高等工程力學研究考古題｜歷屆國考試題彙整

有一靜不定梁如圖所示。其A 端為固定支撐（fixed end support），B 端為滾支撐（roller support）。在從A 端算起距離2a 處，有一側向載重P 垂直向下作用於C 處。C 處到B 處的距離已知為a，梁之EI 值為常數。 請求出A 端與B 端的反力與反力矩為何？（25 分） 圖

如圖所示，有一直徑為60 mm 之實心圓軸承受到如圖所示之扭矩負載。 軸承在A 處為固定端，在A 到B 處受到一分佈扭矩，強度為2 kN∙m/m， A 端到B 處的長度為2 m。在末端C 處受到集中扭矩1200 N∙m 作用， B 端到C 端的長度為1 m。若軸承材料的容許剪應力τ allow = 50 MPa， 請求該軸承之最小直徑（以mm 表示）。（25 分） 圖 A B 2a a C P 1 m 2 m 2 kN∙m/m 1200 N∙m A B C 15330

有一垂直力P 作用在不計重量之平板底部（如圖所示），若欲使a-a 截面上不產生壓應力，試求此力與平板邊緣之最短距離d。已知平板厚 度為10 mm，且P 作用在沿厚度之中心上。（25 分） 圖

如圖所示之組合梁受到一剪力V = 4 kN 作用。若梁每邊之釘距為 75 mm，試求各釘中所產生的平均剪應力。各釘之直徑均為3 mm。（25 分） 圖 V a 200 mm 600 mm 200 mm a d P

圖一為矩形截面梁AB，其高度沿x 軸呈線性增加，此梁受到均佈載重q = 600 N/m 作用。 求此梁之最大彎曲應力σmax、及最大彎曲應力所在位置距A 點的距離x =？（25 分） 圖一

圖二中之梁AB 及梁CDE 之撓曲勁度皆為EI，長度皆為L。梁AB 受到均佈載重 L P q 2 = 作用；梁CDE 受到集中載重P 作用。梁AB 及梁CDE 以勁度為

3 L EI k = 之彈簧連接。 求D 點的撓度（deflection） D δ 。（25 分） 圖二 / 2 L / 2 L L P A B C D E EI EI 2 / q P L = 3 3EI k L = A B 500 L mm = 600 / m q N = 25 B b mm = 25 A b mm = 50 A h mm = x 2 B A h h = 106年公務、關務人員升官等考試、106年交通 事業鐵路、公路、港務人員升資考試試題 代號：15230 15330 全一張 （背面） 等 級： 簡任 類科（別）： 土木工程、結構工程 科 目： 高等工程力學研究（包括材料力學） 三、線性彈性之正方形平板OABC，各邊長為1 m，此方形平板位於x－y 平面上，受到外 力作用，變形前為正方形OABC，在平面應變下，變形後為OA*B*C*之形狀（如圖三 虛線所示）。設其位移場（displacement field）在x 方向的位移u = a1x + b1y，而y 方 向的位移v = a2x + b2y，其中a1, b1, a2, b2 為未知常數，求小變形情形下，B 點在OB 方 向之正向應變（normal strain）。（25 分） 圖三

理想塑性（perfect plasticity）材料之箱形梁受到彎矩M0 作用，如圖四（a）所示，材 料之降伏應力為σy，楊氏模數為E。其截面如圖四（b）所示，其中h1= 0.8 h，b1= 0.8 b，若梁翼（flange）全部達降伏應力；而梁腹（web）保持彈性應力， 推導彎矩M0 與曲率之關係式。以E, b, h 表之。（15 分） 求梁自由端之撓度 ? = δ （10 分） 圖四（a） 圖四（b） O A B C * A * B * C 1mm 2mm 2mm 3mm 3mm 5mm x y z y b 1b h 1h 0 M

一長為L =1.6 m 的剛性桿AB，鉸接於A 點，並用兩條垂直纜線支撐於桿身的 C 點及D 點，詳如圖一所示，兩條纜線的橫截面積相同（A=20 mm2），且材料相同 （E =200 GPa）。在C 點的纜線長為0.4 m，D 點纜線長為0.8 m。 在B 點載重P=970 N 作用下，試求C 點及D 點的拉應力。（10 分） 試求桿端B 點的向下位移δB。（15 分） 圖一

一簡支梁的剪力圖如圖二所示，求該梁的載重並畫出彎矩圖，假設無偶矩作用於該 梁上。（25 分） 圖二 B 104年公務人員升官等考試、104年關務人員升官等考試 104年交通事業公路、港務人員升資考試試題 代號：15230 15330 全一張 （背面） 等 級： 簡任 類科（別）： 土木工程、結構工程 科 目： 高等工程力學研究（包括材料力學）

一寬翼型梁詳如圖三，當其受到剪力V 作用，若截面的尺寸為b=150 mm、t =12 mm、 h=300 mm、h1=270 mm 及V=130 kN，試求： 腹板的最大剪應力τmax。（6 分） 腹板的最小剪應力τmin。（6 分） 腹板平均剪應力τaver。（6 分） 腹板承受的剪力Vweb。（7 分） 註：忽略腹、翼接合間的導角。 圖三

試求圖四中每一段繩索之拉力及距離y。（25 分） 圖四

一質量2000 公斤汽車於平面半徑250 公尺、路面超高為傾斜15 度之路面行駛，路 面與輪胎之靜摩擦係數為0.15，請計算此汽車不發生滑動之最大車速。車子的尺寸 大小忽略不計。（25 分）

一圓管外徑100 mm，內徑80 mm，長4 m，承受5 kN-m 之扭矩，剪彈性模數 30 GPa： 計算圓管之最大剪應力。（10 分） 若改用同材質實心桿承受相同最大剪應力，計算實心桿之直徑及圓管與實心桿之 重量比。（15 分）

一簡支均勻外伸梁ABC，橫截面尺寸為30 cm×20 cm，總長5 m，AB 段長4 m， BC 段長1 m，左端A 點為鉸接端，B 點為滾接點，右端C 點為自由端，承受一均 佈載重6000 N/m： 請畫出此梁之剪力圖及彎矩圖。（15 分） 求最大撓曲應力之大小及位置。（10 分）

一均勻橫桿重5000 N，由三根等距間隔的平行線支撐，兩根銅線及一根鋼線，線徑 皆為3 mm。中央為鋼線，兩端為銅線；銅線之彈性模數Ec = 120 GPa，鋼線之彈性 模數Es = 200 GPa，橫桿保持水平，三線長度皆為1 m。請計算銅線及鋼線之應力。 （25 分）

如圖一所示，一質量為50 kg 的均質桿件AB 靠在一光滑的牆壁，粗糙地面與桿件 的靜摩擦係數為0.20（ 1 s μ =0.20）。今欲置一塊體以避免桿件滑落，此塊體與粗糙 地面的靜摩擦係數為0.30（

s μ =0.30）。計算此塊體的最小質量。（20 分） 圖一 二、如圖二所示之支承懸臂樑。（設材料為線性彈性材料） 試求A、B 點的反力。（15 分） 畫出樑的剪力和彎矩圖（Shear force and bending moment diagrams）。（10 分） （參考附圖二a 及二b，集中力及分佈力作用下樑的變位方程式） 圖二 )

( 6 2 x L EI px v − − = 附圖二a )

6 ( 24 2 2 2 x Lx L EI qx v + − − = 附圖二b 100 年公務人員升官等考試、100 年關務人員升官等考試試題 代號： 類 科： 土木工程、結構工程 全一張 （背面） 15130 15230 三、如圖三，一半徑和厚度各為r和t的圓形斷面薄管用以承受扭矩T，今若想以相同材料 、相同厚度的正方形斷面薄管代替。 計算此正方形斷面薄管的邊長。（10 分） 計算兩種斷面薄管的重量比。（10 分） （正方形斷面薄管的剪應力和轉角不能大於圓形斷面薄管者） （薄管的扭轉常數（Torsion constant） m m L tA J 2 4 = ） r t 圖三 四、圖四為一懸臂樑與樑之斷面。此樑自由端受一與x 軸夾 的xy 平面上力P，此力 P 通過樑斷面的形心。 ° 60 計算此樑斷面的形心位置（a =？）（10 分） 計算對斷面形心的面積慣性矩（area moment of inertia）。（10 分） 計算此樑斷面的最大張應力（tensile stress）和最大壓應力（compressive stress）。 （15 分） 12 cm 6 cm 30 cm 3 cm 6 cm 24 cm N.A. a 圖四

計算支撐點A 和B 的反力（reaction forces），需要明確標出正負值方向。（20 分）

計算並畫出ABC 梁的剪力圖（shear diagram）和彎矩圖（moment diagram），需要 明確標出正負值方向。（30 分）

計算並標出所給定斷面的形心位置，同時計算對斷面形心的慣性力矩（area moment of Inertia）。（20 分）

計算ABC 梁斷面的最大張應力（tensile stress）和最大壓應力（compressive stress）。 （30 分）

如圖1 所示，複合樑B 點為滾支（roller），A 點為固定端（fixed end），而在C 點 由螺栓（bolt）連接。計算支撐A，B 的反力以及C 點的受力。（20 分） 圖1

畫出上題圖1 之複合樑ACB 的剪力和彎矩圖（shear and moment diagram），標明 正負值的方向。（10 分） 若考慮C 點為單剪力（single shear）螺栓，螺栓直徑10cm，AC 和BC 樑寬度 20cm，求螺栓的剪應力（shear stress）和承受應力（bearing stress）。（10 分）

何謂虛功法（principle of virtual work）？試說明之。（5 分） 如圖2 所示，物體處於平衡狀態，若彈簧之彈性常數為k，其原始長度為 0 L ，求 所需的外力P（忽略各元件的重量）？（15 分） 圖2 （請接背面） 5 200kN C B A 13 8m 4m 4m 4m 4000kN-m 500kN 12 60° θ A P B C k L L 96 年公務人員、關務人員升官等考試試題 代號： 類 科： 土木工程、結構工程

如圖3 所示，給定一桁架（truss）結構物，L＝6.0m，H＝1.5m，考慮各元件（member） 為剛體（rigid），外力P 垂直作用在D 位置。若給定P＝120kN，計算支撐A 和C 的反力，並計算所有元件的受力。（20 分） 圖3

如上題圖3 所示，若考慮桁架結構物桿件材料為鋼條，各桿件斷面積A＝3000mm2， 彈性模數（elastic modulus）E＝200GPa，求Ｃ點的水平位移？（20 分） 全一張 (背面) 15130 15230 A L/2 L/2 P B C D H