高等流體力學考古題｜歷屆國考試題彙整

二維非黏性、不可壓縮水流的流場速度勢（velocity potential）為

2 ( , ) 2 ( ) 3 x y x y y    其中的單位為 2 m /s ，x 和y 的單位為m。 請證明此速度勢函數滿足連續方程式（continuity equation），且為非旋 性流場（irrotational flow）。（10 分） 若( ) ( ) , 1,1 x y  處的壓力為200 kPa，試求在( ) ( ) , 2, 2 x y  處的壓力。 （10 分） 二、如下圖，溢洪道常以適當的發生水躍（hydraulic jump）現象來防止趾部 沖刷，若水躍的上游水深 1 0.2 m y  、速度 1 5.5 m/s V  ，溢洪道寬度 30 m b  。 試求水躍的下游水深 2y 、速度 2 V 及因發生水躍的能量損失功率。（10 分） 說明水躍的上、下游水流屬何種特性之流況；請以一例說明如何適當 的發生水躍現象來防止趾部沖刷。（10 分） 溢洪道寬度b = 30 m 下游障礙物 1 0.2 m y  三、如下圖，風（密度 3 1.23 kg/m  ，黏滯度 5 2 1.75 10 N s/m      ）以每小 時96 km的速度作用於水塔結構物，水塔為球型，置於圓柱的上方，球型 水塔的直徑 12 m s D  ，圓柱高度 15 m b  、直徑 4.5 m c D  。球體及圓柱 的阻力係數（drag coefficient）與Reynolds 數的關係如附圖，試求圓柱底 部固定端所需的抵抗力矩（torque），以維持水塔結構物免於傾倒。（20 分） 阻力係數與Reynolds 數的關係圖： U = 96 km/hr Ds = 12m Dc = 4.5m b = 15m

兩平行固定板間的定量黏性流（steady viscous flow）如下圖所示，試以 連續方程式及Navier-Stokes 方程式推導速度剖面（velocity profile），並 證明平均速度V 與最大速度 max u 的關係為 max 2 3 V u  。（20 分）

如下圖，流體流經橢圓形斷面結構物後發生週期性渦漩分離（vortex shedding）現象，該渦漩分離頻率（shedding frequency）與斷面尺度D、 H 及流速V、流體密度、黏滯度（viscosity）相關。 請利用「Buckingham定理」推導渦漩分離頻率與相關參數之無因 次關係式。（10 分） 若原型尺度之 0.2 m D  、 0.6 m H  及流速 5 m/s V  ，模型實驗採和 原型相同之流體，模型尺度之 5 cm D  ，則模型的流速應為多少？ 如果在模型測得的渦漩分離頻率為48 Hz，則原型的渦漩分離頻率為 多少Hz？（10 分）

上下兩層不動之平行板，中間有一流動流體（如圖A 所示），其中水流 之速度為

1 2 V y u h                 ，式中平均流速V = 0.6 m/s，h = 5 mm，上下 平板之剪應力為720 N/m2，請問流體之黏滯係數為何？何處之剪應 力最低？其值為何？（20 分） 圖A 二、管中不可壓縮流體如圖B 所示，管間距6 m 的壓力水頭如圖所示，求 此間距之損失水頭（head loss）及水流方向；假設損失水頭（head loss） 大小不變，水流反向，請問壓力水頭的變化。（20 分） 圖B 三、水由安裝在推車上的水箱穩定流出，如圖C 所示。水流流出水箱噴嘴後 （噴嘴面積0.01m2），又流入另一輛手推車的彎曲表面。假設車輪無摩 擦力，液體也無黏性。求離開水箱的水流速度V1 以及離開手推車的流 速V2？繩索（rope）A 所受的力？繩索B 所受的力？（20 分） 圖C

混凝土壩之比重為23.6 kN/m3，坐落於堅固基盤上，如圖D 所示，當壩 後水位為4 m 時，請問該壩抵抗滑動之最小摩擦係數為何？（20 分） 圖D

濱海地區為進行防風定砂工程，設置高h 寬b 的防風牆一座，如圖E 所 示，假設牆中心點之壓力p 與牆面大小、風速V 及空氣粘滯度（dynamic viscosity, ）相關，請以因次分析（dimensional analysis）建構無因次項； 又當風速增加一倍時，壓力增加多少？（20 分） 圖E

如下圖為一根斷面及密度均勻的木棍，上端斜撐在鉸鍊上。此木棍長度 為L，其上端段 L 8 5 水面上，另一段在水中，木棍與水面呈35°夾角。在 水的密度為1000 kg/m3 下，試求此木棍的密度。（20 分）

已知某溪在颱風期間的流量為6000 m3/s，為了解此流量在河道的流速特 性，進行水工模型試驗。若試驗室的流量設備可提供的最大流量為 2 m3/s，假設表面張力與黏度效應均予以忽略。試求： 最大的模型長度縮尺（模型：原型）1/n2，n 為正整數。（10 分） 若以上述所得長度縮尺，在模型量測某處的流速為2 m/s，則相對位 置的原型速度。（10 分） 鉸鍊 35° 水

如下圖為有黏滯性的某流體流下坡度θ = 10°斜坡的流速分布，其中u 為 沿x 方向的速度分量，流體總高度h = 2 mm，(x, y)為卡式座標（Cartesian coordinate），正x 軸沿斜坡面向下，正y 軸為斜坡法線方向。此速度分 布可以下列方程式來描述： 0 sin 2 2 = + dy u d g μ θ ρ 其中μ為動力黏滯係數（dynamic viscosity），g = 9.81 m/s2 為重力加速度。 在流體密度ρ = 1000 kg/m3 及μ = 1.0 × 10−3 kg/m/s 的條件下，假設此運動 在垂直(x, y)平面是均勻的，試求單位寬度b = 1 m 的流量(m3/s)。（20 分）

如下圖為清水流通一個束縮圓管，在下方接細管至裝染液的容器，其中 圓管的直徑D 為2 cm，束縮處的直徑d 為1 cm，容器內染液的密度為 1000 kg/m3，與水相同，液面至管中心線的高程差h 為15 cm，細管端 離染液面為5 cm。透過束縮圓管的低壓可虹吸染液至右端排出，染液被 吸起的流量Q 可用 h Q Δ = 5.0 估算，其中h Δ 為細管兩端的壓力水頭差， h Δ 的單位為m，Q 的單位為liter/min。若流速U 為1m/s 時，試求染液 被吸起的流量Q。（20 分） y x gr h = 2 mm θ = 10° u Width b = 1 m 排出口 U D = 2 cm h = 15 cm d = 1 cm 染液 D 5 cm

如下圖為密度常數的流體以均勻流通過圓柱的二維運動流場，圖中P0 及U 分別為遠處壓力及均勻流的速度，ρ 為密度，(r, θ)為極座標系統， 其原點在圓柱中心，圓柱半徑為a。若此流場可用組合均勻流及偶流 （doublet）的流速勢φ （velocity potential）來描述之，即為： r K Ur θ θ φ cos cos − − = 其中K 為偶流強度。試求圓柱表面上隨θ 的壓力分布。（20 分） 提示：流場速度分量與流速勢關係如下式： θ θ θ ε θ φ ε φ ε ε r r r r ∂ ∂ − ∂ ∂ − = + r r v v r r r a x r y θ U P0

水面下有一個拋物線形狀（z = 100 x2）之二維曲面，垂直於圖面的寬度1.0 m，水深 1.0 m，水的密度為1000 kg/m3。試求座標原點右側之曲面單位寬度所受的靜壓總力 F =？（20 分）

一圓球（直徑0.06 m，比重0.80）垂直落入水中，因為水體施予圓球之阻力，圓球 速度逐漸變小，直到向下速度為零後向上浮起。試問圓球開始浮起那一刻的加速度 為何？（20 分）

一圓形水管（半徑R2 = 0.2 m），靠近中心部分（ 1 R r < ）為均勻流，靠近管壁處（ 1 R r ≥ ） 是邊界層流，流速分布為 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ ≥ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− = < ≤ 1 2 2 2 2 o 1 o R r R R r 1 3 U

)r( u R r 0 U = u(r) 式中R1 = 0.10 m，Uo = 1.0 m/s，r 為距圓管中心之距離，試求其斷面平均流速？ （20 分） x z 1.0 m F z = 100 x2 0.1 m 106年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 全一張 （背面） 等 別：高考二級 類 科：水利工程 科 目：高等流體力學 四、一條矩形渠道中有一個與渠道同寬度的圓柱形橡皮壩（直徑2.50 m），上游水深 2.8 m，流速0.5 m/s，下游水深0.40 m，水的密度為1000 kg/m3。若底床坡度為水平， 且不考慮底床阻力的假設下，試以動量方程式求壩體單位寬度所受的阻力？（20 分）

一水箱（直徑1.0 m）接一條水平、光滑圓管（直徑0.04 m，長度6 m）流出與空氣 接觸，管線入口處的水頭損失係數為0.85，能量校正係數為1.15，光滑管的摩擦係 數為0.02。試問水箱中水深由h = 4.0 m 降為1.0 m 需要多久時間？（20 分） 入口 6 m h 0.5 m/s 2.5 m 2.8 m

如下圖之貨櫃車上的油罐裝滿了汽油（直至油罐頂部），若貨車正以等加速度4 m/s2 在行駛，試求出油罐槽內點A，B，C 與D 的壓力值。汽油密度為729 kg/m3，可將 其視為不可壓縮。（20 分）

一個二維流動的速度場，x 方向流速為u = 2x m/s，y 方向流速v = -2y m/s，其中x 與y 皆以m 為單位。試繪出流場的流線，並求出位於x = 1m，y = 2 m 處的粒子之速 度與加速度。（20 分）

如下圖所示的虹吸管用來將一廣大開放水槽中的水吸出，若水的絕對蒸氣壓為 pv = 1.23 kPa，對於管徑50 mm 的水管而言，其導致穴蝕現象（cavitation）的最短長 度L 及其臨界流速為何？假設管中摩擦損失可忽略，且絕對大氣壓為101.3 kPa。 （20 分） D 2 m 8 m 4 m/s2 A B C 0.5 m 0.2 m D A B C L 參考線 105年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 代號：22230 全一張 （背面） 等 別：高考二級 類 科：水利工程 科 目：高等流體力學

直徑4 mm 的雨滴落下來的終端速度達9 m/s： 假設其形體可視為圓球（V = π D3/6），試求空氣對雨滴的阻力係數CD 值。（5 分） 求雨滴達終端速度時的流場雷諾數。（5 分） 依此雷諾數條件，試繪出雨滴周圍的流場（於雨滴的動坐標上看）。（5 分） 繪出雨滴周圍的壓力分布圖，並試描繪出雨滴變形後的形狀。（5 分） ρ(kg/m3) υ(m2/s) 雨水 999 1.12E-6 空氣 1.23 1.46E-5

已知某一水庫的洩洪道寬度為20 m，其設計洩洪量為150 m3/s。今以1：16 的模型 研究洩洪道的流動特性，假設表面張力與黏度效應均予以忽略。試求： 模型寬度與體積流率。（10 分） 原型24 小時的操作時間相當於模型測試時間若干？（10 分）

圓柱型自動水門斷面，如圖所示，水門可對軸A 旋轉開啟。水門為均勻材質，在垂直 紙面方向，每公尺重 N 11700 W = 。圓柱半徑 cm 0. 45 a = 。設無摩擦，試問開啟水門之 最小水深h 為何？（20 分）提示：∫ θdθ sin θ cos − = ，∫ = θdθ sin2

θ) cos θ sin (θ / − 。 二、灑水噴頭裝置側視圖如圖二所示，圖一為其旋臂之俯視圖。xyz 座標為固定在地表 之座標。已知流量Q 為定值，噴嘴面積A0，旋臂以固定角速度 k Ω 旋轉，試求水流 所產生之力矩為何？（20 分） 提示： ∫∫ ∫∫∫ ∂ ∂ + = CS CV θ θ z ρdV rV t ) d ρ ( rV M A V． 。 h a A y L x x Q z A0 V0 Ωk （圖一） 旋臂俯視圖 （圖二） 側視圖 102年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 水利工程 全一張 （背面）

蒸汽渦輪機如圖所示，截面(1)之流速為30.0 m/s，焓（enthalpy）為3400 kJ/kg。截 面(2)之流速為60.0 m/s，焓為2500 kJ/kg。兩截面高程相同，過程設為絕熱，試求 每單位質量蒸汽的輸出功W軸為何？（20 分）

通過圓柱之勢能流（potential flow），若再加上環流（circulation）Γ，可約略模仿 通過旋轉圓柱的黏性流，其流線函數為： lnr 2π Γ sinθ r r r V ψ 2 0 0 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− = 式中V0 為上游均勻流之流速，r0 為圓柱半徑。 試求r 向流速Vr，及θ 向流速 θ V 為何？（7 分） 試求圓柱表面r 向流速Vrs，及θ 向流速 θs V 為何？（7 分） 當圓柱表面恰只有一個停滯點時，試求Γ 之值為何？（6 分）

三個大型儲水槽，由三根圓管連接，如圖所示。各槽水位高度，各管管徑D，管長l， 摩擦因子f，皆標示如圖。不計次要損失，試求每一根圓管之流量及流向為何？（20 分） 截面(1) 截面(2) W軸 控制面積 蒸汽渦輪機 水位高度= 20.0 m 水位高度= 40.0 m 水位高度= 0 m D = 0.100 m l = 200 m f = 0.0150 D = 0.0800 m l = 400 m f = 0.0200 D = 0.0800 m l = 200 m f = 0.0200

兩個相鄰水箱，右側水箱底面積4.0 m2，初始水深2.0 m，左側水箱底面積1.0 m2，初 始水深0.5 m。兩水箱之間有一個圓孔（面積為1 cm2），圓孔流速為 gh

66 .0 V = ， h 為兩水箱的水位差，g 為重力加速度。試求圓孔開啟之後多久時間兩水箱水位差 才能由初始水位差1.5 m 降為零？（20 分） 二、一個圓球形氣球（直徑2.0 m，比重0.016）以纜繩固定於水底，氣球露出水面的高 度為0.5 m。在水流不動的情況下，試問固定氣球之纜繩所受之力為何？（20 分）

一個二維、不可壓縮流場的x 方向和z 方向流速分別為： o z x 2 t u(x,z,t) U exp cos h h T π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o z x 2 t w(x,z,t) W exp sin h h T π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 其中Uo、Wo 為定值，試求此流場是否為無旋流（Irrotational flow）？（20 分） 99 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 水利工程 全一張 （背面） 1.2 m 0.5 m/s x y z 2B 2H

一矩形斷面之通風管，管中x 方向的流速為： 2 2 2 2 y z u(y,z) U 1 1 H B ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 式中U = 12 m/s，B = 0.5 m，H = 0.4 m，座標原點（y = 0, z = 0）位於矩形斷面的中 心。試求此通風管的動量修正係數（Momentum correction factor）？（20 分）

一條矩形渠道中有一個與渠道相同寬度的弧形閘門，閘門上游水深1.2 m，流速0.5 m/s， 下游水深0.13 m。若底床坡度為水平，且不考慮底床阻力的假設下，求閘門單位寬 度所受的水平力？（20 分）

一不可壓縮（incompressible），二維（two-dimensional）的恆定流場（steady flow）， 其x 方向之速度分量（velocity component）u 為： （25 分） u(x,y)＝2x。 推導出所有可能的y 方向速度分量v。 若此流場不可旋（irrotational），且已知u(0,0)＝v(0,0)＝0，則唯一之y 方向速度 分量v 為何？ 推導出之特定流場的加速度（acceleration）ar。 推導出之特定流場通過(x0,y0)＝(1,1)之流線（streamline）。 解釋之特定流場其流線（streamline）與煙線（streakline）相同的理由。

以下附圖之矩形銳緣堰（rectangular sharp crest weir）其水面至堰頂距離為H，堰高為h ，單位寬度之流量為q（因次為L2/T），水流密度為ρ，重力加速度為g。（25 分） q h H 實驗的控制參數（constraint parameter）為何？ 提示：雷諾數（Reynolds number）、福祿數（Froude number）、尤拉數（Euler number）、韋伯數（Weber number）等等⋯。 變數H、h、q、ρ、g 中，是否有不需考慮者？若有，為何？ 利用白金漢Π 定理（Buckingham pi theorem ）作因次分析（dimensional analysis），找出無因次參數Πi, i=1,2,3,⋯。 依雷利定理（Rayleigh theorem），吾人可建立型式如q＝cHa1ha2ρa3ga4之關係式。 請利用下表數據作出q之如上型式之實驗式。 註： g＝9.8 m/s2，ρ＝1000 kg/m3，且實驗式不必要求因次齊次性（dimensional homogeneity）。 q（m2/s） H（m） h（m） 1 0.486 5 2 0.771 5 4 1.225 5 1 0.486 10 2 0.771 10 4 1.225 10 98 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 水利工程 全一張 （背面）

不可壓縮（incompressible）、非黏滯性（inviscid）之三維（three-dimensional）流 場可存有速度向量ur 與速度勢（velocity potential）的關係式如 φ φ ∇ = ur 。若已知一位 於坐標原點(xs,ys,zs)＝(0,0,0)之涵（sink）其速度勢為： （25 分） r

m s π = φ ， 2 2 2 z y x r + + = ，m＝constant， 則分別： 寫出圖（i）之速度勢， 寫出圖（ii）之速度勢， 寫出圖（iii）之近似（approximated）速度勢，並算出圖中流量Q 與涵之強度m 之 關係式。 最後，請說明是否存在流函數（stream function）並解釋其理由。 (0,0,0) sink z y x Free surface S2 S1 z (0,0,0) sink y x Rigid wall 圖（ii） 圖（i） Free surface Q (0,0,0) S1 S2 Rigid wall Rigid wall 圖（iii） 四、如下圖之雙層（double-layered）、二維（two-dimensional）、黏滯性（viscous）、 恆定平行流（steady parallel flow）將被用來模擬水庫內異重流（density current）之 運動。上層自由水面（free water surface）平靜無風，深度範圍是0 b y ≤ ≤ ，下層底 床是剛性（rigid）岩盤，深度範圍則是 0 y b ≤ ≤ − 。上、下層流體之黏滯係數 （viscosity coefficient）及密度分別是 1 µ 、 1 ρ ，及 2 µ 、ρ 。 （25 分） 2 請寫出各層最精簡的控制方程式（governing equations）及邊界條件（boundary conditions）， 最終再解出各層的速度剖面（velocity profiles）。 y x 2 µ , 2 ρ ,ρ 1 1 µ ↓g b b θ

有一穩態二維方形穴室流（Square Cavity Flow），上板為一單位水平速度 拖動，若考慮流體為不可壓縮黏性流，試以下列四種方法，列舉所需之基 本方程式、邊界條件及解法。 速度－壓力法； 速度－渦度法； 流函 數－渦度法； 流函數法。（25 分）

如不考慮流體之摩擦效應且為靜水壓力分佈（即淺水波假設下），當閘門 突然關閉下，如圖所示，此時y1＝0，V1＝0，V0＝6 m/s，試求：（25 分） 未經擾動下游之福祿數（Froude number）。 自由液面之方程式（Free surface equation）。

有一圓球自由掉落在一無限域之理想流體（不可壓縮，無黏性）中：（25 分） 試證圓球之加速度為 ) ( ) ( 2 1 s 1 s g dt dv + = − ，式中s 為圓球之比重，g 為重力加速 度，v 為圓球運動速度，t 為時間。 試用 解釋氣球在空氣中之運動過程，及沉滓（sediment）在水中之運 動過程。

有一表牆上有一平面點源（point source），如圖所示。其強度m＝10 m2/s ，試求多遠距離，a，則在表牆之最大速度（maximum velocity）可達到 5 m/s。 （25 分） a ⊕ m