刑事警察人員 115 年計算機數學考古題
題目為考試當年公告版本，實務標準請以現行規範為準。
Bezout’s Theorem 描述當a,b 是正整數時，存在有兩個整數s 和t，使得 gcd(a,b) = sa + tb，gcd(a,b)是a,b 的最大公因數。已知gcd(252,198) = 18， 請找出s 和t，使得252s + 198t = 18。（12 分）
一個數列[1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…, ,30,…,30](30 個30)，請問，這些數的中 位數（median）為何？（10 分）
請解下列的遞迴函數：（12 分） an = 3an-1 + 1, a0 = 1
已知，0! = 1 ! = 1，n! = 1 2 3 … n，C(n,i)= n! !(n- )! i i ， C(n + 1,i) = C(n,i - 1) + C(n,i)。經計算，當n = 10 時，C(10,i), i = 0, 1, …, 10 個別為1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1。請問，在C(12,i), i = 0, …, 12 這十三個數字中，有幾個一位數（也就是小於10 的數）？有幾個二位數（也 就是大於等於10 但小於100）？有幾個三位數？有幾個四位數？（10 分）
擲一枚公平的骰子，設隨機變數X 為骰子出現的點數，求X 的期望值 E(X)和變異數Var(X)。（10 分）
某項調查指出，10%的人認為自己曾見過UFO（幽浮）。今隨機抽取10 人 作為樣本，求以下各項機率：（每小題6 分，共18 分） ㈠恰好有1 人相信他看過UFO。 ㈡有2 到3 人相信他看過UFO。 ㈢至少3 個人以上（不含3）相信他看過UFO。
使用樹圖（tree diagram）來決定集合{3,7,9,11,24}中有幾個子集合的元素 總和小於28。（12 分）
假設學生的成績（從0 到100）是normal distribution，某位老師計算出 學生成績的(mean) = 50 和(standard deviation) = 10 後，依照−2, −, + , + 2四個數分成五份，個別給予成績為x的學生A(x ≥+ 2)、 B(+ ≤x < + 2) 、C(−≤x < + ) 、D(−2≤x < −) 、 F(x < −2)等級。其中，D 等級的為活當，可以補考，F 等級則死當， 無法補考。假設一個班級有200 人，那麼： （每小題8 分，共16 分） ㈠說明如何利用下表（該表是計算standard normal distribution），將學生 成績換算成standard normal distribution？ ㈡計算出該班200 名學生中，估計個別有多少人被死當？有多少人活 當？（經百分比計算出人數後四捨五入）。