刑事警察人員 107 年計算機數學考古題
題目為考試當年公告版本，實務標準請以現行規範為準。
試利用數學歸納法（Mathematical Induction）證明：當n≧1 時，n < 2n。（8 分）
遞迴式an－3an－1 = 2－2n2，a0 = 1，求an。（12 分）
試求x1＋x2＋x3＋x4=30 有幾組正整數解，若 ㈠ 0 ≥ ix , i = 1, 2, 3, 4。（5 分） ㈡ 7 2 1≤ ≤x 以及 0 ≥ ix , i = 2, 3, 4。（5 分） ㈢ 1 − ≥i xi , i = 1, 2, 3, 4。（5 分）
投擲兩個公平骰子，若E 代表此二骰子點數和是7 點，F 代表第一顆骰子為3 點，G 代 表第二顆骰子為4 點，試問：㈠E 與F 是否獨立？（4 分）㈡E 與G 是否獨立？（4 分） ㈢E 與FG 是否獨立？（4 分）
假設某工廠有A, B, C 三條IC 生產線，其產量分別占總量之25%, 35%及40%。另外， 產品中壞的機率分別占5%, 4%及2%。試問： ㈠任取一IC，其壞的機率為何？（4 分） ㈡接著㈠，來自A, B, C 三條IC 生產線的機率分別為何？（12 分）
令X 表示某一電子管的壽命（以小時計）。假設X 是連續隨機變數，其機率密度函數(pdf) 為 , ) ( 2 ≤ ≤ = x x k x f ，試求：㈠k 值？（4 分）㈡其累積分布函數(cdf)？（4 分） ㈢電子管在5000 小時之前損壞的機率是多少？（4 分）㈣電子管在6000 小時之後繼 續工作的機率是多少？（4 分）
若某工廠之產量平均500 個：㈠利用Markov inequality，求某日產量超過1000 個之 機率是多少？（5 分）㈡若其日產量之變異數為100 個，利用Chebyshev inequality 求某日產量介於40 至60 個之機率是多少？（5 分） 107年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及 107年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 考試別： 一般警察人員考試 等 別： 二等考試 類科別： 刑事警察人員犯罪分析組 科 目： 計算機數學（包括離散數學、機率與統計）
㈠請解釋何謂「中央極限定理（Central Limit Theorem）」？（5 分）㈡假設燈泡之壽 命為指數分布，期望值為10 天，利用下列常態分布（Normal distribution）值表，求 一年（365 天）中需要50 個以上燈泡之機率？（6 分） Area Φ(x) under the Standard Normal Curve to the Left of x