高等輸送現象考古題｜歷屆國考試題彙整

一牛頓流體（Newtonian fluid）以層流（laminar flow）流經一水平圓管 內。圓管半徑為R，管長為L，壓力差為 0 L p p  ，流體之密度為固定值 ρ，黏度（viscosity）為μ。請求解流體之體積流率，以及摩擦因數（friction factor）與雷諾數（Reynolds number）間之關係式。（25 分）

在一吸收塔實驗中，液體由垂直小圓管內往上流動至頂部後，於外管側 以液膜形式向下流動。液體為牛頓流體，流動為層流，圓管外管側半徑 為R，外管側液膜厚度為(a-1)R，液體之密度為ρ，黏度為μ。請求解外 管側液膜之流場，以及液膜之質量流率。（25 分） 註： 2 2 ln ( )ln ( ) 2 4 x x x x dx x    ，

3 2 ln ( )ln ( ) 3 9 x x x x dx x    三、一起始溫度為 oT 之半無窮大（semi-infinite）固體，占據 0 y  至y 之 空間。在時間 0 t  時， 0 y  之表面溫度突昇為 1T ，且維持在該溫度。請 以變數轉換 /

y t    ，為熱擴散係數（thermal diffusivity），求解固 體之溫度分布( , ) T y t 。（25 分） 四、反應物A 擴散進入半徑為R 之球狀觸媒（spherical catalyst）反應生成生 成物B，A B 。反應物A 於觸媒內之有效擴散係數（effective diffusivity） 為 A D 。觸媒內A 之單位體積反應速率為 " 1 A A R k a c  ，其中 A c 為氣體A 之濃度。在觸媒表面反應物A 之濃度為 AR c 。請求解觸媒內A 之濃度分 布及觸媒有效度因數（effectiveness factor）。（25 分）

請寫出下列各名詞之SI 單位：（每小題4 分，共20 分）雷諾應力（Reynolds stress）應變率（rate of strain）熱通量（heat flux）熱導度（thermal conductivity）質傳係數（mass transfer coefficient）

考慮一屈服應力（yield stress）為0τ 、黏度係數（viscosity coefficient）為0μ 之Bingham流體受到壓力差Lpp −0驅動，在一半徑為R、長度為L之水平圓管中沿軸向之穩定層流（laminar flow），此時02/)(00>>−τLRppL。令),,(zr θ表示圓柱座標系統。（每小題10 分，共30 分）請寫出此流體之剪應力（shear stress）rzτ與速度梯度rvz d/d的關係式。請寫出主導rzτ的微分方程式並求解)(rrzτ。請求解流速分佈)(rvz。

考慮一密度為ρ 、黏度為μ、熱導度為k 、比熱為pc 之流體在一半徑為R、管壁溫度為定值wT 之長圓管中的完全發展層流（fully developed laminar flow），其中心軸(0=r)處之流速為U 。對於圓柱座標系統),,(zr θ，包含黏性消耗（viscous dissipation）之能量方程式為]1)(1[)( 22222 pzTTrrTrrrkzTvTrvrTvtTczr∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θθρθ})()](1[){( 2222 zvvvrrvzrr∂∂++∂∂+∂∂+θμθ})](1[)()1{(222rvrrvrzvrvvrzvrrzzθθθθμ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+請求解此流體在穩定狀態下之溫度分佈)(rT。（20 分）

考慮一密度為Aρ 、分子量為AM 之液體A 所形成之球形液滴懸浮於一溫度為T 之靜止乾空氣中。液滴之起始半徑（initial radius）為0r ，其表面蒸氣壓為飽和值*Ap ，氣相中之總壓力為一常數p ，A 蒸氣在空氣中之擴散係數為ABD，而氣體常數為R 。此液滴當其半徑為1r 時之蒸發速率（與0r 無關）為何？（可使用擬穩態假設）（20 分）此液滴完全蒸發所需要的時間為何？（10 分）

包含強制對流及自然對流之運動方程式經無因次化之後，出現之無因次群為何？ （6 分）

動量傳送與熱傳之類比方程式（analogy equation），在何種情況下可以成立？（4 分）

兩個不互溶之恆溫不可壓縮牛頓液體於一厚度（thickness）為2b，長度為L 之水平 狹縫（slit）內流動，流動形態為層流（laminar flow）。兩個不互溶液體分別占據狹縫 內上下各半之空間。上層及下層流體之黏滯係數（viscosity）分別為μ II 及μ I。狹縫 進口及出口之壓力分別為p0 及pL。上層及下層流體之平均速度各為何？（30 分）

一圓形觸媒顆粒內部因化學反應產生均勻之熱量為Sc cal/cm3s（可假設為定值）。 圓形觸媒顆粒之半徑為R，熱傳導度（thermal conductivity）為k。熱經由觸媒表面 散熱至流經之氣體。氣體之溫度為Tg，而氣體與觸媒表面之熱傳係數（heat transfer coefficient）為h。 請求解圓形觸媒顆粒之穩定狀態溫度分布；（25 分） 圓形觸媒顆粒單位時間之散熱量為何？（5 分）

氣體反應物A 於一薄圓盤形（thin disk shape）具孔隙之觸媒顆粒內擴散且在孔隙觸 媒表面反應生成氣體B， B A → 。反應物A 於觸媒內之有效擴散係數（effective diffusivity）為DA。觸媒內A 之單位體積反應速率為 A A ac k R '' 1 − = ，其中cA 為氣體A 於孔隙內之濃度。薄圓盤形觸媒之厚度（thickness）為2b，圓盤之半徑為R，且圓 盤邊緣之面積較圓盤上下兩面之面積相較甚小。在觸媒顆粒表面上，亦即圓盤上下 兩表面上，反應物A 之濃度為cAS。 求解此薄圓盤形觸媒之有效因數（effectiveness factor）；（20 分） 求解此薄圓盤形觸媒上下兩表面之總質傳速率（total mass transfer rate） A W ；（3 分） 假如將此薄圓盤形觸媒等分切割成n 個更薄的圓盤觸媒，求解此n 個極薄圓盤觸 媒的總質傳速率（total mass transfer rate） ) (n A W ；（3 分） 請求解 ) ( lim ) ( n n A A W W ∞ → ，並說明此結果和本題第一小題答案的關聯性。（4 分）

考慮一半徑為a 的無限長圓柱，在一非粘性流體（inviscid fluid）內以定速率U朝垂直於其軸的方向運動，且另以定角速率Γ 繞其軸轉動。設流場的流線函數（stream function）ψ 可表為rΓrarUn12sin)(2πθψ+−=，其中r 與θ 分別為圓柱座標中的徑向距離與角度，座標原點在圓柱軸上。求：圓柱表面的流體切線速率與法線速率。（5 分）圓柱表面的壓力分布。（5 分）圓柱所受的拖曳力。（10 分）圓柱所受，垂直於其運動方向的力。（10 分）

考慮某不可壓縮之牛頓流體在兩同軸（coaxial），水平圓柱管間的穩態流動，內圓柱管之半徑為R1，靜止不動，外圓柱管之半徑為R2，以定角速率ω轉動；另外，吾人亦施加一軸向的壓力梯度。假設重力的影響可忽略。求流體流速分布。（15 分）流體流速分布是否可能有反曲點？若可能，如何估計？若不可能，為什麼？（15 分）

因寒流來襲，某地區的氣溫由T0（高於攝氏零度）驟降至T1（低於攝氏零度）。若希望埋於地表下方L 處之水管內的水能夠維持至時間W 仍未開始結冰，如何估計L？須寫出描述問題的方程式及相關的條件，並定義所使用的符號，否則不予計分。（20 分）

考慮以一溶液吸收氣相中的某成分A，已知A 在液相內會進行一階化學反應，速率常數為k。令A 在液相內的擴散係數為D，溶解度為Ci。假設A 在氣-液界面處之濃度維持飽和濃度，且一開始液相內不含A，寫出描述液相內A 的濃度C 隨垂直於氣-液界面之距離z，及時間t 的方程式與相關的條件。（10 分）若於時間T 內，A之吸收量為W，如何估計k？（10 分）參考資訊：()()()110rzvrvvtrrrzθρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂（I） 222222 2112 ()[( ()]rrrrrrrzrrvvvvvvvvvpvvrvgtrrrzrr rrrzθθθρμρθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂++−+= −++−++∂∂∂∂∂∂∂∂∂（II） 222222 1112 ()[( ()]rrrzvvvvv vvvvvpvvrvgtrrrzrr rrrzθθθθθθθθθθρμρθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++= −+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂（III） 222221 1()[()]zzzzzzrzzzvvvvvvvpvvrvgtrrzzrrrzθρμρθθ∂∂∂∂∂∂∂∂+++= −++++∂∂∂∂∂∂∂∂（IV）))

在熱傳與質傳中，與動量傳送中動黏度（kinematic viscosity）ν 相對應之物理量為何？（6 分）

在熱傳與質傳之類比方程式中，相對應之無因次群為何？（8 分）

請回答下列問題：（每小題3 分，共6 分）請說明剪應力（shear stress）共有幾個分量，並敘述各個分量之符號（notation）？其中法應力（normal stress）之施力方向與其他剪應力分量施力方向有何不同？四、二個同軸心之圓柱壁（coaxial cylindrical walls）間填充恆溫之不可壓縮牛頓流體。內壁及外壁之半徑分別為Rκ 及。內壁及外壁分別以Ω及的角速度（angularvelocity）在轉動。運動方程式為：RioΩθθρθθθθθθ∂∂−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂prrvvzvvvrvrvvtvrzr1()θθθθρθθμgvrzvvrrvrrrr+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂+ 222222 211請求解填充流體之流場。（25 分） 五、一圓管外面包覆兩層熱絕緣層，圓管之內外半徑分別為及。第一層（內層）熱絕緣層之外半徑為；第二層（外層）熱絕緣層之外半徑為r 。圓管、第一層及第二層熱絕緣層之熱傳導度（thermal conductivity）分別為、及。管內及管外流體分別保持在及的溫度。管子與管內流體間之熱傳係數（heat transfercoefficient）為；管子與管外流體間之熱傳係數為。請導出計算“基於內管壁面積之總熱傳係數＂（overall heat transfer coefficient based on the inner surface）U 之公式及總熱傳量Q之公式。（25 分）0r1r2r30k1k2kbTihohiaT101年公務人員高等考試一級暨二級考試試題代號： 23230

於批次吸附（batch adsorption）實驗中，先於槽中加入濃度為C0 之吸附物（A）溶 液，再將純淨的球狀固體吸附劑（半徑為R）放入，流體保持不動（stagnant）。若 所使用的溶液體積很大，可考慮為無限（infinite）流體，且溶液中A 濃度幾乎不變。 當擴散為速率決定步驟時（A 的擴散係數為DA），試推導其穩態質傳方程式，並 求出無因次群Sherwood number（Sh）的數值。（10 分） 圖一為一線纜塗佈模具（wire coating die）示意圖，模具管（內徑為R）內部充滿高分子 流體，以一固定速度V 將線纜（半徑為κR）自高分子流體中拉出，線纜外部即塗佈薄 薄一層高分子。請回答以下二～六問題：

說明牛頓流體（Newtonian fluid）與非牛頓流體（non-Newtonian fluid）之區別。（5 分）

說明剪應力（shear stress）τrz 的2 個方向性。（5 分）

若此高分子流體為非牛頓流體，且遵循指數律（power law or Ostwald-de Waele equation），試說明指數律並寫出相關公式。接著推導穩態（steady state）下此非牛 頓流體於模具管內（圖中A 區）的流速分佈式（velocity distribution）。（20 分）

若此高分子流體為牛頓流體，試計算其體積流量。（10 分） 六、若此高分子流體為牛頓流體，且拉出模具管外的線纜外部所塗佈之高分子流體（如圖 中B 區）緊黏在線纜上，試求出此區域中高分子的塗佈厚度。模具管內徑為0.8 mm， 線纜半徑為0.5 mm，V 為5 cm/s。（10 分） V R κR λR A B 圖一 97年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 化學工程 全一張 （背面） 考慮一維（one dimension，x 方向）非穩態（unsteady state，或暫態）的平板熱傳導（heat conduction）問題。平板先是維持在T0 溫度，接著於時間=0 時，將平板浸放至一溫度維 持為T1 的流體。考慮平板的厚度為2x1，平板的熱傳導係數為定值k，流體的熱傳係數 為h。請回答以下七～九問題： 七、寫出一維非穩態平板熱傳導的統御方程式，並化成無因次（dimensionless）式。所得 無因次時間為那一常見之熱傳無因次群？（8 分） 八、寫出無因次群Biot number（Bi）之定義（包括其物理意義）。當平板表面阻力不存在 時，Bi 值為極大或極小？寫出此條件下的邊界條件，並解出一維非穩態平板熱傳導統 御方程式之解析解（analytical solution）。（22 分） 九、當平板表面阻力存在時，一維非穩態平板熱傳導統御方程式之解可以圖二表示。現欲 烤熱一平板牛排，牛排厚度為3 cm，密度為1.08 g/cm3，熱含量（cp）為3.5 J/g/K， 熱傳導係數為0.5 W/m/K，初始溫度為20°C。熱空氣溫度維持在180°C，熱傳係數 為40 W/m2/K。估計加熱至牛排中心溫度為100°C 時所需花費的時間。（10 分） 圖二 1 hx k m = 1 x x n = x 為平板上任一點至平板中心的距離 0.0010 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 n=0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 n=1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 n=1.0 0.0 0.8 0.6 0.4 0.2 n=1.0 0.0 0.010 0.10 1.0 m=∞ plate x x1 x1 m=0 n=1 2 1 , x t X α Y, T1-T T1-T0

圖一為密度為ρ(kg m-3)及黏度為μ(Pa-s)牛頓流體（Newtonian fluid）以平均流速 V(m s-1)流經一直徑D(m)、長度為L(>>D, m)之圓形直管時其摩擦係數(f)與雷諾數 (Re)之關係圖，其中f 與Re 之定義如下所示： L V D P f

2 | ∆ | ρ = ； µ ρ DV = Re （式1,2） 產生之壓降（pressure drop）為ΔP（Pa），圖一中之ε為壁面粗糙度（surface roughness, m）。請問： 雷諾數之物理意義為何？（10 分） 摩擦係數之物理意義為何？（10 分） 摩擦係數（f）與雷諾數（Re）在圖一之層流（laminar flow）區中之關係為f＝16/Re， 請由動量方程式（momentum equation or equation of motion）開始推導出管內徑向速度 （axial velocity）隨半徑方向（radial direction）變化之情形以說明此關係成立之原因。 （20 分） 摩擦係數（f）與雷諾數(Re)在圖一之紊流（turbulent flow）區中之關係為何？試說明其 代表之物理意義。（5 分） 壁面粗糙度(ε)在圖一之層流及紊流區中對摩擦係數（f）之影響並不相同，試說明其 原因。（5 分） 0.004 0.003 0.002 0.001 0.017 0.016 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 Transition Smooth 106 105 D/ε = 40 400 0.015 0.005 107 106 105 104 103 4000 10,000 20,000 40,000 100 200 1000 2000 Fully turbulent 95 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 化學工程 全一張 （背面） 二、為加熱如題一之圓管中之牛頓流體在圓管中段外加上一長度為L/2(m)之電加熱段 （加熱速率，q(Watts m-1)）並外套一厚絕熱層以防熱洩漏。請估算牛頓流體流經此圓 管後之平均溫度上昇量為何。D＝2.54 cm、V＝3 m min-1、L＝3 m、q＝900 W m-1、牛 頓流體為20℃純水。層流區中定熱通量下NuD＝4.36；紊流區中假設雷諾類比 （Reynolds analogy）成立。（20 分）

20℃純水流入如題一之圓管中且入口端長度為l (m)之管壁換成苯甲酸（benzoic acid，C6H5COOH）；苯甲酸在20℃純水中之擴散係數(DBW)為1×10-9 m2 s-1；溶解 度(s0)為2900 mg liter-1；請估算D＝2l＝2.54 cm、V＝3 m min-1 條件下純水流經此 段圓管後之苯甲酸平均濃度上昇量為何。入口端之平均質傳係數k (m s-1)可以下 述關聯式估算：（20 分） Sh＝ 3 / 1 3 / 1 3 / 1 2 Re 746 .0 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = D l Sc D lk l BW （式3） 其中Sc 為Schmidt 數(＝μ/ρDBW)。 溶質苯甲酸溶解入圓管內純水可以下述方程式描述其於入口端層流區之濃度分布： 0 2 / 1 2 1 2 = ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = z C D r V r C r r r D A A BW （式4） 其中r 及z 分別為以入口處管中心為原點之徑向及軸向方向。試由式4 配合適當 邊界條件推導出式3。（10 分）

有一液體於內徑為10 mm 的管中流動，其雷諾數（Reynolds number）為2000。此 液體之密度為850 kg/m3，黏度為20 cp。 管中之液體整體流速為多少？（10 分） 如管中雷諾數維持為2000，且液體保持如上述之流速，但液體為另一種流體其 密度為900 kg/m3，黏度為15 cp，請問此時之管內徑為何？（10 分）

有一不銹鋼圓球直徑(D)為1 mm，密度(ρs)為7870 kg/m3，於一高分子液體中自由落 下，此液體之密度(ρf)為1050 kg/m3。若此圓球下降之終端速度（terminal velocity, ut） 為0.035 m/s，請問液體黏度(µf)為多少？以Pa-s 為單位。（20 分） 拖曳係數(drag coefficient, CD)與雷諾數之關係可假設為CD = 24/Re。

有一長圓柱實心固體，此固體會均勻產生熱，假設每單位體積產生熱量為q W/m3。 若此長圓柱兩端為絕熱，熱量傳送僅發生於徑向（radial direction），而圓柱體表面 溫度維持為定值Tw，圓柱體半徑為R，圓柱體之熱傳導係數(k)為定值。請推導出此 長圓柱體於穩態（steady state）下之溫度分佈，並以q，Tw，R 及k 表示出此圓柱體 中心軸之溫度。（30 分）

有一球形液滴被懸放於靜止空氣（still air）中，溫度(T)維持為定值26℃。此液滴初 始半徑(r1)為2.0 mm，在26℃下此液體之蒸氣壓(pA1)為3.85 kPa，而氣相之總壓(P) 為101.325 kPa。另此液體之密度(ρA)為866 kg/m3，分子量(MA)為92 kg/kgmole。氣 體常數(R)為8314 m3·Pa/kgmole·K。 請推導出液體蒸氣於空氣中之擴散係數(DAB)與液滴完全蒸發時間(tF)有下列之關 係式 ) ( 2 2 1 2 1 A A AB A BM A F p p P D M RTp r t − = ρ 其中，pA2是遠離液滴r2 處之液體蒸氣分壓，pBM = (pA1 − pA2)/ln[(P − pA2)/(P − pA1)]。 （20 分） 若此液滴半徑從2.0 mm 變為1.0 mm 所需蒸發時間為950 秒，請問液體蒸氣於空 氣中之擴散係數(DAB)為多少？以m2/s 為單位。（10 分）

請寫出下列各名詞之SI 單位。 (每小題3 分，共30 分) 黏性應力(viscous stress) 表面張力(surface tension) 動量通量(momentum flux) 黏度(viscosity) 動黏度(kinematic viscosity) 熱導度(thermal conductivity) 熱傳係數(heat transfer coefficient) 比熱(specific heat) 擴散係數(diffusion coefficient) 質傳係數(mass transfer coefficient)

考慮牛頓流體在圓管中之流動。 (每小題5 分，共20 分) 當Reynolds number 為2,000 時，其平均流速為管中心流速之若干倍? 當Reynolds number 為10,000 時，其平均流速為管中心流速之若干倍? 當Reynolds number 為2,000 時，若甲流體之黏度為乙流體之 2 倍，則在相同圓 管相同壓降下，甲流體之體積流速為乙流體之若干倍? 當Reynolds number 為2,000 時，若甲管之管徑為乙管之 2 倍，則同一流體在相 同壓降下，流經甲管之體積流速為流經乙管之若干倍?

母親的經驗告知“一隻0.8 公斤重的鴨子在烤箱中需要40 分鐘才能完全烤熟”。請估 計在相同的情況下，一隻2.7 公斤重的鴨子在烤箱中需要若干分鐘才能完全烤熟? (10 分)

一不可壓縮牛頓流體(incompressible Newtonian fluid)置於兩同軸圓柱面之間。外圓柱 面之半徑為R，以穩定速度V 沿軸向運動;而內圓柱面之半徑為κR，固定不動。若流 體運動為層流(laminar flow)，且入出口端點效應可以忽略不計，則此流體之速度分佈 為何? (20 分)

考慮一個半徑為r1 的物質A 液滴懸浮在一氣體B 中進行揮發。假設液滴表面可視為 覆有一層氣膜，其半徑延伸至r2。於穩定狀態下，r = r1 處氣相中A 之莫耳分率為yA1， r = r2 處A 之莫耳分率為yA2。已知氣相中A 與B 之總濃度為一定值C，且A 之擴散 係數為DAB。 若氣體B 為靜滯不動，則每單位r = r1 處液面面積之揮發速率為何? (10 分) 若A 與B 在氣相中呈等分子交互擴散(equimolar counter diffusion)，則每單位液面 面積之揮發速率為何? (10 分)