專利師 115 年物理化學考古題

在一個半徑為r 的球形容器中，質量為m 的氣體分子僅在球面的一個大 圓平面內運動，並與器壁發生彈性碰撞。設相鄰兩次碰撞之間分子所走 的路徑長度皆相同，且碰撞幾何如角度θ 所示。 ㈠假設分子在兩次碰撞之間的路徑長度Δl，求Δl 與球半徑r 和角度θ 之 間的關係。（2 分） ㈡以分子質量m、速率v 與角度θ 表示單次碰撞中分子傳遞給器壁的動 量分量。（3 分） ㈢利用㈠與㈡的結果，求單一分子作用於器壁的平均力。（7 分） ㈣進一步推導球形容器中理想氣體所滿足的關係式：PV = 1 3 Nmv2ഥ， 其中N 為分子總數，v2ഥ為分子速率平方的平均值。（10 分）

於有序晶體（ordered crystal）中，笑氣分子（N2O）沿晶格規則排列，且 每個分子的取向皆由其在晶體中的位置唯一決定。於無序晶體（random crystal，快速冷凍形成者）中，每個分子則有兩種等可能的取向。 ㈠計算由NA（亞佛加厥常數）個分子所組成之無序晶體的微觀狀態數。 （3 分） ㈡計算1.00 mol 無序晶體轉變為有序晶體時的熵變。 （註：氣體常數R = 8.314 J·mol−1·K−1）（10 分） θ θ r

利用轉動光譜進行研究笑氣分子（N2O），測得N−N鍵長為1.126 Å，N−O 鍵 長為1.191 Å。由這些結果可計算其轉動慣量為I = 66.8 × 10−47 kg·m2。 計算在25°C 時，J = 15 轉動能階相對於基態J = 0 的分子數比例。 （註：普朗克（Planck）常數h = 6.626 × 10‾34 J·s，波茲曼（Boltzmann） 常數kB = 1.381 × 10-23 J·K-1）（10 分）

氫原子基態電子的波函數為Ψ(r) = ( 3 0 1 a )1/2 exp( 0 r a )， 其中a0 = 0.529 × 10−10 m ㈠計算在以原子核為中心、體積為1.0 pm3 的球內找到電子的機率。 （1 pm = 10−12 m）（10 分） ㈡計算在距原子核52.9 pm 處、厚度為1.0 pm 的球殼內找到電子的機 率。（10 分）

在熱平衡時，分子由n = 0 能階被激發至n = 1 能階的反應速率，會大於還 是小於反向過程的速率？（5 分）兩個過程的速率常數之比為何？（10 分）

異核雙原子分子AB 的基態分子軌域為Ψmol = CAϕA + CBϕB，若一個鍵結 電子有90%的時間位於原子A 上的軌域ϕA，而有10%的時間位於原子B 上的軌域ϕB，則CA 與CB 的值分別為何？（假設兩個原子軌域之間的重 疊可以忽略。）（10 分）

如果所有固體和液體都具有蒸氣壓，那麼在足夠低的外界壓力下，任何 物質都應該開始沸騰。太空中的外界壓力實際上接近零。為什麼太空船 進入軌道後，不會直接沸騰並以蒸氣形式消失？（10 分）