高等工程力學考古題｜歷屆國考試題彙整

如圖示意，平行六面體（3 m 1m 2 m   ）的變形效果為在角落的A 點移 至A點（虛線），已知A點的座標為（3.0006, 0.9997, 1.9996）（m），此為 小變形假設適用的情形，試述下列關於應變狀態（state of strain）的問題： 估計在A 點位置的六個應變分量（正向應變εx、ε y、εz ，剪應變γxy、 γxz、γyz ）。（20 分） 若給定上述六個應變分量，請論述如何決定出主軸應變值（principal strains）？（5 分）

如圖所示，四分之一圓弧的曲型細圓桿安裝於xz 平面，固接於B 點後 施加一個垂直安裝面的集中力P 於A 端，P 200 N  （朝y 方向）。已 知曲率半徑R 100 mm  ，圓桿直徑5 mm、E 值200 GPa、v值0.3。 試論述下列關於斷面內力與變形的問題： C 點位置在曲型細圓桿中間，亦即圖示 45  ，分析C 處斷面的彎 矩（M）與扭矩（T）分別為何？（10 分） 計算A 點下移量時，若僅考慮彎矩與扭矩之效應，分別標示為 M 、 T ，兩者比值（ M T   ）為何？（15 分） y C 1 m 2 m 3 m B z x A A B y x C A 200 N D R z 90 

如圖示意，重量為1000 N 的圓桶，靜止卡在高度為75 mm的台階。圓桶 之連接桿可選擇以推（圖a）以及拉（圖b）的方式施力，圓桶直徑0.6 m。 試述下列關於力平衡的問題： 假設連接桿施力的角度維持與水平夾角30，亦即圖示角度，使圓筒 恰抬高時的力量為F，推及拉兩種方式施力所計算的F 值分別為何？ （15 分） 若連接桿與水平的夾角標示為，分析最省力情況（使F 最小）時的 角度為何？（10 分）

如圖所示，水平懸臂梁固接於A 點，載重作用前在中跨C 點以未變形彈簧K 連接。於自由端B 處施加P 4 kN  向下集中力後，計算B 點位移量。 已知梁 2 EI 5000 kN-m  ，L 10 m  ，彈簧 3 K 6 / 30 kN/m EI L   。（25 分） 30 30 F F 0.6 m 75 mm （a） （b） K 30 kN/m  A 4 kN B C 5 m 10 m

已知一等向均質之彈性體具有如下式的位移函數（displacement functions），式中（u, v, w）分別代表（x, y, z）方向的位移函數，式中長 度單位為m ，代表10-6。 ( , , ) (2 ) ( , , ) ( , , ) ( ) u x y z x y v x y z z w x y z z y          請利用小變位理論（small deformation），計算彈性體中任意點位的正 向應變（normal strain） , , xx yy zz    （ ）與剪應變（shear strain） , , xy xz yz    （ ）。 （10 分） 此彈性體中有一微小立方體，其三維應力如圖所示。若此三維應力之 值如下式所示（式中單位為MPa），請計算作用於ABCD 斜面上的正 向應力（normal stress）與剪應力（shear stress）之大小。（15 分）                        18 30 0 30 36 27 0 27 36 zz zy zx yz yy yx xz xy xx          T MPa  x y z A B C D xx xy xz yy yx yz zz zy zx a a a

如圖所示為一棟二層樓剪力屋結構，圖中結構可假設為具有剛性樓板之 集中質量模型。圖中，m 為樓層質量，CG 柱長2L，其餘柱長為L，不 計樓板厚度。各柱之彈性模數E、斷面積A 與斷面慣性矩I 為常數且皆 相等。令(12EI / L3) = 2000 kN/m，質量m = 100 tons。 若令x1 與x2 分別為一樓頂板及二樓頂板相對地表之位移，請以x1 與x2 為自由度，寫出此結構系統自由振動下的矩陣運動方程式，不考慮結構 阻尼。請列明方程式中質量矩陣[M]及勁度矩陣[K]之內容。（10 分） 請以上述質量及勁度矩陣，計算此結構的第1 及第2 水平自振頻率。 （15 分）

如圖(a)所示，具均勻斷面之L 型剛性構架ABC 位於x-z 平面上，構架之 單位長度重量為60 kN/m，其支承A 與C 為球窩支承，BD 為繩索連接， D 點位於y-z 平面上。若繩索具有如圖(b)所示之雙線性力與變形（F-） 關係，請計算繩索之內力T 與其變形前之原始長度L0。令繩索降伏力 Fy= 100 kN，降伏前勁度k1=1000 kN/m，降伏後勁度k2= 0.2 k1。（25 分） 圖(a) L型剛性構架及繩索 圖(b) 繩索BD力與變形(F-)關係 m m 2L L x2 x1 A B C D E G F 0.8 m 1.1 m 1.6 m 2.4 m z y x C B A D 1.6 m T (繩索內力) (繩索變形) k1 k2 Fy

如圖所示為10 跨之桁架結構系統，a 點支承為鉸支承（hinge），k 點為 滾動支承（roller），該滾動支承可避免垂直向運動。各桿件之彈性模數 E、降伏應力y、斷面積為A、斷面慣性矩I 皆均相同。此桁架於中央處 受一集中動態簡諧載重P(t)=P0sint，其中P0 為振幅，(rad/s)為 激振頻率。請計算使桁架不發生張力降伏的最大簡諧載重振幅，以及使 桁架不發生挫屈破壞的最大簡諧載重振幅。（25 分） P(t)= P0 sint L x 10 = 10 L L a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v

如圖一所示，材料均勻的矩形斷面懸臂梁自由端受垂直力P 作用，梁長 度L 且深度呈線性漸變。試述下列關於彎曲行為的問題；（彈性模數E） 計算發生最大彎曲應力的位置及應力值。（10 分） 受到P 作用前後，自由端傾角的變化量。（15 分） 圖一

圖二(a)所示為一個矩形斷面梁（h × w × L）置放於可左右移動的大型平台 上，由於長度方向尺寸影響忽略，其行為可以簡化為h × w之方塊在X-Y 平 面之二維運動問題。假設接觸面有乾燥摩擦力（ߤ௦= ߤ௞= ߤ），w = 0.2 h， 請試述下列關於摩擦力作用下的平衡問題；（重力加速度以݃= 10 ݉/ݏଶ計） 假設平台以加速度振幅0.3 ݃在X 方向來回簡諧運動，過程中矩形斷面 不會發生傾倒趨勢，請計算符合此條件下摩擦係數ߤ的條件。（5 分） 假設摩擦係數ߤ= 0.15，且平台移動有如圖二(b)之3 秒鐘速度（ẋ）衝 程。若v=1 ݉/ݏ，圖二(a)所示A 與B 間代表接觸面，請分析A 接觸 面上摩擦力向量fx 在這3 秒的歷時反應。（15 分） 續上小題，請分析3 秒末A 與B 兩點間之相對位置。（5 分）

圖三所示AB 桿於桿頂受偏心軸力P 作用（偏心量e），桿底為鉸支輔以 旋轉彈簧（ߚோ）支撐，若偏心量e 很小且小變形理論適用。請試述下列 關於臨界載重之問題； 假設AB 桿為完全剛性且e≠0，計算載重P 與AB 桿旋轉角之關係， 並說明此系統維持穩定平衡下，P 值之條件。（10 分） 假設AB 桿之撓曲剛度為EI且e= 0，計算臨界載重ܲ௖௥。此小題 ߚோ= (πEI) ൫√3ܮ൯ ⁄ （15 分）

薄壁箱型斷面尺寸如圖四所示，假設斷面材料性質G，斷面預期受到之 扭力T、垂直剪力V、橫向水平剪力H。請試述下列關於剪力流之問 題；（作答過程可維持參數符號或以下列代表值進行計算，G=10 GPa、 T=1 kN-m、V=H=1 kN、h=1 m、t=10 cm） 斷面僅受到圖四(a)扭力時，計算剪力流分布趨勢、方向及大小。（5 分） 斷面僅受到圖四(b)垂直剪力時，計算剪力流分布趨勢、方向及標示出 最大值位置。（10 分） 斷面僅受到圖四(c)水平剪力時，決定剪力流分布之型態。（本小題作答 可不呈現數值，但需輔以說明並標示出正確方向與變化趨勢）。（10 分）

xn  ， 1 2 yn  ， 1 2 zn  的平面通過該點，請計算作用在此平面上之總 合力（總力）、正向力與剪力。（25 分） 對梁進行載重試驗時，為獲得梁表面某一位置的應變分量 xx 、 yy 及 xy ， 將電阻式應變片（strain gage）分別貼在該點位置的x 方向（假設方向為 0 度）、與x 成60方向和120方向上。若各應變片所量測得到的應變值 分別以 0 、 60  、 120  表示，請計算 xx 、 yy 、 xy  。（25 分） 有一z 方向長度l 的矩形截面懸臂梁，上端固定如圖所示，矩形懸臂梁 由等向性材料組成，且梁的楊氏彈性模數 E  、柏松比 v 、密度   。 若無其它載重作用，請計算矩形懸臂梁因自重在x、y、z 方向產生的位 移 ( , , ) x y z u u u u  。（25 分） z y y x O O l 矩形截面懸臂梁，跨度l，斷面寬度1，高度h，有三角形均佈載重 0q 作 用如圖所示。在不考慮自重下，由材料力學計算的應力分量為：

0 3 2 xx x y q h l   ， 2 2 2 0 3 3 (

) 4 xy q x h y h l    假設斷面之剪應力為線性分布，請問 yy  ？（25 分） 【提示：斷面之剪應力為線性分布，在固定端(l, 0)的 0 1 2 yy q   】 O 1 h q0 y x l

有一材質均勻之正方形板位於xz 平面上，其尺寸為8a 8a  ，a 10 cm  ， 板內含有一4a 4a  之正方形開口。此板重W（作用於y 軸負方向）， 由位於A(0, 0, 0)、B(α, 0, 8a)、C(8a, 0, β)三點且平行於y 軸方向之三根 繩索支撐其重量。如α β 20 cm   且每根繩索所能承受之最大張力為 100 N，試求此板重心之座標及板之最大重量W 為何？（25 分）

有一機構如圖所示，此機構於A 點為鉸接，於B 點可在垂直面滑動且與 垂直面之摩擦係數 0.3  。如Q 200 N  ，且B 點維持不移動，試求P 之 最小值為何？於P 之最小值時，A 點之水平反力及垂直反力為何？B 點 之水平反力及垂直摩擦力為何？（請註明A 點及B 點反力與摩擦力作 用之方向）（25 分）

有一圓形斷面之懸臂梁，梁長度L 4 m  ，斷面半徑r 10 cm  。此梁於自 由端受一集中載重P，P 位於yz 面且與y 軸之夾角為。如P 1kN  ， θ 30  ，試求固定端A 點之應力 x 、 y 與xy  ，並將此3 應力之值及 作用方向繪製於xy 面之應力元素上。（25 分） 提示：

y πr I 8  ， 4r y 3π  四、有一矩形梁AB，橫斷面高度h，A 點為鉸支撐，B 點為位移性彈簧支 撐。此梁受均佈載重q 且梁之初始溫度為 o T 。之後梁上緣之溫度升高至 1T ，梁下緣之溫度升高至 2 T ， 2 1 T T  ，且溫度沿梁y 方向呈線性變化。 設梁之彎曲勁度為EI，熱膨脹係數為，彈簧係數 3 k EI / L  。試求梁之 側向位移函數v(x)及B 點之側向位移（請註明B 點側向位移之方向）。 （25 分） 提示： 2 2 1 2 α(T T ) d v(x) M(x) h EI dx    z

如圖1直角座標x-y-z 所示，某材料承受外力後，其內某立體元素 （cubic element）所受三軸應力矩陣 ij 如公式⑴所示，式中 A 為未知數 （ A> 0  ），此材料降服應力（yield stress） y 210  MPa，假設此立體元 素之最大剪應力（maximum shear stress） max  已達到材料之降服剪應力 （yield shear stress） y，試求解 A 值之大小。（25分） xx xy xz A ij yx yy yz zx zy zz 0 0 0 80 45 0 45 90                                 MPa ⑴ 圖1 z 1000 mm 800 mm 200 mm A B C 200 mm W 5 kg b = 25 mm h= 50 mm (b) 梁斷面 (a) 懸臂梁ABC r = 30 mm h 球桿 球(直徑d = 60 mm) m

如圖2所示，懸臂梁ABC 之矩形斷面為25(b)50(h) mm2、長為1000 mm 及彈性模數（Es）為210 GPa，今有一物體W 質量為5 kg，自梁B 點上 方200 mm 處往下掉落，假設此物體W 落下與懸臂梁ABC 撞擊後，即 與懸臂梁ABC 緊密粘結不再脫離，也假設懸臂梁ABC 之自重可忽略不 計，試求解下列問題（重力加速度G 為9807.0 mm/sec2）： 物體W 撞擊後，造成懸臂梁ABC 產生之最大應力為多少？（15分） 物體W 撞擊後，造成懸臂梁ABC 在B 點產生之最大振幅（amplitude） 及懸臂梁ABC 振動頻率（frequency）各為多少？（10分） 圖2

如圖3所示，球半徑r 為30 mm，質量M 為0.2 kg，假設球與桌面之靜與 動摩擦係數均為0.03，球桿中心離桌面高度為h，依水平方向往右撞擊 球，球心軸之慣性矩 2 0 2 5 I Mr  ，重力加速度G = 9807 mm/s2，試求解下 列問題： 假如球桿高度h 為30 mm（即通過球心），球被撞擊後之起始速度為 750 mm/s，則球會滑動多少距離後才開始滾動？（15分） 假如此球一被撞擊後即開始滾動（純滾動），則球桿最小高度h 應為多 少？（10分） 圖3 r h 球（直徑d = 60 mm） 球桿 懸臂梁ABC 梁斷面 15 m 6 m 4 m 3 m 2 m P = 60 kN 2 m q = 6 kN/m MA = 100 kN-m A B C D E F G

如圖4所示，長梁ABCDE由梁ABC與梁CDE組成，在C點鉸接（hinged）， A 點為滾支承（rolled support），承受一彎矩MA = 100 kN-m，G 點承受 集中載重P = 60 kN，E 點為固定端，DE 段承受線性變化載重q = 6 kN/m， 假設梁ABC 與梁CDE 之材質及斷面均相同，忽略梁自重，試求解下列 問題： 繪製此長梁ABCDE 之剪力圖（shear diagram）。（15分） 繪製此長梁ABCDE 之彎矩圖（moment diagram）。（10分） 圖4

圖一中，彈簧之彈簧常數 20 = k kN/m，彈簧被壓縮210 mm。設所有接 觸面的最大靜摩擦係數 35 .0 = s µ ，但滾輪（roller）無摩擦力，略去楔形 物A 及物體B 的重量。求欲使楔形物A 向右移動之最小外力P。（25 分） 圖一

圖二中，圓管（tube）之軸向勁度為 tk ，長度為L，熱膨脹係數為 t α 。管 內有彈簧（spring），彈簧之上端有剛性蓋子（略去蓋子重量），彈簧之 彈簧常數為 sk ，熱膨脹係數為 s α ，彈簧原來長度為 ) ( 1 1 L L L > 。將蓋子裝 上時，須將彈簧壓縮 ) ( 1 L L − = δ 之位移。設蓋子裝上後，再使圓管及彈 簧皆受到溫度上昇T ∆ 作用。求最後平衡位置時，彈簧之內力 sF 及圓管 之內力（軸力） tF ；並求圓管的伸長量 tδ 。（25 分） 圖二 10o A B k P 滾輪 蓋子 彈簧 圓管 1 ( , , ) s s k L α ( , , ) t t k L α L 1L 滾輪 蓋子 彈簧 圓管 10° M A B y z 鋁 鋼 sh ah 50mm x y

圖三之懸臂梁AB，受到彎矩M 作用，梁之截面為由鋁及鋼所構成的複 合材料。假設鋁及鋼的楊氏模數分別為 70 = a E GPa， 210 = s E GPa；鋁 的容許應力 40 ) ( = allow a σ MPa，鋼的容許應力 100 ) ( = allow s σ MPa。若欲 使鋁及鋼的應力同時達到容許應力，則鋼及鋁的高度比 = a s h h / ？（25 分） 圖三

梁之截面為中空箱形，如圖四所示，其中 300 = h mm， 260 1 = h mm， 150 = b mm， 110 1 = b mm。假設此梁為理想塑性（perfect plasticity）材 料，其降伏應力（yield stress） 400 = y σ MPa，求梁之降伏力矩（yield moment） y M 。若只在梁翼達到塑性，但梁腹為彈性，則此時之力矩 = M ？ 且曲率半徑 = ρ ？（25 分） 圖四 h 1h b 1b 鋁 鋼 50 mm

如圖1 所示，一個均質圓球，質量為m，半徑為R，其對質心c 點之質量 慣性矩為

5 2 mR ，沿一個傾角為α 之表面足夠粗糙之斜面滾下，求取作用 於此球的摩擦力F 及圓球與斜面無相對滑動（純滾動下之摩擦係數 s μ ） 的條件。（25 分） 圖1 二、桿AB 和BC 之質心均在其中點。若所有之接觸面皆為光滑，且桿BC 之質量為100 kg，請用虛功法求取AB 桿為圖2 中之平衡狀態時的適當 質量。（25 分） 圖2 B C 0.75 m 1.5 m 1 m 2 m A α mg R c α

矩形斷面之簡支梁，如圖3(a)所示斷面高為h，寬為1。設材料的簡化拉 伸曲線如圖3(b)所示。若定義 f u ε ε = α ， f t ε ε = η ，請求取當最大彎矩 斷面的最大拉應變 tε 超過 f ε 時，該斷面之中性軸的位置。（25 分） 圖3

圖4 所示的梁結構中A、B 點為鉸接點，C 點為固定端，彎曲剛度為EI， 請求轉角θA、θD、θB 左、θB 右和撓度yD、yB。（25 分） 圖4 B C D a a a x y A P 1 h (a) (b) u ε f ε P σ f σ ε

一長度為L 的均勻桿件，B 點鉸承，C 端以繩索拉住，如圖一所示。若此桿件每單 位長度的質量為m，當把C 端繩索突然切斷的瞬間，試求此時： B 點的反力。（5 分） 桿件最大正彎矩的大小及位置。（10 分） 桿件最大負彎矩的大小及位置。（10 分） 圖一

一均勻斷面長度為L 的懸臂柱AB，其EI 值為常數，在B 點受到軸向載重P，如圖 二所示。假設其變形曲線方程式為 2 ax y = ： 試說明此變形曲線方程式假設的合理性。（5 分） 試依此假設的變形曲線，以能量法求此柱的臨界載重Pcr。（限採用能量法，其他方 法不計分）（15 分） 試比較此柱「依此變形曲線求得的臨界載重」與「臨界載重的精確值」之間的關 係，並說明其原因。（5 分） 圖二 A B C L/4 3L/4 x P B A L y 106年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 全一張 （背面） 等 別：高考二級 類 科：土木工程 科 目：高等工程力學（包括材料力學）

圖三所示剛架的桿件皆為均勻斷面，若梁的塑性彎矩（plastic moment）為MB，柱的 塑性彎矩為MC，在圖示的載重下： 若此剛架為強柱弱梁設計，亦即MB < MC，試求此剛架的極限載重PL（limit load）， 並繪出其對應的破壞機構（collapse mechanism）。（12 分） 若此剛架非強柱弱梁設計，且MB = MC，試求此剛架的極限載重PL，並繪出其對 應的破壞機構。（13 分） 圖三

圖四均勻斷面的懸臂梁AB 與其下方均勻斷面的懸臂梁CD 緊靠但並未連結在一起， AB 及CD 兩梁的斷面完全相同，且EI 值為常數，在圖示的P 力作用下： 試求AB 及CD 兩梁在D 點的壓力X。（15 分） 試證明P 力作用下，除了固定端外，AB 及CD 兩梁之間僅D 點相接觸。（10 分） 圖四 P P L L L X X P B A C D L/2 L/2

如圖所示，三個應變規A，B，C 黏貼於一試體表面，其讀數分別為 n c b a = − = = ε ε ε ， n 為一常數。試體之楊氏模數為E，波松比為v。試求：  xy y x γ ε ε ， ， 。（10 分） 最大正應力 max σ 及最大剪應力 max τ 。（15 分）

如圖所示，ABCDF 為桁架，於F 點受垂直力 P 3 的作用。各桿件之楊氏模數均為E， 降伏應力為 y σ ，長度為L，面積為a，慣性矩為I。試求： 各桿件的軸力（請標示張力或壓力）。（15 分） 桁架不發生張力降伏之P 的最大值。（5 分） 桁架不發生挫屈破壞之P 的最大值。（5 分） P

L L L 105年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 代號：22130 全一張 （背面） 等 別：高考二級 類 科：土木工程 科 目：高等工程力學（包括材料力學） 三、如圖所示，一木板重量為W，高為h，長為7h，由三條繩索拉住。若重力加速度為g， 試求E 繩切斷瞬間： 木板質心的加速度。（10 分） AB 及CD 繩的拉力。（15 分）

如圖所示，A 是固定支承，B 為垂直力P 的施力點，C 及D 是鉸接，AC 及CD 具相 同的截面積a，慣性矩I 及楊氏模數E，試求C 點之撓度： 若忽略CD 桿件。（10 分） 若不忽略CD 桿件。（15 分） L L L A D C B P

撓曲剛度皆為EI 之梁ABC 及梁CDE，在C 點以鉸接連接；B 點有彈力常數 3 b EI k = 之彈簧支撐。在DE 段受到大小為q之均佈載重作用，如圖一所示，求E 點之撓度 E δ 。（25 分） 圖一

圖二中，簡支梁AB，長為2 L，撓曲勁度為EI ，受到大小為q之均佈載重作用。桿 件CD 長度為H，勁度為k ，熱膨脹係數為α ，桿件CD 受到溫度上昇T Δ 作用。若 欲使梁內之最大彎矩最小化，則桿件CD 之勁度 ? = k （25 分） 圖二

簡支複合梁是由鋁（Aluminum）、銅（copper）、鋼鐵（steel）三種材料黏著而成， 如圖三所示，鋁、銅、鋼鐵之楊氏模數分別為 GPa Ea 70 = 、 GPa Ec 105 = 、 GPa Es 210 = 。軸力P作用於中性軸上，求此複合梁之臨界載重（critical load） cr P 。 （25 分） 圖三 P x y L = 2 m 10 mm 10 mm 10 mm 10 mm 20 mm 70 GPa 105 GPa 210 GPa 40 mm 鋼鐵 104年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 全一張 （背面） x y L h 2 0 ( ) 1 x w x w L ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

主繩索AB 承受 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = 2 0 1 ) ( L x w x w 之載重作用，如圖四所示，主繩索在點A 之斜 率為零。略去繩索之自重，求主繩索之最大張力 max T 。（25 分） 圖四 B A

外力 kN P 30 = 作用在如圖一所示之結構ABCD，BDC 是連續繩索（cable）跨過無摩 擦的滑輪（pulley）D，繩索BDC 的截面積為

如圖一所示之長方形板受三力 N i FA r r 500 = , N k FB r r 800 = , N j FC r r 300 = 作用，式中 k j i r r r , , 為 z y x , , 方向之單位向量；N 為力量單位牛頓。請將此三力化為過P 點之扳手 （wrench）的作用力，則過P 點之扳手力向量 R F r 、扳手力矩大小及P 點之位置坐 標 ) , ( y x 為何？（25 分） 圖一

50mm Ac = ，其應力~應變關係為： ε ε ε σ 240 1 124000 ) ( + = 03 .0 0 ≤ ≤ε （σ 的單位為MPa） 求繩索BDC 之0.2%偏移降伏應力（offset yield stress） y σ 。又，當外力P 移去後（卸 載），繩索BDC 之永久應變 ? = p ε （25 分） 圖一 二、長為L，撓曲勁度為EI 之簡支梁AB，受到均布載重q 作用，如圖二所示。鋼筋 （steel）CD 長度為H，截面積為 S A ，楊氏模數為 S E ，熱膨脹係數為α ，鋼筋CD 受到溫度下降T Δ 。求：接觸點C 之內力 C R ，及B 點的旋轉角 B θ 。（25 分） 圖二 • • A B C D 1.8m 1.2m 1.2m 30 P kN = 1.4m 1.0m x C D Δ α 103年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 全一張 （背面） 500 b mm = 500 b mm = A 800 P N = z x 40mm 0 200 M N m = ⋅ Q Q

圖二所示之非等截面實心圓桿ABC 受到分布扭矩作用，在AB 桿之分布扭矩由零 線性增加到 L T / 0 ；在BC 桿之分布扭矩由 )

圖三中，直徑 mm d 40 = 之實心圓桿ABC 平放在水平面上，圓桿ABC 是由兩根完全 一樣的AB 桿及BC 桿焊接成直角而成的，AB 桿和BC 桿的長度皆為 mm b 500 = 。A 端為固定端，在C 點受到外力 N P 800 = ，力矩 m N M ⋅ = 200 0 作用。求A 端之固定 端上，在Q 點的應力（繪應力元素圖）、主應力，及最大剪應力。（25 分） 圖三

/( 0 L T 線性減少到零。AB 桿及BC 桿 之剪力模數均為G；BC 桿之直徑為d，極慣性矩為 P I ；AB 桿之極慣性矩為4 P I 。 求桿內最大扭轉角 max φ ，及BC 桿內之最大剪應力 max ) ( BC τ 。（25 分） 圖二 ‧ 103年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 全一張 （背面） ε σ A B C P 剛體 剛體 β β L L 2 5 / k L β = 2ε 1ε 三、如圖三(a)、(b)所示之矩形截面 ) ( h b× 懸臂梁，其應力與應變關係如圖三(c)所示，其 中 2 1, E E 分別為受拉及受壓時之楊氏模數。若 m L 1 = ， kN P 1 = ， mm b 40 = ， mm h 100 = ， GPa E 70 1 = ， GPa E 250 2 = ，求此懸臂梁之最大張應力 max ) ( t σ 及最大 壓應力 max ) ( c σ 。（25 分） L P z y b h 1h 2h 1 E 2 E 圖三(a) 圖三(b) 圖三(c)

撓曲剛度為EI，長度為L 之均質等向性梁，置於彈力常數為k 之彈性基礎上（如圖 四所示），此梁承受軸力Q 及分布載重 L x n a x q n n π ∑ = = K 5,3,1 sin ) ( 作用，其中 n a 為已知 常數。請推導此問題之微分方程為： ) (x q kw w Q '''' EIw = + ′′ + 其中，w 為梁之撓度， 4 4w/dx d ''''w = ；並求臨界載重（critical load）Qcr。（25 分） 圖四 ( ) q x Q Q EI L k w

在圖四中，AB 桿及BC 桿皆為剛體，在A 點及B 點有彈力常數皆為β 之旋轉彈簧， 在C 點有彈力常數為k 之直線彈簧支撐，而 2

L k β = ，求臨界載重（critical load） cr P 。（25 分） 圖四

如圖所示，一均質圓盤，半徑為R，重量為W，此圓盤可以繞著一固定軸O 點轉動。 該定軸為一水平軸，通過O 點，並與圓盤之平面正交，C 點為圓盤之質量中心。 O 點與C 點之間的距離為r，假定圓盤在圖所示的靜止位置被釋放，欲使圓盤被釋 放的瞬間，其角加速度到達最大值，試求r 應有之值。（25 分）

如圖所示之方形斷面梁（梁寬b，梁深h），梁長L，梁之兩端均為固定端，梁之熱 膨脹係數為α ，彈性模數為E。梁在受溫度作用，梁上表面承受之溫度提升為1T ， 梁下表面承受之溫度提升為 2 T ） （ 1 2 T T > ，而梁前之溫度為 0 T 。受溫度作用後，從上 表面到下表面的溫度分布為線性分布，求固定端反力大小（固定端反力的方向亦應 標示出）。（25 分） 102年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 土木工程 全一張 （背面） P 2 / L S S 2 / L EI K EI P L L

如圖所示之簡支梁，梁長L，梁之撓曲剛度為EI，已知梁跨度中央承受一集中力P 作用，而沿梁軸線方向則承受水平壓力S 作用，在此二外力作用下，梁跨度中央之 變位設為δ ，此δ 可表示成 ) ( )] 48 /( ) [( 3 ξ δ f EI PL = ，其中 )

/( ) ( 2 EI SL = ξ ，請求出 函數 ) (ξ f ，並討論當 0 = ξ （即當 0 = S ）及當 2 / π ξ = （即當 ) /( ) ( 2 2 L EI S π = ）時， 梁跨度中央變位δ 之大小。（25 分） 四、如圖所示，二根梁長各為L，撓曲剛度各為EI，梁之一端各為固定端支撐，而另一 端為鉸接相接，鉸接處有一線性彈簧支撐，彈簧常數為K，在P 力作用下，求彈簧 承受之內力。（25 分）

如圖示，一根長度為L之圓桿受軸壓，該圓桿之斷面由三種材料（材料0、1、2）組 成，材料間完全黏結，由內而外其面積分別為 、 、 0 0 1 0 2 = ，楊氏模 數分別為 、 、 0 E ) 3 ( E E = )

( E E 0 1 0 2 = ，降伏應力分別為 0 y ) 2 ( 0 1 y y σ 、σ σ = 、 ) ( 0 2 y y σ σ = A E 。假設每種材料都為彈性完全塑性（達降伏應力後為一平台），且假設 材料之張、壓應力應變關係相同，且該受壓桿之細長比不大，不需考慮挫屈行為。 如圖示，軸壓由上下兩塊剛性板傳遞，受壓時水平方向可自由運動，另外假設斷面 上之軸應變為均勻分布。當P由零逐漸增加，軸向縮短量逐漸增加，材料也將逐一 達到降伏，試畫出軸力P與軸向縮短量u的關係圖，直到所有材料都達到降伏為止。圖 形中需註明線段中之所有轉折點之座標Pi及ui。注意：所有答案必須以材料0 的性 質（ 、 、 0 0 0 y σ ）及長度L表示。（30 分） 二、如圖示，一根剛性桿長度為3 L，質量為m，於高2 L 處附掛之重物 = W 2 mg，也就是 剛性桿重之兩倍。於高L 處及3 L 處各有一相同之線性彈簧，其彈簧係數 = k 10 mg/L。 若外力P 不大，不致於造成系統挫屈，試推求小角度自由振動（對底部轉動轉角θ ） 下之運動方程式及自然振動頻率。以上結果必須考慮P 及剛性桿之質量。（20 分） 若當外力P增加到Pcr時發生系統挫屈，求挫屈載重Pcr。（10 分） 101年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 土木工程 全一張 （背面） ° = 30

如圖示，一個半徑為r 質量為m 之薄圓板（等厚度且材料也均質）。已知於圖示之 位置，θ 且B 支承之彈簧內力為2 mg（即2 倍圓板重量）之壓力。今將C 支 承突然移去，試問移去之瞬間，圓板之角加速度為何？又此時A 支承之反力為何？ （20 分） θ

考慮一根長度為L 之線彈性梁，受到均布載重w 作用，斷面之撓曲勁度為EI（E 為 楊氏模數、I 為斷面積二次矩）。當 = a 0.75 L 時，試求B 支承反力及該梁所受之最 大正彎矩。（20 分）

吊橋之鋼纜如下圖承受100 kN/m 之均佈荷重，試求此鋼纜在A、B 兩點之張力。 （25 分） 150 m 1000 m 75 m 100 kN/m A B

有一圓球在圓柱曲面（半徑為R + r）上做小振幅之滾動（sin θ ≑ θ）其參數如下圖， 求此圓球之滾動的頻率。（註：圓球之半徑為r，質量為m，球心為c）（25 分）

一無限長度之梁在彈性基礎上，承受一集中載重P，如下圖。試求此梁之變位曲線 y(x)。（註：彈性基礎之單位長度彈性係數為k，梁之斷面係數為EI，不須考慮梁 之剪力變形）（25 分） R O θ r c P EI x y k 100 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 土木工程 全一張 （背面）

梁結構如下圖，節點A, B, C, E, F皆鉸接，梁ABCD為完全剛性（EI = ∞），柱BE, CF之EI = 6.0 × 105 N-cm2，試求此結構在D點能承受之最大外力Q。（註：只考慮彈 性挫屈，不考慮強度破壞）（25 分） 20 cm 20 cm 20 cm 30 cm 40 cm F E D C A Q B

如下圖，重力方向向下，已知兩重物重量為W1 = W2 = 45 kN，上下兩條線彈簧特性 相同，但是受拉受壓不同，當受拉時彈簧常數為kt = k = 10 kN/m，而受壓時彈簧常 數為kc = 0.5 k = 5 kN/m。請注意，連接兩重物之剛性棒子重量比起重物輕非常多， 故可忽略不計，又剛性棒子總長度= 3L = 6 m。此外當剛性棒子轉動時，兩條線彈 簧會一直保持水平狀態，因為彈簧一端有導輪，可允許上下自由運動。若以對支點 之轉動角為自由度，試求出所有可能之平衡角度，並檢核這些平衡狀態是穩定或不 穩定。（25 分）

如左下圖，一個球質量m = 350 kg，由高度h = 3.378 m 自由落下。已知該球位於梁 中點之正上方，且該梁由奈米材料組成，因此雖然斷面小、質量小，但卻可以提供 很大之勁度及強度。因為比球之質量小非常多，於分析時，該梁質量可以忽略不計。 若想像於該梁之中點施加一個向下之力P，其與梁中點向下位移D 之關係如右下圖 所示。此外假設於快速加載之下，該力量P 與位移D 之關係曲線是不變的。根據以 上條件，並假設自由落下及碰撞過程中沒有任何能量損失，試問自由落下後，該梁 所受之最大彎矩為何？又該球之最大加速度為何？（25 分） 99 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 代號： 類 科： 土木工程、結構工程 全一張 （背面） 22230 22330

如左下圖，考慮兩端懸挑之梁受一均佈載重w，而右下圖所示為該梁之斷面放大示 意圖（該斷面對垂直軸對稱）。假設該梁為線彈性，梁材料之容許拉應力為σat，容 許壓應力為σac（已取正值）。於設計該梁時，最大拉應力不得大於σat，最大壓應 力大小不得大於σac。今已知σac= 5σat，試問考慮上述條件下，a 與L 之比值a/L 最 佳為何？（25 分）

如圖示，假設梁為剛性，長度為4L。且第一根、第二根、第三根二力桿（二力桿間距 都為L）之軸向勁度依序為6k、3k、2k。每根二力桿可能之破壞模式包括張力降伏及 壓力挫屈，強度分別記為Py及Pcr。請注意，不論是發生張力降伏或壓力挫屈，桿件之 勁度馬上變為零，差異的是張力降伏後桿件軸力仍可繼續維持Py，然而發生壓力挫屈 後，假設桿件軸力馬上降為一半（後挫屈強度），即0.5Pcr，此值仍假設可繼續維持。 已知第一根（Py, Pcr）=（400 kN, 120 kN）；第二根（Py, Pcr）=（320 kN, 80 kN）； 第三根（Py, Pcr）=（200 kN, 60 kN）。若將外力P 慢慢加大，二力桿將陸續發生破 壞。試計算每次有二力桿件發生破壞時所對應的外力P。答案中必需說明是那根或 那幾根破壞，各根是屬張力降伏或壓力挫屈也要註明。（25 分）

圖示為四分之一圓之細長桿，A 點為固接，B 點為自由端承受一集中力200 N。桿 之質量為20 kg，桿為均質且有固定之斷面。試求A 點之反作用力。（25 分） A B 200 N 2 m

有一質量為30 kg 之細長桿，沿著平滑的地板與牆開始滑動。桿的質量中心位於 C 點。假設桿與地板及牆無摩擦力，試求：此桿之起始角加速度（angular acceleration），地板與牆之反作用力。（25 分） C 4 m 8 m A 60° B

有一實心鋼製圓桿，直徑為20 mm。假設圓桿為彈塑性材料，剪力降伏強度為 200 MPa。此圓桿承受一扭矩，使得僅有靠近圓心處6 mm 直徑區域仍維持在彈性。 當承受之扭矩卸載至零時，試求圓桿之殘餘應力分布。（25 分）

圖示之梁左端為固定端，右端為簡支承。此梁承受溫度作用，梁上方表面溫度為 T1，梁下方表面溫度為T2。梁深為h，梁材料熱膨脹係數為α，梁之撓曲剛度（ flexural rigidity） EI為定值。試求此梁之反作用力。（25 分） A B T1 T2 h L

如圖所示之非均質剛桿AB 由二彈簧支撐，其彈簧係數分別為k1、k2。AB 桿之重量 為W，對重心C 之迴轉半徑（radius of gyration）為r。靜態平衡時，AB 桿為水平。 試以x、θ為坐標，推導AB 桿運動之方程式。（15 分） 試求AB 桿之自然頻率（natural frequency）。（15 分）

如圖所示端點B 由彈簧支撐之懸臂梁AB，其斷面為b × h 之長方形，梁的彈性模 數為E，彈簧係數為k。假設重量為P 的重物從高度H 自由下落，衝擊梁的B 端。 試求此梁的最大正向動應力。（25 分） k2 Reference Line x k1 θ B C A L1 L2 L H P L B A k b h 97年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 土木工程 全一張 （背面）

如圖所示之簡支撐的圓形細長鋼桿AB，其長度L = 1m，直徑d = 16mm。在20℃時 安裝，安裝後A 端與剛性槽之間的空隙δ ＝ 0.25mm。假設安全係數n = 2.5，鋼材 之彈性模數E = 200GPa，降伏應力σs = 200MPa，熱膨脹係數α = 11.2×10-6/℃。試 求此鋼桿所能承受的最高溫度。（25 分）

如圖所示之梁，C 點支承有δ之施工誤差。假設梁的抗彎剛度EI 為常數。試求此梁 之最大彎矩。（20 分） L d B A δ L L A B C δ

請求解圖(1)所示之兩端點為鉸接，長度為L，彎曲剛度為EI 的梁結構承受一垂直荷 重P 作用，設軸力為N ，並定義 EI N =

λ ，請求解以下問題：  S x ≤ ≤ 0 之撓曲函數yⅠ及 ) ( S L x S − ≤ ≤ 之撓曲函數yⅡ？（20 分） 軸力N 如何求取（不必解出方程）？（5 分） 圖(1) 二、 材料相同、寬度相等、厚度 2 / 1 / 2 1 = h h 的二塊板，組成一簡支梁，其上承受均勻分 布荷載q。（25 分） 若兩塊板只是互相疊置在一起，求此二塊板內的最大軸向正應力之比。 若兩塊板膠合在一起，不相互滑動，問此時合成板內之最大軸向正應力比之前未 膠合情形之最大軸向正應力減少了多少？ 圖(2) L q b 1h 2h P EI x y S S L − y r C a h C V 96 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 代號： 類 科： 土木工程

如圖(3)所示，某材料的抗拉强度為 bt σ ，抗壓強度為 bc σ ，且有 bt bc σ σ 5.2 = 。 請用莫耳-庫倫強度理論，求單向壓縮試驗時破壞面法綫和試體軸綫之間的夾角 α ?（20 分） 請解釋為何α 角不為45 度？（5 分） 圖(3)

如圖(4)所示質量m＝2 kg 的均質圓盤無初始速度地從高度h＝1 m 處自由落體下落， 碰到一個固定尖角O 上，若圓盤半徑r＝20 cm，距離a＝8 cm，設碰撞時恢復係數 e＝0.8，假設接觸時沒有滑動。 求碰撞後圓盤的角速度。（15 分） 求碰撞前後機械能之損失。（10 分） 圖(4) B τ σ bc σ bt σ 2o 1o θ θ A o C D P n α 全一張 (背面) 21330 r O C

一條彈性極佳的繩子，原長是4m，現在將之拉長成為5m，並水平固定於兩端，如 圖示。假設繩子的張力T 與其伸長量x 的關係為T＝kx，其中k＝2000N/m。假設繩 子重量可忽略不計，現在於該繩子五分之二點（B 點）與五分之四點（C 點）分別 綁上一個重量2N 與9N 之重物，試求B、C 兩點之向下位移。（20 分）

如圖示，均質細長柱質量為150kg，對質心之質量慣性矩IG＝200kg-m2，若柱底與 地表面間的靜、動摩擦係數分別為 25 .0 µ = s 、 2.0 µ = k 。試求在600N 水平力作用時 該細長柱的質心加速度、角加速度及與地表之摩擦力。（25 分） 4 m 600N 1 m 5 m 2N 9N 95 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 土木工程 全一張 （背面）

如圖示之連續梁，楊氏係數為E，梁斷面之二次矩為I，試回答下列挫屈載重相 關問題： 可利用微分方程式配合邊界條件與連續性條件求解挫屈載重（本題不必求出挫屈 載重，只要寫出特徵方程式即可）。如圖示，左段梁之原點取左端點（A 點）而 右段梁之原點取右端點（C 點），圖中v1 與v2 分別為左段梁與右段梁之挫屈位 移；令k＝ EI P／ ，試推導出本題之特徵方程式。[注意：特徵方程式為kL 之 函數，解得特徵方程式的根k 後，帶回k 的定義即可得到挫屈載重P，但本題不 必求出特徵方程式的根。]（18 分） 令P1＝π2EI/(0.5L)2，P2＝π2EI/L2；試推論題目（左跨長0.5L）的最小挫屈載 重與P1 或P2 間之大小關係。又試問當左跨長度逼近無限長與無限短這兩種情況 時之挫屈載重分別為多少？（12 分）

如圖之L 形懸臂梁ABC，AB 段長8m，BC 段長1m，兩者皆為實心圓斷面，直徑 為0.2m。試求整個結構中之最大主應力。（25 分） 8m

如圖一所示，g 為重力加速度。假設質點A, B 之質量分別為m, 4m, 且質點A, B 分 別只在垂直面、斜面上運動；連接質點A, B 之繩索長度為L 且無質量(massless)。

2 x a y L + + = 如忽略摩擦力，試求穩定平衡時，以變數a表示之x 值。（25 分） 圖一 二、如圖二所示，一簡支之狹長平板屋頂，其平衡方程式可簡化為 ) ( 4 4 x q dx w d D = 式中D=平板抗彎剛度，w=位移， ) (x q =載重。下雨時，如屋頂排水不良開始積水。 試求屋頂不致於因積水而倒塌之最小平板抗彎剛度 min D 。（25 分） 圖二 x ∞ L 60o 30o y x A(m) B(4m) a g 九十三年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 等 級： 二級考試 科 別： 土木工程 全一張 （背面）

如圖三所示，一彈性基礎上之樑承受一集中載重P。假設EI = 常數，k = 常數。 試推導此樑之平衡方程式與邊界條件。（5 分） 試求此樑之變位方程式與最大變位。（20 分） 圖三

如圖四所示，一均質等向平板內含一裂縫。如此平板被設計使用在裂縫附近之應力 場為 psi x 20000 = σ , psi y 10000 − = σ , psi y x 10000 − = τ 。試闡述如何旋轉x, y 軸，並 求其旋轉角度，以使此裂縫影響最小。（25 分） 圖四 x y crack P ∞ ∞ y x k