳輸線所需時 間。請繪圖（包括電壓大小與重要時間點）表示： 電壓v（ ≦ z = 0, 0 ≦ t 2.5 T）。（10 分） 電壓v（z = l ≦≦ , 0 t 2.5 T）。（10 分）

一垂直極化（perpendicular polarization）均勻平面波（uniform plane wave）從材質 1 至材質2 以斜角入射（oblique incidence）於平面介面，介面兩邊之介電係數 （permittivity）及導磁係數（permeability）分別為ε1 = ε0，ε2 = 2.56 ε0，μ1 = μ2 = μ0。 ε0 及μ0 分別為空氣之介電係數及導磁係數。如果入射角θi = 30°（入射角為介面法 線與平面波進行方向之夾角），試求： 反射係數（reflection coefficient）。（10 分） 穿透係數（transmission coefficient）。（10 分） S Z0 2Z0 l Lossless Z0 z 0 E + - 圖一 + + + - - - v(0, t) v(z, t) v(l, t)

一具靜電電荷量Q 之點電荷位於一中空金屬球體之中心，該中空金屬球內圓半徑為 a，外圓半徑為b，試求： 在0 < R < a、a < R < b 及R > b 等區域之電位（electric potential）。（15 分） 該金屬球內圓表面及外圓表面之電荷密度分布。（5 分）

一段長為2 L 之長直導線上載有電流I，試求在該導線之等分平面上，且距離該導 線中心點為r 之點的磁通密度Bv 。（10 分） 邊長為w 之正方形迴圈（square loop）中載有電流I，試求在該迴圈中心之磁通 密度。（10 分）

在一自由真空且source-free 的空間中，有一time-harmonic 平面電磁波，其電場 t) ,r( E v v 及磁場 t) ,r( H v v 可分別表為 t jω r kj- e e E0 v v v ⋅ 及 t jω r kj- e e H0 v v v ⋅ ， 0 Ev 及 0 Hv 為常數向量，k v 為波數向量，rv為位置向量，應用Maxwell 方程式，證明：  H ωμ E k 0 v v v = × 。（10 分）  0 E k = ⋅v v 。（10 分） ω為該平面波之角頻率， 0 μ 為自由真空中之permeability。

一無損耗（lossless）之傳輸線，其長度為1.5 (m)且小於1/4 波長，當負載為開路 （open circuit）或短路（short circuit）時，其輸入阻抗（input impedance）分別 為-j54.6(Ω)或j103(Ω)： 試求該傳輸線之特徵阻抗值及傳輸常數。（15 分） 調整其傳輸線長度，使得短路負載在輸入端形成一個開路，試求此時之傳輸線長 度。（5 分）

請證明在一平行平板導波管（parallel-plate waveguide）中傳播的TM1 waves，可解析 為在該兩平行金屬板中斜向入射及反射平面波合成（superposition）的結果。（10 分） 六、試述Friis Transmission 公式及其應用情境，並證明之。（10 分）

, , ≤ ≤ z y 一、自由空間有一電位分布 (V)，試求： 在位置(0,1,1)之電場強度E 及電荷密度。（10 分） 在正方體0

2 ) , , ( yz xy z y x V − = x 內所儲存之電能。（10 分） 二、一長同軸(z 軸)電纜有實心之內導體及甚薄之外導體，半徑分別是a 及b。假設電流 I (A)沿內導體朝z 方向流動，再沿外導體流回。求： 在內導體及二導體間之磁通密度B。（10 分） 單位長度外電感。（10 分）

法拉第定律指出感應電動勢來自磁通量變化率，亦即 ∫ ⋅ − = ds dt d B ) / ( emf ；磁通量 之變化可能來自運動或磁場隨時間變化，請寫出二者分別對應之數學式。（10 分）

自由空間有一電磁波 Φ(r) 0 ) ( j e− = E r E (V/m)， 是常數向量， 是相位，r 是位 置向量。 若此波是平面波，其條件為何？（5 分） 承上，此波之行進方向為何？（5 分） 0 E ) Φ(r

一段1/4 波長傳輸線之特徵阻抗為50Ω，若負載阻抗為100Ω，若在負載端之電壓是 4V，計算在輸入端之阻抗，電壓。（20 分） 六、有一尺寸為 之中空矩形金屬波導操作於15 GHz，其軸向磁場 2 cm 2 5× ) exp( ) 50 sin( ) 40 sin( z j y x H z − π π β = (A/m)，(x,y,z)單位均為(m)，求算： 操作模態，相位常數β 。（10 分） 七、某天線之輻射磁場為 ) exp( sin /40 ( 0 r j r) jI β θ φ − = a H (A/m)，其中 (A)是饋入電流， 0I r (m)是距離，計算其輻射電阻。（10 分）

在空氣中兩個無限長度之同軸圓柱面其半徑分別為r＝a與r＝b（b > a），並分別帶 有σsa與σsb之表面電荷密度。 試求在r > b 區域之電場強度E。（10 分） 若要r > b時電場強度E=0，則σsa與σsb的關係為何？（10 分）

一電流I 流經一無損耗同軸纜線之內導體線並經外導體線回流。內導體線之半徑為 a，外導體線之內半徑與外半徑分別為b 與c（其中b >> (c-b)）。假設在內導體線 與外導體線之間為空氣，試求在0≦r≦a，a≦r≦b，b≦r≦c，r≧c 等區域 之磁通密度B。（20 分）

一有限長度的傳輸線，須有三個參數（parameters）方足以描述此傳輸線之特性，試 問此三個參數為何？（10 分）

兩條特性阻抗為Z1及Z2之無損耗傳輸線相接。有一諧波信號從Z1傳輸線入射至Z1傳 輸線與Z2傳輸線之介面，試問穿透至Z2傳輸線之功率與入射功率之比率（ratio）為何 ？（10 分）

在一a b（a > b）之矩形金屬波導管內（a，b分別為波導管內壁之長與寬）存在一 TE × 10模態波，其電場強度為 0 y β − π = E ，β為傳播常數。假設金屬波導管 內部為空氣，金屬波導管無損耗，試求： 波導管內對應之磁場強度H；（10 分） 波導管內之平均功率密度；（10 分） 波導管內之傳輸功率。（5 分） 六、兩個等量、同相位、全向之點輻射源相隔一波長。試求： 功率輻射場型並繪圖表示；（10 分） 方向增益（directivity）。（5 分）

兩個半徑分別為R1和R2的球形導體以一條金屬細導線連接，假設兩個導體球相距甚遠 使得球形導體上的電荷分佈可以視為均勻分佈。若兩個導體球的總電荷量為Q，試求 ： 兩個球形導體上個別的電荷量。（5 分） 兩個球形導體表面的電場強度。（5 分）

有一接地金屬球，其半徑為b，一正電荷Q 距離該金屬球心為d（d＞b），試問正 電荷Q 與金屬球相互吸引還是排拒？其作用力大小為何？（10 分）

靜磁場的兩個重要公式，  ，表示磁通密度B 的散度為零，試申述其物理意義。（10 分） 0 = ⋅ ∇B  ，其中電流密度J 須滿足何種條件？試申述此一條件之物理意義。 （10 分） B 0 µ = × ∇ J

在xy 平面上，有一條N 匝導線的長方形迴路並串聯一個電阻R，該迴路於x 方向的 長為p 及y 方向的寬為h，左下角位於座標原點，迴路中通過的磁通密度為 ，試求迴路電流為何？（10 分） ) β ω cos( ˆ 0 x t B az − = B

試論述均勻平面電磁波在低損耗介電材料（Low-Loss Dielectrics）與良導體（Good Conductors）中之傳播特性有何不同？（10 分） 六、一有損雙導線傳輸線其單位長度串聯電感為L，單位長度串聯電阻為R，單位長度 並聯電容為C，單位長度並聯電導為G， 試繪出該傳輸線一小段∆z 之等效電路圖，並藉以推導時間諧波（Time Harmonic） 傳輸線方程式。（10 分） 求解電壓相量V(z)及電流相量I(z)。（5 分） 推導傳播常數γ及特徵阻抗Z0與傳輸線分佈式參數（R，L，G，C）的關係。（5 分） 七、試證明任意橫截面之均勻波導管內，其電波傳播之相速度與群速度之乘積等於光速 的平方。（10 分） 八、已知置於原點之微分電流源 ，於自由空間之遠場電場強度以球面座標系可表示 為 l Id azˆ θ sin β 30 ˆ β θ R j e R Id j a − = l E ，其中β 為波數。考慮中間饋入之細長線性天線，天線長 度為半波長，假設天線電流為弦波分佈，試求此一天線之有效長度。（10 分）

令電位為 0 ,) V ( / 1 ) , , (

   r r z y x V ，其中 2 2 2 z y x r    是到原點的距離，求 位於直角座標 ) 0 ,1,1( 之電場強度E  。（10 分） 二、二導體位於同心球面 2 / 1  r 及 1  r (m) 處，其電位分別為 V 25  ，其間材質之介 電常數為2.5 且無淨電荷，求在 4 /

 r (m) 之電通密度D  。（10 分） 三、自由空間中一沿z軸之無窮長導線上有 z 方向電流1I (A)： 求產生於 ) , , ( z y x 之磁通密度 。（10 分） 一位於xz 平面正方形導線之相對頂點為 ) 0 ,0 , (a 及 ) ,0 , 2 ( a a ，其迴圈電流 2I 於靠近 z軸一邊與1I 同向，若 1 2 I I  ，求此正方形所受磁力大小及方向。（10 分）

時變磁位可表成 ，其中 為電流密度，c 為光速。 若 隨時間呈角頻率為之弦波變化，其相量（phasor）為J  ，推導出磁位相量A  以 J  表示之公式。（10 分）

自由空間中磁場為 A/m ) 10 75 cos( ) cos( ) 15 sin( 2 ) ; , , ( 8t z x a t z y x y      ，求。 （10 分）

一無損傳輸線之特徵阻抗為50 歐姆，波速是 m/s 10 2 8  ，接到一負載 L Z ，若已知駐 波比是2，且在負載處之反射係數為正實數，則： 負載在史密斯圖的橫座標及縱座標為何？（5 分） 當頻率為100 MHz 時，假若在負載之前最短距離d，輸入阻抗有最小值 min Z ，求 d 及 min Z 。（10 分） 負載阻抗之大小為何？（5 分）

一空氣圓形波導之半徑為b，其中心軸為z-axis，求其TEM 模態解，或證明TEM 模態解不存在。（10 分）

一天線之輻射磁場為 A/m sin 2     r e I a H r j      ，其中I 是饋入電流，是長度，是 波數，是波長，r 是與原點距離，求其在E 平面之半功率波束寬。（10 分）

兩個均勻帶電、長度均為L 的同軸圓柱殼，內殼半徑為a、帶電量為Q，外殼半 徑為b、帶電量為-Q，試求兩圓柱殼間的電場。（7 分） 試求上小題兩圓柱殼間的電位。又此系統之電容為何？（7 分） 若b＝3a，今將此圓柱形電容器兩圓柱殼間之一半（a < r < 2a）填塞以介電常數 為K 的電解質，則其等效電容又為何？（6 分）

如圖將一電阻可忽略的光滑導體框置於一均勻磁場中，磁場垂直導體框面（射向紙 內），今將一電阻為R 的另支導體棒，置於導體框上，並分別以速度v 及2v，同樣 從位置AB 滑動至 B A ′ ′ ，如圖所示。試問在這兩次的滑動中，通過電路的電量比及 電路中產生的熱量比各為若干？（20 分）

設在某種無邊界理想均勻介質（µ ,ε ）中，向任意方向 0ˆn （ 0ˆn 為單位向量）傳播的 平面波可寫為： ) ˆ ( 0 r n k t i me E E ρ ρ ρ ⋅ − = ω ，式中 µε ω = k ，µ 為介質中的磁導率，ε 為介質 中的介電係數， m E ρ 為常向量，試證明： 0 ˆ0 = ⋅n Em ρ 。（10 分） ε µ ) ˆ ( 0 E n H ρ ρ × = 。 （10 分）

設一各向異性的介質，對不同旋向的圓偏振波呈現磁導率不同而介電係 數相同，即 0 ε ε = 。 lµ （左旋）＝ r µ 4 （右旋）＝ 0 4µ ，現有一在自由空間傳 播的線偏振波，它兩個電場分量各為 ) / (ˆ) 10 2 cos( 10 10 2 m V i kz t Ex − × × = − π 及 ) / (ˆ ) 10 2 cos( 10 10 2 m V j kz t Ey − × × = − π ， j i ˆ ,ˆ 各表沿x 及y 軸方向的單位向量，設此 線偏振波在該各向異性的介質中傳播，試求當此線偏振波之合成電場的偏振面 與正y 軸方向重合時所走的最短路程應為若干？（20 分）

一矩形波導，傳輸TE10 模式，波導橫截面尺寸為： ) ( 30 70 2 mm b a × = × ，工作頻率為 ) ( 10 3 3 z MH × ，試求： 波導的截止波長 c λ 、波導波長 g λ 、相速（phase velocity） p v 及群速（group velocity） g v 。（16 分） 又此波導是否還可能傳輸那些模式的電磁波？（4 分） A A′ B B′

球形電荷其電荷密度以 )] / ( 1[

2 b R o − = ρ ρ 分布存在於 b R ≤ ≤ 0 之區域內，而在這電 荷分布外包圍有一個同心導體球殼，球殼之內半徑為 ) ( b R R i i > ，外半徑為 o R 。 求在 b R ≤ ≤ 0 處之電場強度Ev 。（5 分） 求在 i R R b < ≤ 處之電場強度Ev 。（5 分） 二、在兩個介電常數為 1 r ε 及 2 r ε 之理想介電質界面上，極化向量Pv 之切線方向分量和法 線方向分量的邊界條件為何？（10 分）

計算在均勻磁化的圓柱狀磁性物質之軸上某點 ) ,0,0 ( z P 之磁通密度Bv 。此圓柱狀磁 性物質之半徑為b，長度為L，其底面位於xy 平面上且其底面圓心在坐標之原點， 而軸向的磁化向量為 o zM a M v v = 。（20 分）

試以微分型式Maxwell 方程式推導得到向量磁位Av 的非齊次波的方程式（nonhomogeneous wave equation for vector potentialAv ）。（10 分）

求在介質為良導體（ ωε σ / >> 1）中傳送之平面電磁波的波阻抗（wave impedance） c η 。（5分） 並以此波阻抗說明為何在良導體傳送之平面電磁波，磁場強度之相位 會落後電場強度 ° 45 ？（5 分） 六、一非損耗性傳輸線，長度為1.5(m)，此長度是小於四分之一波長，在輸入端處，其 開路阻抗及短路阻抗分別為-j54.6 (Ω)及j103 (Ω)。 求該傳輸線的特性阻抗Zo。（10 分） 在工作頻率不變下，求長度為原來兩倍之短路傳輸線的輸入阻抗Zi。（10 分） 七、以在邊長為a 及b（a > b）的矩形波導管中傳播之橫磁波TM11 論，證明其具有色散 （dispersion）現象。（10 分） 八、證明一個基本磁偶極（magnetic dipole）在遠場處之輻射電磁波為橫電磁波（TEM wave, transverse electromagnetic wave）。（10 分）

如圖一的結構，若D1 = 3ax – 4ay + 5az C/m2, 求下列各值。（每小題2 分，共10 分） 法線方向之Dn2 D2 兩區的能量密度 D2 與az 向量的夾角 兩區電通量密度的比值D2 / D1

簡要回答下列有關靜電場邊界值之問題。（每小題5 分，共10 分） 何謂邊界值問題？ 為何在交界面處之靜電位的值必須為連續？

一條沿著z 軸方向放置，位在z1 到z2 之間的長直導線，導線上面通有直流電流I， 求離導線垂直距離為r 處之B 值。（20 分）

寫出時域下，微分形式之Maxwell 方程式。（4 分） 推導出在線性、各向同性（isotropic）且非均勻（inhomogeneous）材料中，電位 函數之波動方程式。（6 分）

一沿著+x 軸方向傳播之平面波由兩分量組成，其中一分量為 z 1 a E = ( ) x t β ω − cos 16 ，另一分量為E2 = ay 16 sin( x t β ω − )，求下列各值。 此平面波之極化（4 分） E（2 分） H（2 分） 平均功率向量Pav（2 分） z y ε r1 = 2 ε r2 = 5 材料1 材料2 圖一 94 年專門職業及技術人員 高等考試建築師、技師考試暨普通考 試不動產經紀人、地政士、記帳士考試試題 類 科： 電子工程技師 全一張 （背面） 六、 試畫出一段傳輸線之R、L、C、G 等效電路。（5 分） 推導出傳輸線方程式。（15 分） 七、一矩形波導之橫截面大小為a × 2a，以主模態之截止頻率（cutoff frequency）為單位 ，計算並由小到大列出下列模態之截止頻率：TE01、TE10、TE11、TE02、TE20、 TM11、TM12、TM22。（10 分） 八、簡要回答下列有關天線與輻射之問題。（每小題5 分，共10 分） 何謂天線之輻射場形（antenna pattern）？ 為何在天線近場區的場又稱為準靜電場（quasi-static fields）？

圖1 中的金屬管其四周的電位值如圖中所示，求金屬管內部的電位分布。（20 分）

判斷下列各電場的極化狀態。（每小題4 分，共20 分） E = azE0cos( t- y) + axE0sin( t- y) E = ayE0cos( t+ x) + azE0sin( t+ x) E = axE0cos( t- y) - azE0sin( t+ y) E = azE0cos( t- x) - ayE0sin( t- x+ /4) E = axE0cos( t- y) + azE0cos( t- y)

一均勻平面波在材料1 中行進，斜向入射到與材料2 交界的平面介面，介面位於z = 0 處，且兩種材料均為無損耗性的介質材料，當入射波為平行極化時，試推導出反射係 數及透射係數。（20 分）